d - Uniposrio

UNIPOSRIO-FÍSICA
Exame Unificado das Pós-Graduações
em Física do Rio de Janeiro
02/12/2011, 14:00 - 18:00
Este exame contém enunciados em português.
Verifique se ele têm 3 páginas. Todas as questões tem o mesmo peso.
VERSÃO EM PORTUGUÊS:
Questão 1: Uma partícula de massa m se move ao longo da trajetória dada por x = x0 cos(!1 t) e y = y0 sin(!1 t).
a) Encontre a força que age sobre a partícula. Em que condições esta força é uma força central?
b) Considerando o zero da energia potencial na origem, encontre a energia potencial da partícula.
c) Determine a energia cinética da partícula. Mostre que a energia total da partícula se conserva.
Questão 2: Durante a apresentação de uma palestra, é utilizado um pequeno apontador a laser que emite luz vermelha de
comprimento de onda = 600 nm com potência igual a 3 mW, concentrada em um feixe com diâmetro de 2 mm. Calcule:
(dados: µ0 = 4⇡ ⇥ 10 7 Tm/A
"0 = 8.854 ⇥ 10 12 C2 /(Nm2 ))
a) a frequência ⌫ e intensidade I desta onda;
b) as amplitudes do campo elétrico Emax e do campo magnético Bmax da luz emitida;
c) a energia U contida em um comprimento do feixe igual a 3 m (distância típica entre o apresentador e a tela).
d) Se a tela da apresentação é um refletor perfeito (i.e. toda a luz incidente é refletida), e a luz do laser incide na tela
perpendicularmente, determine a pressão P que esta radiação exerce sobre a tela.
Questão 3: Água se move com velocidade de 5, 0 m/s em um cano com seção reta de 4, 0 cm2 . O cano no qual a água se
move, desce gradualmente 10 m enquanto sua seção reta aumenta para 8, 0 cm2 . A pressão da água antes da descida é de
1
1, 5 ⇥ 105 Pa. Qual é a pressão depois da descida? Considere que a densidade da água é de 1, 0 ⇥ 103 kg/m3 e a aceleração
da gravidade é de 9, 8 m/s2 .
Questão 4: Considere duas placas quadradas, P1 e P2 , ambas com espessura 2d e área L2 , separadas por uma distância l,
como mostrado na Figura 1. A placa P1 é feita de material dielétrico com constante dielétrica K = 1 e possui uma carga
positiva +2Q, uniformemente distribuída em seu interior. A placa P2 é feita de material condutor e tem uma carga total
negativa Q. Considere também que as placas estão em equilíbrio eletrostático e que d/L << 1 e l/L << 1.
~ nas regiões:
a) Utilizando a lei de Gauss determine o campo elétrico E
1 x<
2
d;
d < x < d;
3 d < x < d + l;
4 d + l < x < 3d + l;
5 3d + l < x.
b) Como se distribuem as cargas na placa P2 ?
Figure 1: Representação esquemática das placas P1 e P2 .
Atenção: Do conjunto de quatro questões a seguir, escolha APENAS DUAS
Questão 5: Uma partícula está em um estado descrito pela função de onda
1
=p
ei sin ✓ + cos ✓ g(r)
4⇡
onde
Z
1
0
drr2 |g(r)|2 = 1
e , ✓ são os ângulos azimutal e polar, respectivamente.
Obs: Os primeiros harmônicos esféricos são:
r
r
r
1
3
3 ±
Y00 =
; Y10 =
cos ✓; Y1±1 = ⌥
e sin ✓
4⇡
4⇡
8⇡
2
a) Quais são os possíveis resultados em uma medida da componente z do momento angular Lz da partícula neste estado?
b) Quais são as probabilidades de obter cada um dos possíveis resultados da parte (a)?
c) Qual é o valor esperado de Lz neste estado?
Questão 6: Um sistema de duas partículas, cada uma com spin 12 , é descrito pela Hamiltoniana efetiva
H = A (s1z + s2z ) + B~s1 · ~s2
onde ~s1 e ~s2 são os operadores de spin das partículas 1 e 2 respectivamente, s1z e s2z as componentes z correspondentes e A
e B são constantes.
~ 2 e Sz podem ser medidos simultaneamente, onde S
~ = ~s1 + ~s2 .
a) Mostre que H, S
b) Encontre todos os níveis de energia dessa Hamiltoniana.
Questão 7: Considere a Hamiltoniana para o oscilador harmônico, em uma dimensão, da forma:
H=
p2
1
+ m! 2 x2 .
2m 2
Sabendo que podemos definir dois operadores a e a† na forma
a
=
a†
=
1
(p im!x)
2m~!
1
p
(p + im!x)
2m~!
p
e que temos a|0i = 0. Supondo que o sistema, no instante t = 0 se encontra em um estado da forma
1
2
| (t = 0)i = p |1i + p |2i
5
5
.
a) Determine | (t > 0)i.
b) Prove que h (t)|H| (t)i é independente do tempo.
c) Obtenha o valor esperado de x como função do tempo hx(t)i
Questão 8: Considere um corpo rígido de momento de inércia I que é vinculado a rodar no plano xy, sabendo que seu
comportamento é determinado pela equação
~2 d 2
=E ,
(1)
2I d'2
1. Obtenha os autovalores e autofunções.
!
2. Supondo que este rotor tem um momento de dipolo !
q no plano. Um campo elétrico constante E é aplicado ao plano.
Determine, se existir, a correção à energia em primeira ordem em teoria de perturbação.
3