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Probabilidade
• Espaço amostral
• Evento
• Possibilidade
Definição
Numa experiência com vários resultados possíveis, todos com a “mesma chance”,
dizemos que:
a) Ponto Amostral é qualquer um dos resultados possíveis.
b) Espaço Amostral (representado por S) é o conjunto de todos os resultados
possíveis.
c) Evento (representado por A) é qualquer subconjunto do espaço amostral.
d) n(S) é o número de elementos de S, e n(A) é o número de elementos de A.
A probabilidade de ocorrer o evento A, representada por P(A), de um espaço amostral S
Ø, é o quociente entre o número de elementos de A e o número de elementos de S.
Simbolicamente:
𝑛(𝐴)
𝑃 𝐴 =
𝑛(𝑆)
Na prática costuma-se dizer que a probabilidade é o quociente entre o número de casos
favoráveis, que é n(A), e o número de casos possíveis, que é n(S).
Exemplo 1
Na experiência de jogar um dado honesto de seis faces, numera das de 1 a 6 temos:
a) O ponto amostral é a face numerada ou apenas o número.
b) O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6.
c) O evento “número ímpar” é A = {1,3,5} e n(A) = 3.
d) A probabilidade de obter um “número ímpar” é
𝑛(𝐴)
3 1
𝑃 𝐴 =
= =
𝑛(𝑆)
6 2
e) O evento “número menor que 3” é A = {1, 2} e n(A) = 2.
f) A probabilidade de obter um “número menor que 3” é:
𝑛(𝐴)
2 1
𝑃 𝐴 =
= =
𝑛(𝑆)
6 3
Exemplo 2
Na experiência de retirar uma carta de um baralho comum de 52 cartas, temos:
a) O ponto amostral é a carta.
b) O espaço amostral é o conjunto S de todas as cartas do baralho e, portanto,
n(S) = 52.
c) O evento “dama” é formado por 4 cartas e, portanto, n(A) = 4.
d) A probabilidade de obter uma dama é
𝑛(𝐴)
4
1
𝑃 𝐴 =
=
=
𝑛(𝑆) 52 13
e) O evento “carta de copas” é forma do por 13 cartas e, portanto, n(A) = 13.
f) A probabilidade de obter uma carta de copas é
𝑛(𝐴) 13 1
𝑃 𝐴 =
=
=
𝑛(𝑆) 52 4
Exercícios Resolvidos
(UNESP) – Numa pesquisa feita com 200 homens, observou-se que 80 eram
casados, 20 separados, 10 eram viúvos e 90 eram solteiros. Escolhido um homem ao
acaso, a probabilidade de ele não ser solteiro é
a) 0,65.
0,35.
b) 0,6.
c) 0,55.
d) 0,5.
e)
Resolução
Dos 200 homens, 110 não são solteiros e a probabilidade pedida é, portanto,
110
200
= 0,55 = 55%
Resposta: C
2. (Modelo ENEM) Um time de futebol amador ganhou uma taça ao vencer um
campeonato. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um
deles. Todos quiseram guardar a taça em suas casas. Na discussão para se decidir
com quem ficaria o troféu, travou-se o seguinte diálogo:
Pedro, camisa 6: – Tive uma ideia. Nós somos 11 jogadores e nossas camisas estão
numeradas de 2 a 12. Tenho dois dados com as faces numeradas de 1 a 6. Se eu jogar
os dois dados, a soma dos números das faces que ficarem para cima pode variar de 2
(1 + 1) até 12 (6 + 6).
Vamos jogar os dados, e quem tiver a camisa com o número do resultado vai guardar a
taça.
Tadeu, camisa 2: – Não sei não… Pedro sempre foi muito esperto… Acho que ele está
levando alguma vantagem nessa proposta…
Ricardo, camisa 12: – Pensando bem… Você pode estar certo, pois, conhecendo o
Pedro, é capaz que ele tenha mais chances de ganhar que nós dois juntos…
Desse diálogo conclui-se que
a) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a probabilidade de ganhar a guarda da
taça era a mesma para todos.
b) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham mais chances de
ganhar a guarda da taça do que Pedro.
c) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham a mesma chance
que Pedro de ganhar a guarda da taça.
d) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a
guarda da taça do que Pedro.
e) Não é possível saber qual dos jogadores tinha razão, por se tratar de um resultado
probabilístico, que depende exclusivamente da sorte
Resolução
A tabela a seguir mostra a soma dos números das faces que ficaram para cima no
lançamento de dois dados.
𝐷1
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
𝐷2
A probabilidade de a soma ser 6 (Pedro ficar com a taça) é
5
36
A probabilidade de a soma ser 2 ou 12 (Tadeu e Ricardo juntos ficarem com a taça) é
2
.
36
Assim, Pedro tinha mais chance de ficar com a taça do que Tadeu e Ricardo juntos e
ambos tinham razão em seus comentários.
Resposta: D
Exercícios Propostos
1. Joga-se, ao acaso, um dado “honesto” de seis faces numeradas de 1 a 6 e lê-se o número da
face voltada para cima. Calcular a probabilidade de obter:
a) o número 1.
b) um número par.
c) um número maior que 4.
d) um número menor que 7.
e) um número maior que 6.
RESOLUÇÃO:
O espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1
𝑎) 𝑃 (1) =
6
𝑏) 𝑃 2,4,6
𝑐) 𝑃 5, 6
3 1
=
6 2
2 1
= =
6 3
=
𝟔
𝟔
d) P{(1, 2, 3, 4, 5, 6)} = = 𝟏 (evento certo)
e) P(Ø) = 0 (evento impossível)
𝟏
Respostas: a) 𝟔
b)
𝟏
𝟐
C)
1
3
d) 1
e) 0
Numa urna existem 4 bolas numeradas de 1 a 4 que diferem apenas pela numeração. Retiramse duas bolas ao acaso e simultaneamente. Qual a probabilidade de obter bolas com números
que têm soma par?
RESOLUÇÃO:
O espaço amostral é S = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
O evento “soma par” é A = {(1, 3), (2, 4)}
Então, n(S) = 6 e n(A) = 2, logo: P(A) =
Resposta:
𝟏
𝟑
𝒏(𝑨)
𝒏 𝑺
=
𝟐
𝟔
=
1
3
3) Lançam-se dois dados “honestos” com faces numeradas de 1 a 6. Pede-se :
a) O espaço amostral desta experiência.
1
2
3
4
5
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,5)
6
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
b) A probabilidade de que a soma obtida seja 10.
RESOLUÇÃO:
O evento “soma 10” é A = {(4; 6), (6; 4), (5; 5)}
P(soma 10) =
3
36
6
=
1
12
José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em
cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará
dois dados simultaneamente. José acredita que,
após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma
igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma
será igual a 8.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é
a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas.
b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a
escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo.
c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a
escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo.
d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a
soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.
e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas
4)
RESOLUÇÃO:
Existem 6 possibilidades para formar a soma 7, que são (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3),
(5; 2) e (6; 1).
Existem 3 possibilidades para formar a soma 4, que são (1; 3), (2; 2) e (3; 1).
Existem 5 possibilidades para formar a soma 8, que são (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3) e
(6; 2).
Assim, quem tem a maior possibilidade de acertar a soma é José, já que há 6
possibilidades para formar a sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de
Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.
Resposta: D
5. Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento
desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatouse que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um
desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que
ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
𝑎)
1
2
b)
5
8
c)
1
4
d)
5
6
e)
5
14
RESOLUÇÃO:
O diagrama de Venn seguinte mostra a distribuição de frequência dos alunos
da escola, quanto ao conhecimento das línguas inglesa e espanhola.
Alunos da escola (1200)
(600 – x) + x + (500 – x) + 300 = 1 200 x = 200
Desta forma, o diagrama fica:
Dos alunos da escola, 300 + 300 = 600 não falam inglês e, destes, 300 falam espanhol.
A probabilidade de um aluno que não fala inglês falar espanhol é
300
600
=
1
2
Resposta: A
União de eventos
União de eventos
a) Dados dois eventos A e B de um espaço amostral S ≠ Ø, a probabilidade de ocorrer A
ou B é:
𝑃 𝐴𝑈𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
Demonstração
Se A e B forem dois eventos de um espaço amostral S, então n(A B) = n(A) + n(B) – n(A
B)
Dividindo ambos os membros por n(S), temos:
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)
b) Se A B = Ø, então A e B são chamados eventos mutuamente exclusivos.
Neste caso P(A B) = 0 e por tanto
P(A B) = P(A) + P(B)
c) Se A B = Ø e A B = S, então A e B são chama dos eventos exaustivos.
Neste caso além de P(A B) = 0 temos também P(A B) = P(S) = 1. Logo:
P(A B) = P(A) + P(B) = 1
Exercícios Resolvidos
1. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, qual é a probabilidade de
ocorrer uma dama ou uma carta de ouros?
Resolução
Se A for o evento “dama” e B o evento “carta de ouros”, temos: n(A) = 4, n(B) = 13, n(A
B) = 1 e n(S) = 52.
Assim sendo:
4
13
1
16
4
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) =
+
− = =
52
52
13
52 52
2. Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. A probabilidade de
os dois números obtidos serem ímpares ou terem soma maior que 7 é:
c)
17
36
III) P(ímpares e soma maior que 7) =
3
36
𝑎)
7
18
b)
1
2
d)
4
9
e)
Resolução
I) P(números ímpares) =
II) P(números ímpares) =
9
36
15
36
IV) P(ímpares ou soma maior que 7) =
Resposta: E
9
36
+
15 3
36 36
=
21
36
=
7
12
7
12
Exercícios Propostos
1. Retirando ao acaso uma carta de um baralho comum de 52 cartas, calcule a
probabilidade de obter:
a) uma dama.
b) um rei.
c) uma carta de copas.
d) um rei ou uma dama.
e) um rei ou uma carta de copas.
RESOLUÇÃO:
2. Um grupo de 100 pessoas apresenta a seguinte com posição:
Marcando-se um encontro com uma delas, escolhendo seu nome ao acaso, qual a
probabilidade de a pessoa ser:
a) loira?
b) loira de olhos castanhos ou uma morena de olhos azuis?
RESOLUÇÃO:
(FUVEST) – Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face “6”
saía com o dobro da frequência da face “1” e que as outras faces saíam com a
frequência esperada em um dado não viciado. Qual a frequência da face “1”?
RESOLUÇÃO:
Resposta: C