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Tópicos de Física Moderna – Engenharia Informática
FREQUÊNCIA
30 de Maio de 2003
1. Indique, de entre as afirmações seguintes, as que são verdadeiras e as que são
falsas.
a) A existência de um mínimo da energia potencial de um sistema significa a
possibilidade de oscilações em torno da posição de equilíbrio. Verdade
b) O efeito de focagem gravitacional é devido à atracção gravítica da luz pelos
objectos com massa muito grande. Falso. Os fotões têm massa igual a zero e,
por isso, não interagem com campo gravítico. O efeito de focagem
gravitacional é devido ao encurvamento local do espaço-tempo nas
proximidades aos objectos com a massa muito grande.
c) A interferência destrutiva observa-se quando se sobrepoem ondas com a
mesma amplitude e a mesma fase. Falso. Neste caso a interferência é
construtiva. Para observar a interferência destrutiva as fases das ondas têm
que ser opostas, i.e. diferir por  ou 2, 3, etc.
d) O efeito de difracção é uma consequência da natureza ondulatória da matéria.
Verdade
e) A equação y(t) = Asin(t + ) descreve o movimento harmónico simples.
Verdade. O movimento harmónico simples pode ser descrito como pela
equação y(t) = Asin(t + ) tanto pela equação y(t) = Acos(t + ’). Mas as
fases iniciais,  e ’, devem ser diferentes.
f) O trabalho efectuado por uma força conservativa não depende da trajectória da
partícula mas sim da diferença entre as energias potenciais no ponto de partida
e no ponto de chegada. Verdade
g) Uma onda estacionária é o resultado da sobreposição de duas ondas com
frequências e amplitudes iguais que se propagam em sentidos opostos.
Verdade
h) A reflexão total pode ocorrer na superfície de separação de dois meios com
índices de refracção diferentes independentamente do sentido de incidência
da luz. Falso. Para existir a reflexão total o índice de refracção do meio 1 (de
qual a luz incide) tem que ser maior que o índice de rfracção do meio 2. No
caso contrário o efeito não se observa.
i) A onda sonora é uma onda transversal. Falso. A onda sonora é uma onda é
uma onda longitudinal.
j) A equação das oscilações harmónicas simples é
d 2x
2
  2 x  0 Verdade
dt
k) Um oscilador amortecido é um sistema conservativo. Falso. É um sistema
dissipativo. O amortecimento significa a diminuição da amplitude de
kA2
.
2
l) De acordo com o princípio de incerteza de Heisenberg a velocidade e a
posição de uma partícula não podem ser medidas simultaneamente com
exactidão. Verdade. O princípio de incerteza diz
px  x  h ou mvx  x  h
oscilações, i.e. a perda da energia, E 
2. Indicar, para cada questão a resposta correcta:
(m) De acordo com a dualidade onda-partícula da matéria, a um corpo de massa m
associa-se uma onda cujo comprimento de onda é dada por
(A)   hp, onde h é a constante de Plank e p é o momento linear do corpo
v
(B)   , onde v é a velocidad e da onda e f é a sua frequência
f
h
(C)   , onde h é a constante de Plank e p é o momento linear do corpo
p
mc 2
(D)  
, onde c é a velocidad e da luz e g é a aceleração da gravidade
mg
Resposta correcta é C
(n) Uma onda incide sobre a superfície de separação de dois meios nas quais se
propaga com velocidades v1 e v2, respectivamente (v1  v2). Os ângulos que o
vector velocidade forma com a normal a esta superfície nos dois meios, 1 e 2,
relacionam-se entre si como
sin 1 v1
(A)

sin  2 v 2
sin 1 v 2
(B)

sin  2 v1
(C) 1   2
(D) 1   2  
2
Resposta correcta é A.
(o) As oscilações harmónicas simples ocorrem quando a força a actuar no sistema é
descrita pela seguinte função
(A)
1
2
kx 2
(B)  kx
(C) kx
(D) -
1
2
kx 2
Resposta correcta é B
(p) Pretende-se obter o valor de uma grandeza V através de medição de uma outra
grandeza  que se relaciona com V de seguinte maneira: V  V0 cos( k ) , onde k e
V0 são constantes. Se  for a incerteza no valor medido de , qual será a
incerteza no V ?
(A) V  
(B)
V 

V

(C) V  V0 k sin( k )  
(D) V  V0 cos( k )  
Resposta correcta é C: Como  é a única variável, V 
dV

d
3. Uma partícula move-se num campo em que a sua
energia potencial é representada pela função
3
2
3
U (J)
J/m ,
U ( x)  ax  bx  c , em que a=1,510
-2
2
2
b=2,510 J/m e c=1 J (ver a figura). Considere o
sistema conservativo e que a partícula se move no
sentido x positivo, partindo do x= -10 m, com energia
1
mecânica igual a 1,2 J. Para a região –10<x<20 m
xmin
a) Descreve qualitativamente o movimento da
0
partícula (i.e., como variam a velocidade, posição e
-10
0
10
aceleração, indique os limites do movimento e
pontos de retorno, se for o caso),
-1
b) Obtenha a expressão para a energia cinética em
função do x e faça um esboço de variação desta
com x.
c) Calcule a força a actuar sobre a partícula em função do x e indique o sentido do
vector da força no gráfico para os seguintes pontos e regiões:
1) x  0; 2) x  0; 3) 0  x  xmin ; 4) x  xmin ; 5) x  xmin .
d) Imagine que a mesma partícula ao chegar ao ponto x=10 m perde
instantaneamente 0,4 J da sua energia. Descreve qualitativamente o movimento
da partícula após este evento supondo que o sistema continua a ser conservativo.
-3
3
Solução.
a) O movimento da partícula será limitado pela região em que a
3 U (J)
energia mecânica é maior que a energia potencial (E=U+T, para
que a energia cinética T seja positiva, tem que ser E>U; nos
2
pontos em que E=U, T=0). Para E=1,2 J, a partícula pode
E=1,2 J
movimentar-se em toda a região x<A sendo A um ponto em que
1
x
E=U (ver a figura).
0
Movimento no sentido x positivo, v>0:
-10
0
10
-10<x<0
desacelera-se, a<0
-1
em x=0
v tem um mínimo local, a=0
0<x<xmin
acelera-se, a>0
em x= xmin
a velocidade atinge o valor máximo, a=0
xmin<x<A
desacelera-se, a<0
em x=A
para, v=0, a<0 – ponto de retorno, a partícula inverte o movimento
Movimento no sentido x positivo, v<0:
de x=A à x= xmin
acelera-se com a<0
em x= xmin
o módulo da velocidade atinge o valor máximo (mas v<0), a=0
de x= xmin à x=0
desacelera-se, a>0
em x= 0
o módulo da velocidade tem um mínimo local (mas v<0), a=0
x<0
aceleração no sentido x negativo, modulo da velocidade
aumenta, a<0, a partícula abandona a região de interesse
x (m)
20
min
|v(x)|
x =x min
x (m)
-10
0
a(x)
10
20
x =A
x (m)
A
20
b) E=U+T  T=E-U
T ( x)  E  ax3  bx 2  c  1,2  1,5 103 x3  2,5 102 x 2  1  0,2  1,5 103 x3  2,5 102 x 2 ( J )
2.5
T (J)
2
3
1.5
U (J)
F= - dU/dx
1
2
0.5
F= 0
0
-10
0
10
A 20
F< 0 1
F> 0
x (m)
F< 0
F= 0
0
-10
c) F ( x)  
dU
( x)  (3ax 2  2bx)  3ax 2  2bx ( N )
dx
0
-1
10
xmin A 20
x (m)
d) Ao perder 0,4 J em x=10 m, a energia mecânica da partícula
3
U (J)
fica E’ = 0,8 J < Ux=0. Isto significa que a partícula não pode
E'=0,8 J
ultrapassar a barreira potencial em x=0 e, então, fica capturada no
2
poço potencial: chegando ao ponto B (em que Ux=B = E’) a
E=1,2 J
1
partícula reflecta-se, move-se no sentido x negativo até chegar ao
B
C
ponto C (em que Ux=C = E’), para no ponto C, inverte o
x (m)
0
movimento para o sentido x positivo etc., i.e. a partícula vai
x
-10
0
10
20
oscilar entre os pontos B e C tendo o ponto de equlíbrio em
-1
x=xmin. As oscilações não são oscilações harmónicas porque a
energia potencial não tem a forma kx2/2 (alternativamente, pode-se
dizer que a força calculada na alínea c, não é linear com x, F(x)= - kx), como é
necessário para que as oscilações fossem harmónicas.
min
4. A amplitude de um oscilador harmónico simples de massa m = 1 g é A = 2 cm. A
sua frequência é f = 4 Hz. No instante inicial a partícula está na posição x = 0 e a sua
velocidade é no sentido positivo.
a) Escreva a equação do movimento, x = x(t), e a equação da velocidade, v =
v(t).
b) Indique a posição da partícula no instante t = 1 s.
c) Exprima a força que actua no oscilador como uma função do tempo.
d) Determine a energia mecânica da partícula no instante t = 1 s.
Solução.
a) Há duas representações possíveis entre quais podemos escolher uma mais
conviniente:
x(t) = Asin(t + ) ou
x(t) = Acos(t + 2).
Sabendo que x(0)=0 convém escolher a primeira forma com 1=0 ou 1= (podiamos
tambem escolher o coseno mas, então, com 2= /2 ou – /2; repare, é apenas mera
de conveniência).
Escolhendo o seno, temos para a velocidade v(t) = dx/dt= Acos(t + ). Então, no
instante inicial v(t) = Acos() e como sabemos que v(0)>0, entre 1=0 e 1=
temos de escolher 1=0.
Falta encontrar : f  (rad/s).
Temos então as equações do movimento e da velocidade:
x(t) = Asin(t) = 0.02 sin(t) (m) e
v(t) = Acos(t) =0.16cos(t) (m/s).
b) em t=1 s x(1)=0.02sin()=0
c) Uma maneira de chegar à força é utilizando a segunda lei de Newton, F=ma:
dv(t )
a(t ) 
  A 2 sin(  t ) . Daqui
dt
F (t )  mA 2 sin(  t )  103  0.02  (8 ) 2 sin( 8 t )  1.28 103 2 sin( 8 t )
Outra, lembrando que F ( x)  
dU
kx2
e com U ( x)  
temos F ( x)  kx onde
dx
2
k  m 2  10 3 (8 ) 2 ( N / m) . Substituindo x=x(t) chegamos a mesma equação
F (t )  k  A sin( t )  10 3 (8 ) 2  0.02  sin( 8 t ) .
d) Podemos calcular a energia mecânica directamente para t=1 s
E U T 
kx2 mv 2 k 2
m

 A (sin  t ) 2  ( A ) 2 (cos  t ) 2 com
2
2
2
2
k  m 2  10 3 (8 ) 2 ( N / m) (ver alínea anterior). Em t=1 s o primeiro termo anulase e
m
10 3
( A ) 2 (cos( t )) 2 
(0.02  8 ) 2 (cos(8 )) 2  1.28  10  5  2 ( J )  1.26  10  4 ( J ).
2
2
Neste caso tivemos sorte que U(1)=0.
E
A maneira mais versatil seria seguinte. Um oscilador harmónico é um sistema
conservativo. Portanto para calcular a energia mecânica podemos escolher um
instante do tempo t em que seria mais fácil de faze-lo.
Reparamos que nos instantes quando x=0, U=0 e o módulo da velocidade atinge valor
2
mvmax
.
2
Como x=0 para t=0, por exemplo, podemos calcular vmax como
vmax= v(0) =Acos(0)= A
máximo, E  T 
E
.
m
10 3
( A ) 2 
(0.02  8 ) 2  1.28  10  5  2 ( J )  1.26  10  4 ( J ).
2
2