Um Novo Método para Resolver Sistemas de Equações Não

Um Novo Método para Resolver Sistemas de Equações NãoLineares.
Thiago Alves de Queiroz
Universidade Federal de Goiás - Departamento de Ciência da Computação
75705-220, Campus Catalão, Catalão, GO
E-mail: [email protected]
Donald Mark Santee
Universidade Federal de Goiás - Departamento de Matemática
75705-220, Campus Catalão, Catalão, GO
E-mail: [email protected]
RESUMO
O método de Newton-Raphson é bem
conhecido e utilizado para encontrar a solução
de sistemas de equações não-lineares. Este
método possui diversas vantagens, entre elas,
boa solução numérica com alto grau de
precisão em relação às geradas por outros
métodos [1].
No presente trabalho é proposto uma nova
versão para o método de Newton-Raphson, tal
que não é mais necessário calcular a matriz
Jacobiana, visto que esta é uma das maiores
dificuldades encontradas quando se utiliza este
método, mais ainda pela dificuldade em obter
as derivadas parciais das equações utilizadas,
pois na maioria das vezes as equações são
demasiadamente complexas.
Assim ao deixar de calcular a matriz Jacobiana
em cada iteração, tal método se reduz a outros
da literatura como o método da Secante ou de
Broyden, em que se perde a taxa de
convergência quadrática e, em alguns casos,
quando a taxa de convergência é mantida
quadrática, os algoritmos se tornam tão
complicados que é difícil implementá-los de
maneira eficiente [2, 3].
Porém, o método proposto no presente
trabalho mantém a taxa de convergência
quadrática e o algoritmo é tão simples de
codificar quanto o original. E, vários testes são
realizados com o intuito de mostrar que os
resultados gerados por este novo método são
iguais a melhores em ordem de precisão e de
esforço computacional que o do método de
Newton-Raphson e, consequentemente, dos
outros métodos utilizados para resolver tais
sistemas de equações.
PALAVRAS-CHAVE:
Convergência
Quadrática; Matriz Jacobiana; Método de
Newton-Raphson; Sistemas Não-Lineares.
Referências
[1] R. L. Burden e J. D. Faires, “Numerical
Analysis”, Ed. LTC, São Paulo, 2003.
[2] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T.
Vetterling e B. P. Flannery, “Numerical
Recipes in C: The Art of Scientific
Computing”, Cambridge University Press,
Massachusetts, 1992.
[3] M. A. G. Ruggiero e V. L. R. Lopes,
“Cálculo Numérico: Aspectos Teóricos e
Computacionais”, Ed. Makron Books, São
Paulo, 1996.