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Capítulo 04: Movimento em duas e
três dimensões
Abel André C. Recco
Introdução


Até agora estudamos o
movimento em uma
dimensão. Por exemplo,
queda livre de um corpo.
No movimento em 2D ou 3D
é necessário utilizarmos
vetores para
especificarmos a posição,
velocidade e aceleração.
Vetor posição

r  xiˆ  yjˆ  zkˆ

r  3miˆ  2mjˆ  5mkˆ
Vetor deslocamento: mudança de
posição

r  ( x2  x1 )iˆ  ( y2  y1 ) ˆj  ( z2  z1 )kˆ

r  xiˆ  yjˆ  zkˆ
Vetor velocidade média

vmed
O vetor velocidade média tem a mesma
direção e sentido do vetor
deslocamento

r

t
x ˆ y ˆ z ˆ

vmed 
i
j
k
t
t
t
Vetor velocidade instantânea

A velocidade
instantânea é o limite da razão

entre r
com Δt tendendo a zero.
t



r dr
v  lim

dt
t 0 t

A derivada do vetor
posição em relação ao
tempo é igual ao vetor
velocidade, que é
tangente a trajetória da
partícula

 dr dx ˆ dy ˆ dz ˆ
v
j k
 i
dt dt
dt
dt

v  vx iˆ  v y ˆj  vz kˆ
Vetor aceleração média


A aceleração média é
determinada pela
mudança do vetor
velocidade
instantânea em
relação ao intervalo de
tempo decorrido.


a
O vetor med e v
têm a mesma
direção e sentido
v

amed 
t
vx ˆ v y ˆ vz ˆ

amed 
i
j
k
t
t
t
Vetor aceleração instantânea

A aceleração instantânea é o limite da razão

v t com Δt tendendo a zero



v dv
a  lim

dt
t 0 t

A aceleração instantânea é igual a derivada do
vetor velocidade instantânea em relação ao tempo.
Produzindo uma aceleração

Mudanças no vetor velocidade uma partícula
que podem produzir uma aceleração.

A magnitude do vetor de velocidade pode mudar

A direção e o sentido do vetor de velocidade
podem mudar

Mesmo se a magnitude permanecer constante
As componentes da aceleração
at :Componente tangencial da aceleração é
responsável pela mudança do módulo da
velocidade.
ac: Componente radial ou centrípeta da
aceleração e responsável por mudar a
direção e o sentido do vetor velocidade.
Aplicações


Aplicações:

Movimento de projéteis: 2D.

Movimento circular uniforme: 2D
Ambos são exemplos de movimento que
ocorrem no plano.
Movimento de um projétil

Projétil: algo que foi projetado
ou lançado
http://phet.colorado.edu/sims/projectile-motion/projectile-motion_pt_BR.html

Considerações importantes sobre o lançamento
de projéteis:

Próximo a superfície da terra

Desprezar a resistência do ar e o efeito de rotação
da Terra.

O movimento da partícula sobre o eixo x não afeta
o movimento que ocorre no eixo y, ou seja, os
movimentos são independentes.
Demostração
Velocidade inicial de lançamento
Movimento horizontal ax  0
Movimento vertical a y  g  9,81m / s 2
Equação da trajetória

Alcance horizontal R: Distância horizontal
percorrida pelo projétil até voltar sua altura
inicial de lançamento, ou seja: y  y0

Efeito do ângulo inicial (θ0) de lançamento no
alcance horizontal. O valor de v0=24.5m/s é
igual para os quatro lançamentos.
O alcance é máximo para θ0=45.0o
Movimento circular
Movimento circular uniforme
MCU



MCU ocorre quando uma partícula se move em
uma trajetória circular com o módulo da velocidade
constante.
Embora o módulo da velocidade seja constante
existe uma aceleração, porque a direção e o
sentido do vetor velocidade mudam
constantemente.
 Lembre-se que mudança do vetor velocidade
resulta em uma aceleração
O vetor velocidade é tangente a trajetória
Mudança no vetor velocidade no
MCU
Aceleração centrípeta

A aceleração no MCU é sempre
perpendicular a trajetória do movimento e
aponta para o centro do círculo.

Esta aceleração chama-se centrípeta e seu
módulo vale:
2
v
aC 
r
Período


O periodo, T, é o tempo necessário para
a partícula completar uma volta completa.
Para o MCU:
2 r
T 
v
yP
xP
sin  
cos 
r
r
Onde xP e yP são coordenadas da partícula em MCU no ponto P

  y   x 
 dv  v dyP  ˆ  v dxP
v   v P  iˆ   v P  ˆj Acceleração a 
= 
i  
r   r 
dt  r dt   r dt

dy P
dxP
Observe que:
 v y  v cos  e
 vx  v sin 
dt
dt

v  vx iˆ  v y ˆj   v sin   iˆ   v cos   ˆj
 ˆ  v2

  v2
a    cos   i    sin   ˆj
 r
  r

tan  
vx  v sin 
v y  v cos 
ay
ax

  v 2 / r  sin 
  v 2 / r  cos 
2
v
a  ax2  a y2 
r
ˆ
j

 cos     sin  
2
2
v2

r

 tan       a aponta em direção ao centro
P
C
A
C
 cos     sin  
2
2
1
Movimento relativo em uma
dimensão

A velocidade de uma partícula P é determinada
por dois observadores diferentes A e B varia de
observador para observador.
Movimento relativo em uma
dimensão


Em seguida vamos obter a equação que transforma as
velocidades da partícula em cada um dos sistemas de
referência A e B.
Esta equação nos dá a relação exata entre as velocidades que
cada observador percebe em seus respectivos sistemas de
referência inercial. Assumimos que o observador B se move
com uma velocidade vBA constante conhecida em relação ao
observador A. Os observadores A e B determinam as
coordenadas de uma partícula P como xPA e xPB,
respectivamente.
xPA  xPB  xBA
Onde xBA é a coordenada de B em relação a A
Derivando em relação ao tempo a eq. acima:
d
d
d
 xPA    xPB    xBA   vPA  vPB  vBA
dt
dt
dt
Derivando a equação da velocidade em relação ao tempo
dvBA
e lembrando que
 0  aPA  aPB
dt
Nota: Os observadores A e B medem
velocidades diferentes para a partícula P,
mas ambos medem a mesma aceleração.
Movimento relativo em duas dimensões
Os observadores A e B determinan o vetor posição da partícula P


como rPA e rPB respectivamente.



rPA  rPB  rBA Derivando em relação oa tempo os dois lados da equação obtemos
d 
d 
d 



rPA  rPB  rBA  vPA  vPB  vBA
dt
dt
dt



Derivando ambos os lados da equação da velocidade temos: vPA  vPB  vBA
d 
d 
d 
vPA  vPB  vBA
dt
dt
dt



dvBA
Considerando que
 0  aPA  aPB
dt
Nota: Como ocorre no caso em 1D, os observadores
medem velocidades diferentes, mas a aceleração é
a mesma para os dois observadores.