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Tópicos de Física Moderna 2004/2005
Formulário
Medições e erros
1 n
~
x  x   xi
n i 1
A melhor estimativa do valor verdadeiro a partir de
n medidas - média aritmética
1 n
 ( xi   x ) 2
n  1 i 1
x 

x x
n
x
x
g ( x) 
Resultado da experiência – a melhor estimativa do
valor verdadeiro do x  a incerteza neste com o
nível de confiança de cerca de 68.3%
O mesmo, mas com o nível de confiança de cerca
de 95%
2 x
n
3 x
O mesmo, mas com o nível de confiança de cerca
de 99%
n
1
2 
Desvio padrão, caracteriza a dispersão dos
resultados de n medidas do x

Distribuição de Gauss;  corresponde à posição do
máximo (e à média dos valores x) e  é o desvio
padrão (caracteriza a largura da distribuição)
(   x) 2
e
2
2
Cinemática
dx
dt
dv d 2 x
a

dt dt 2
v
Velocidade (numa dimensão)
Aceleração (numa dimensão)
t
Calculo da velocidade a partir da
aceleração (numa dimensão)
v(t )   a(t )dt  v0
0
t
Calculo da posição a partir da
velocidade (numa dimensão)
x(t )   v(t )dt  x0
0

 dr
 dx dy dz 
v
, onde v x , v y , v z   , , 
dt
 dt dt dt 

 dv dv y dv z 
 dv
a
, onde a x , a y , a z   x ,
,

dt
 dt dt dt 


Velocidade (em 3 dimensões)


Aceleração (em 3 dimensões)
t



v (t )   a (t )dt  v0
0
t



r (t )   v (t )dt  r0
0
Calculo da velocidade a partir da
aceleração (em 3 dimensões)
Calculo da posição a partir da
velocidade (em 3 dimensões)
Dinâmica
 dp
F
dt


F  ma
F  kx


2ª Lei de Newton em forma geral ( p  mv - momento linear,


F   Fi - soma vectorial das forças a actuar sobre o corpo)
2ª Lei de Newton no caso de m=const
Força elástica
(k – constante elástica, x – elongamento)
Trabalho e Energia
 
dW  F  dr
 
W AB   F  dr
C
WAB  TB  TA
WAB  (U B  U A )
( n.c.)
WAB  (U B  U A )  WAB
( n.c.)
E B  E A  WAB


Trabalho da força F num deslocamento dr (definição)

Trabalho da força F efectuada quando o corpo se desloca
do ponto A para o ponto B ao longo da trajectória C
A variação da energia cinética do corpo, T, ao deslocar-se
do ponto A para o ponto B é igual ao trabalho das forças
(todas, i.e. conservativas e não conservativas) a actuar
sobre o corpo
Num sistema conservativo: relação entre o trabalho das
forças conservativas e a variação da energia potencial nos
pontos de chegada, UB, e de partida , UA
Num sistema não conservativo: adiciona-se o trabalho
( n.c.)
efectuado pelas forças não conservativas, WAB
Conservação da energia total mecânica (E=T+U) num
sistema não conservativo
Campos
dU ( x)
F ( x)  
dx
 
 
F (r )  U (r )
Relação entre a energia potencial e a força num
campo (força conservativa) numa dimensão

Relação entre a energia potencial e a força num
campo (força conservativa) em 3 dimensões

 U U U 
Fx , F y , Fz  
,
,

y
z 
 x

mm 
F (r )  G 1 2 2 er
r
mm
U (r )  G 1 2
r

(q1 )q2 
F ( r )  k
er
r2
(q1 )q2
U ( r )  k
r
Força da interacção gravitica entre dois corpos de
massas m1 e m2 a distância r
(G=6.6710-11 Nm2kg-2 – constante de gravitação;




r
er   - vector unitário do r (versor r )
r
Energia potencial da interacção gravítica
Força de Coulomb (electrostática)
Energia potencial da interacção electrostática
Oscilações harmónicas
  2f
1
T
f
Relação entre a frequência angular () e frequência linear (f)
Notações:
x 
Período de oscilações
dx
d 2x
, x  2 ( x, x , x são funções do tempo, t)
dt
dt
Oscilações harmónicas simples:
a equação de oscilações harmónicas simples
mx  kx
(m é a massa e k constante elástica, x=x(t) )
a sua solução
x(t )  A  cos( 0 t   )
(  0 - frequência própria do sistema,
A – amplitude de oscilações,
 - fase inicial;
A e  são constantes de integração e determinam-se a partir
das condições iniciais)
2
frequência própria angular do sistema oscilatório
0  k / m
Oscilações amortecidas:
mx  kx  x
x(t )  Ae t  cos( t   )
   02  2


a equação de oscilações amortecidas
(m é a massa e k constante elástica,
 - uma constante que caracteriza a força de atrito no



sistema Fa  v  xev )
a sua solução
(  - frequência angular do sistema amortecido,
 – coeficiente do amortecimento,
A – amplitude inicial de oscilações,  - fase inicial)
frequência do sistema amortecido
(  0  k m - frequência do sistema na ausência do
amortecimento)
coeficiente de amortecimento
2m
Oscilações forçadas:
mx  kx  x  F0 cos( f t )
x(t )  A( f )  cos f t   ( f ) 
A( f ) 
A equação de oscilações forçadas
(  f , F0 - frequência e amplitude da força
exterior)
A sua solução
F0 m
( 02   2f ) 2  42 2f
tan  ( f ) 
Amplitude de oscilações forçadas
 2 f
 02   2f
Fase de oscilações forçadas
Ondas
1
T
  2f
f 
k
Relação entre frequência linear, f, e período da onda, T
Relação entre frequência linear, f, e frequência angular,
, da onda
2
Número de onda ( – comprimento da onda)

v  f 

T
 2 ( x, t )
t
2


Velocidade da onda
k
2
2  ( x, t )
v
2
x
Equação geral da onda ( - função da onda, v –
velocidade da onda)
Velocidade de propagação de ondas numa corda com a
massa por unidade de comprimento   m l (kg/m)

esticada com uma tensão FT (N)
Função da onda plana progressiva
( x, t )  A  sin(  t  kx   )
(monocromática)
Função da onda estacionária
  1  
  1 

( x, t )  2 A  cos kx  2
 sin   t  2

 ( x, t )   1 ( x, t )   2 ( x , t )
2  
2 

com
FT
v
 1 ( x, t )  A  sin(  t  kx   1 )
( x, t )  2 A  cos t  kxsin  t  k x 
  2
  2
onde   1
,   1
 1   2
2
2
k  k2
k  k2
k  1
, k  1
 k1  k 2
2
2
f f
1  vr v
1 v f v
f f
1 v c
1 v c
 2 ( x, t )  A  sin(  t  kx   2 )
Efeito de batimentos
 ( x, t )   1 ( x, t )   2 ( x , t )
com
 1 ( x, t )  A  sin( 1 t  k1 x)
 2 ( x, t )  A  sin(  2 t  k 2 x)
tais que 1   2 e k1  k 2
Efeito Doppler para o som (f – frequência do som emitido,
f´ - frequência do som detectado; v – velocidade do som no
ar, vf – velocidade da fonte, vr – velocidade do receptor)
Efeito Doppler para a luz (c – velocidade da luz, v –
velocidade do movimento do receptor relativamente à
fonte)
Ondas da luz
n
c
v
i  i
nr sin r  ni sin i
Definição do índice de refracção (c=3108 m/s –
velocidade da luz no vacuo, v – velocidade da luz
no meio)
A lei de reflexão (o ângulo de reflexão, i´, é igual
ao ângulo de incidência, i)
A lei de refracção (lei de Snell) que relaciona os
ângulos de incidência, i, e de refracção, r (ni e nr
são os índices de refracção dos meios respectivos)
n
sin ic  r
ni
d sin   m (m  0,  1,  2,...)
d sin   m 

2
Experiência da dupla fenda (experiência de
Young) – ângulos  em que se observam os
máximos de interferência (d – distância entre as
fendas)
(m  0,  1,  2,...) Experiência da dupla fenda – posição (angular)
dos mínimos de interferência
a sin   m (m   1,  2,...)
sin  
Ângulo crítico, ic ( nr  ni ) para a reflexão total

a
Difracção da luz numa fenda estreita (de largura
a) – posição (angular) dos mínimos
Difracção da luz numa fenda estreita (de largura
a) – largura angular da imagem central
Relatividade
t
t
1  (v c )
Dilatação do tempo
(c=3108 m/s – velocidade da luz no vacuo)
2
l  l  1  (v c ) 2
 x    ( x  ct )
 y  y


z  z
 ct    (ct  x)
E  m0 c 2
E  mc 2
m
Contracção do espaço
Transformações de Lorentz para as coordenadas
v
1
 ,  
, v a velocidade do referencial C´ em
c
1  2
relação ao referencial C (v é ao longo dos xx)
Equivalência massa-energia, partícula em repouso
Equivalência massa-energia, partícula em movimento
m0
1  (v c )
2
Massa da um corpo a mover-se com a velocidade v;
m 0 - massa do corpo em repouso
E 2  ( pc) 2  (m0 c 2 ) 2
Relação entre energia total, momento linear e massa
T  E  m0 c 2
Energia cinética


p  mv 
Q

m0 v
1  (v c ) 2
 mc 2 i   mc 2  f
Momento linear
A energia libertada numa reacção nuclear (i indica estado
inicial, f – estado final)
Física quântica
E  hv ou E  
h

2
E
c
h

p
p
Relação entre a frequência de onda da luz e a
energia de um fotão (v – frequência linear,
=2v – frequência angular, h – constante de
Plank, h=6.6310-34 Js)
Momento linear do fotão
Comprimento de onda de uma partícula com
momento linear p (relação de DeBroglie)

2

E   t 
2
2
2
  d

 U ( x) ( x)  E ( x)

2
 2m dx

 x  p x 
P ( x)dx   ( x) dx
P( x1  x  x2 ) 
  ( x)
2
dx
A probabilidade de detectar a partícula numa
posição com a coordenada x entre x1 e x2
2m(U 0  E )
A probabilidade para uma partícula com a
energia E de atravessar uma barreira potencial
rectangular de altura U0 e espessura b (E< U0)
x1
PT  e  2 b , onde  
Equação de Schrödinger numa dimansão para
estados estacionários
A probabilidade de detectar uma partícula no
intervalo (x, x+dx)
2
x2
Relações de incerteza de Heizenberg
