Apresentação do PowerPoint

MÉTODOS NUMÉRICOS
APLICADOS EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE
POTÊNCIA
Professor: Lissandro Brito Viena
e-mail: [email protected]
[email protected]
Site: www.ifba.edu.br/professores/lissandro
NEWTON-RAPHSON
O método de Newton-Raphson é um método iterativo o qual
aproxima um conjunto de equações não-lineares simultâneas por
um conjunto de equações lineares usando expansão por séries de
Taylor e os termos são restritos a aproximação de primeira ordem.
Dado um conjunto de equações não-lineares:
y1  f1 (x1 , x 2 , x 3 ,
xn )
y 2  f 2 (x1 , x 2 , x 3 ,
xn )
y n  f n (x1 , x 2 , x 3 ,
xn )
NEWTON-RAPHSON
Como estimativa inicial da solução tem o seguinte vetor:
x 01 , x 02 , x 03 ,
x 0n
Assumindo que
x1 , x 2 , x 3 ,
x n
respectivas estimativas iniciais, tem-se que:
(0)
y1  f1 (x1(0)  x1 , x (0)


x
,
x
 x 3 ,
2
2
3
são as correções das
x (0)
 x n )
n
(0)
y 2  f 2 (x1(0)  x1 , x (0)


x
,
x
 x 3 ,
2
2
3
x (0)
 x n )
n
(0)
y n  f n (x1(0)  x1 , x (0)


x
,
x
 x 3 ,
2
2
3
x (0)
 x n )
n
Cada equação abaixo pode ser expandida por série de Taylor e
desprezando os termos de ordem mais elevada, tem-se:
(0)
y1  f1 (x1(0) , x (0)
,
x
,
2
3
y 2  f 2 (x , x 2 , x 3 ,
(0)
1
(0)
(0)
y n  f 2 (x , x 2 , x 3 ,
(0)
1
(0)
(0)
x (0)
)  x1
n
f1

x1 0
,  x n
f1
x n
0
f 2
x n )  x1

x1 0
f 2
,  x n
x n
0
f n
x n )  x1

x1 0
f n
,  x n
x n
0
(0)
(0)
Utilizando notação matricial:
(0)
 y1  f1 (x1(0) , x (0)
,
x
,
2
3


 y  f (x (0) , x (0) , x (0) ,
2
3
 2 2 1



 y n  f 2 (x1(0) , x (0) , x (0) ,
2
3

 f1


x (0)
)
 x1
n
 
 
  f
x (0)
)
n
 2
  x1
 
 
  f
x (0)
)
n
n

 x
 1
0
f1
x 2
0
f 2
x 2
0
f n
x 2
0
f1
x n
0
f 2
x n
0
f n
x n
  x1 




0






  x 2 

0




  x 
 n

0

Em que:
J -> MATRIZ JACOBIANA DA FUNÇÕES fi
(0)
 y1  f1 (x1(0) , x (0)
,
x
,
2
3


D= 
(0)
y 2  f 2 (x1(0) , x (0)
,
x
,
2
3




 y n  f 2 (x1(0) , x (0) , x (0) ,
2
3

x (0)
)
n



x (0)
)
n




x (0)
) 
n
Em que:
J -> MATRIZ JACOBIANA DA FUNÇÕES fi
 f1
f1
f1 



x

x

x
2 0
n 0
 10




 f 2
f 2
f 2 
J
x1 0 x 2 0
x n 0 






f n
f n 
 f n
 x


x

x
2 0
n 0
 10
Em que:
R -> Vetor de variações
 x1 










R   x 2 








 x n 


De uma maneira iterativa podemos escrever as equações:
D(p)  J (p) R (p)
D(p)  J (p) R (p)
R
(p)
1
  J  D(p)
(p)
O novo valor para cada variável xis pode ser calculado por:
x i(p1)  x i(p)  x i(p)
O processo é repetido até que dois valores sucessivos para cada xi
tenha uma diferença estabelecida por uma tolerância especificada.
FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
O método de NR é mais eficiente para grandes sistemas de
potência. A principal vantagem deste método é que o número de
iterações necessário para obter a solução é independente do
tamanho do problema e computacionalmente é mais rápido.
Reescrevendo as equações do fluxo de potência:
n
Pi  Vi Yii cos(ii )   Yik Vi Vk cos(ik   k  i )
2
k 1
k i
n
Pi   Yik Vi Vk cos(ik   k  i )
k 1
.
FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
n
Qi  Vi Yii sen(ii )   Yik Vi Vk sen(ik   k  i )
2
k 1
k i
n
Qi   Yik Vi Vk sen(ik   k  i )
k 1
As equações do fluxo de potência constituem um conjunto de
equações algébricas não-lineares em termos das variáveis
independentes, módulo da tensão e ângulo de fase em radiano.
Expandindo as equações por série de Taylor, tem-se então:
.
FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
 P (p)
2

 2


 P2(p)  
(p)

  Pn

  2
(p)
 P  
 n  


.Q(p)   Q2 (p)
 2    

  2 
 Q(p)  
 n  


(p)



Q

n

  
 2 
P2(p)
n
 P2(p)

  V2



(p)
 P2(p)

  Vn



(p)
Pn(p)
n
 Pn(p)

  V2



(p)
 Pn(p)

  Vn



(p)
 Q 2 


 n 
(p)
 Q 2

  V2



(p)
 Q 2

  Vn



(p)
 Q n 


 n 
(p)
 Q n

  V2



(p)
 Q n

  Vn



(p)




(p)
  2 








(p)


n






(p)
   V2 




   V (p) 
n






FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
A equação anterior pode ser escrita numa forma mais compacta.
 P   J1
 Q    J
   3
J 2    
J 4    V 
Os elementos da diagonal principal e de fora da diagonal da
partição J1 são:
Pi
  Vi Vj Yij cos  ij  i   j 
i ji
Pi
 Vi Vj Yij sen  ij  i   j   i  j
 j
.
FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
Os elementos da diagonal principal e de fora da diagonal da
partição J2 são:
Pi
 2 Vi Yii cos  ii    Vj Yij cos  ij  i   j 
 Vi
ji
Pi
 Vi Yij cos  ij  i   j   j  i
 Vj
Os elementos da diagonal principal e de fora da diagonal da
partição J3 são:
Qi
  Vi Vj Yij cos  ij  i   j 
i
ji
Qi
 Vi Vj Yij cos  ij  i   j   i  j
 j
FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
Os elementos da diagonal principal e de fora da diagonal da
partição J4 são:
Qi
 2 Vi Yii cos  ii    Vj Yij sen  ij  i   j 
 Vi
ji
Qi
  Vi Yij sen  ij  i   j   j  i
 Vj
Os termos ΔP e ΔQ são as diferenças entre os valores calculados e
os especificados.
Pi(k )  Pisch  Pi(k )
(k )
Qi(k )  Qsch

Q
i
i
As novas estimativas para as tensões nas barras são:
FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
i(k 1)  i(k )  i(k )
Vi(k 1)  Vi(k )  Vi(k )
O procedimento para solução de fluxo de potência pelo método de
Newton-Raphson:
1) Para as barras de carga em que a potência ativa e a potência
reativa são especificadas, o módulo e o ângulo inicial é de 1 pu e 0
rad. Para barras de tensão controlada em que o ângulo e a potência
ativa líquida são especificadas. Resume-se assim:
i(0)  0

(0)
i
0
Vi(0)  1
BARRAS PQ
Pisch
BARRA PV
FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
2) Para as barras de carga Pi(k ) é calculado através de:
n
Pi  Vi Yii cos(ii )   Yik Vi Vk cos(ik   k  i )
2
k 1
k i
n
Pi   Yik Vi Vk cos(ik   k  i )
k 1
Já Qi(k ) é calculado por:
n
Qi  Vi Yii sen(ii )   Yik Vi Vk sen(ik   k  i )
2
k 1
k i
n
Qi   Yik Vi Vk sen(ik   k  i )
k 1
FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
(k )
2) Já Pi é calculado por:
Pi(k )  Pisch  Pi(k )
(k )

Q
E
é calculado por:
i
(k )
Qi(k )  Qsch

Q
i
i
(k)
(k )
P

P
3) Calcula-se para as barras PV i e i .
4) Os elementos da matriz jacobiana são calculados.
5)As equações simultâneas são resolvidas.
 P   J1 J 2    
 Q    J J    V 
   3 4

6) Os módulos e os ângulos de fase são calculados através de:
FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
6) Os módulos e os ângulos de fase são calculados através de:
i(k 1)  i(k)  i(k)
Vi(k 1)  Vi(k)  Vi(k)
7) O processo continua até que os valores residuais
Pi(k )  
Qi(k )  
FLUXO DE CARGA UTILIZANDO NEWTON-RAPHSON
Exemplo de aplicação do Newton-Raphson
Barra 1
Slack
Barra 2
0,02+j0,04
400 MW
250 MVAr
V1 = 1,05 pu
0,01+j0,03
0,0125+j0,025
Barra 3
200 MW
V3 = 1,04 pu