1 a - Liceu Albert Sabin

MATEMÁTICA
Sequência & Progressões – 1
Professor
Marcelo Gonsalez Badin
Seqüência Série Sucessão
{2, 3, 5, 10} = {3, 10, 2, 5}
Num conjunto não importa a ordem na qual
os elementos são apresentados
Conjunto NÃO É ORDENADO
(2, 3, 5, 10) ≠ (3, 10, 2, 5)
Numa seqüência importa a ordem na qual
os elementos são apresentados
Seqüência É ORDENADA
Notação: É usual representar os elementos de uma seqüência por
uma letra minúscula com um índice, que representa a
posição do elemento na seqüência
(2, 3, 5, 10)
Temos: a1 = 2
a2 = 3
a3 = 5
a4 = 10
Uma seqüência pode ser apresentada explicitamente (exemplo acima)
ou através de uma fórmula, chamada de termo geral lei de formação
expressão do n-ésimo termo
Vamos escrever os quatro primeiros termos da seqüência definida por
bn = n3 + 2n + 5
b1 = 8
b3 = 38
b2 = 17 b4 = 77
Seqüências são funções?
f : IN*→IR
Obs.: O primeiro termo de uma
seqüência pode ser o a0 desde
que devidamente explicitado
É fácil perceber que há infinitas seqüências
f : IN→IR
Uma sucessão pode ter um número finito ou infinito de termos;
portanto, pode ser uma sucessão finita ou uma sucessão infinita.
Obviamente, é impossível enumerar ou explicitar todos os termos
de uma sucessão infinita. Sucessões infinitas são dadas listando-se
seus primeiros termos e colocando um sinal de reticências donde,
com costumeira sorte, se depreende a regra formadora (lei de formação)
do restante da seqüência.
(1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, ...)
(1, 4, 9, 16, 25, 36, ...)
Cada termo é a soma dos 2 anteriores
an = n2
fn = fn – 1 + fn – 2 (n ≥ 3)
Você acha mais fácil calcular
f1 = f 2 = 1
a150 ou f150?
Seqüências como a de Fibonacci
(para calcular um termo precisamos do anterior)
são chamadas Seqüências Recorrentes
Exercícios
1. Determine o quarto termo das sequências definidas por:
a) an = n2 – 2n + 3 (n ∈ IN*)
a4 = 11
b) a1 = 3
an+1 = an + 5n (n ∈ IN*)
a4 = a3 + 5.3
?
?
n = 1 a2 = a1 + 5.1
a2 = 3 + 5 = 8
n = 2 a3 = a2 + 5.2
a3 = 8 + 10 = 18
n = 3 a4 = a3 + 5.3
a4 = 18 + 15
a4 = 33
Progressão Aritmética (P.A.)
Progressão aritmética é uma seqüência na qual a diferença entre
cada termo e o termo anterior é constante
Essa diferença constante é chamada razão da progressão e
representada pela letra r
Exemplos:
(1, 2, 3, 4, 5,...) a1 = 1
r=1
(13, 10, 7, 4, 1,...) a1 = 13
r = –3
PA crescente r > 0
PA decrescente r < 0
PA constante r = 0
(3, 7, 11, 15, 19,...) a1 = 3
r=4
(2, 2, 2, 2, 2,...) a1 = 2
r=0
(–15, –13, –11, –9,...) a1 = –15
r=2
Média aritmética
Progressão Aritmética (P.A.)
PA (a, b, c)
r=b–a
r=c–b
b–a=c–b
b+b=a+c
2b = a + c
Propriedade da média
(3, 7, 11, 15, 19,...)
O dobro do termo central é
a+c
b=
a soma dos termos adjacentes
2
2. Determine x de modo que a seqüência (x + 2, 3x, 2x + 7) seja uma P.A.
c
a
b
2.3x = x + 2 + 2x + 7
Obs.: Qual a razão da PA formada?
6x = 3x + 9
PA (5, 9, 13)
3x = 9
x=3
r=4
PA de três termos
( a – r, a ,a + r )
Ao somar, “some” o r
3. A soma de três números em progressão aritmética é 15 e seu
produto 80. Quais são esses números?
Sejam os números em PA: a – r, a , a + r
Soma = 15 ⇒ a – r + a + a + r = 15
3a = 15
a=5
Produto = 80 ⇒ (a – r).a.(a + r) = 80
(5 – r).5.(5+ r) = 80 (Divide por 5)
(5 – r)(5+ r) = 16
r = 3 ⇒ PA (2, 5, 8)
52 – r2 = 16
r2 = 9
r = – 3 ⇒ PA (8, 5, 2)
Os números
são 2, 5 e 8
Progressão Aritmética (P.A.) Termo Geral
PA (a1, a2, a3, a4, ...)
an = a1 + (n – 1)r
razão = r
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a3 = a1 + r + r
a3 = a1 + 2r
Todo termo pode ser escrito em função
do primeiro termo e da razão
a28 = a1 + 27r
Deve ser automático: a56 = a1 + 55r
a123 = a1 + 122r
Para saber tudo de uma PA, basta conhecer a1 e r
a4 = a3 + r
a4 = a1 + 2r + r
a4 = a1 + 3r
a5 = a1 + 4r
4. Calcule o vigésimo primeiro termo da
PA (–5, –2, ...) a21 = a1 + 20r
a1 = –5
a21 = – 5 + 20.3
r= 3
a21 = 55
a21 = ?
5. Determine a progressão aritmética onde a3 + a5 = 22 e a4 + a8 = 34
a3 + a5 = 22 ⇒ a1 + 2r + a1 + 4r = 22
(..., a3, a4, a5, ...)
a4 + a8 = 34 ⇒ a1 + 3r + a1 + 7r = 34
2a4 = a3 + a5
2a1 + 6r = 22
2a4 = 22
2a1 + 6.3 = 22
a4 = 11
2a1 + 10r = 34
2a1 = 4
a4 + a8 = 34
4r = 12
a1 = 2
r=3
11 + a8 = 34
Opções para apresentar a resposta:
a8 = 23
1) A progressão aritmética é (2, 5, 8, 11, ...)
2) É uma progressão aritmética com a1 = 2 e r = 3 an = a1 + (n – 1)r
3) É uma progressão aritmética cujo termo geral é
an = 2 + (n – 1)3
an = 3n – 1
an = 2 + 3n –3
an = 3n – 1
Obs.: O termo geral de uma P.A. não constante é sempre uma função do 1º grau
6. Inserindo 4 meios aritméticos entre 14 e 49, qual a razão da PA formada?
4 meios aritméticos
14
49
O número de termos n é 6:
2 nas pontas (14 e 49) e 4 no meio
PA:
an = a1 + (n – 1)r
a1 = 14
49 = 14 + (6 – 1)r
an = 49
5r = 35
n=6
r=7
r=?
A razão da PA formada é 7
PA: (14,21, 28, 35,42,49)
7. Determine quantos múltiplos de 7 estão compreendidos entre 100 e 1000
Os múltiplos de 7 formam PA de razão 7
100 7
30 1 4
Neste caso, temos:
2
PA:
100 não é múltiplo de 7
a
=
a
+
(n
–
1)r
r=7
n
1
mas 100 – 2 = 98 é
a1 = 105 994 = 105 + (n – 1).7
Assim, a1 = 98 + 7 = 105
an = 994
(Divide por 7)
1000 7
142
=
15
+
(n
–
1)
n=?
30 1 4 2
n = 128
20
6
Há 128 múltiplos de 7 compreendidos
1000 não é múltiplo de 7
entre 100 e 1000
mas 1000 – 6 = 994 é
Variações do mesmo tema:
Quantos múltiplos de 6 e 15 estão compreendidos entre100 e 1000?
Como MMC(6,15) é 30, o problema equivale a determinar quantos
múltiplos de 30 estão compreendidos entre 100 e 1000.
Quantos múltiplos de 6 ou 15 estão compreendidos entre 100 e 1000
M6
M15
É só fazer M6 + M15 – M30
Dica para o 12 da série “O Pensador”
Comecei uma leitura na página 158 e terminei
M30
na página 279. Quantas páginas eu li?
a) 120 b) 121 c) 122 d) 123 e) 124
PA:
n – 1 = 279 – 158
an = a1 + (n – 1)r
r=1
279 = 158 + (n – 1).1 n = 279 – 158 + 1
a1 = 158
n = 122
an = 279
Li 122 páginas
n=?
8.(Vunesp-04) Num laboratório, foi feito um estudo sobre a evolução de uma população
de vírus. Ao final de um minuto do início das observações, existia 1 elemento na
população; ao final de dois minutos, existiam 5, e assim por diante. A seguinte seqüência
de figuras apresenta as populações do vírus (representado por um círculo) ao
final de cada um dos quatro primeiros minutos.
Supondo que se manteve constante o ritmo de desenvolvimento da população, o número
de vírus no final de 1 hora era de:
a) 241
b) 238
c) 237
d) 233
e) 232
Seja an o número de vírus no final do minuto n
Como o ritmo é constante, temos uma PA com
Das figuras:
a1 = 1 e r = 4
a1 = 1
a2 = 5
O número de vírus no final de 1 hora é a60
a60 = 237
a3 = 9
a60 = a1 + 59r
a4 = 13
a60 = 1 + 59.4