probabilidade condicional e independência de

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7 PROBABILIDADE CONDICIONAL E INDEPENDÊNCIA DE EVENTOS
7.1 Probabilidade Condicional
Sejam A e B dois eventos (figura abaixo), com P A  0 . Denotemos por PB | A a
probabilidade de ocorrência de B, na hipótese de A ter ocorrido.
Como A ocorreu, A passa a ser o novo espaço amostral, que vem substituir o espaço
original  . Assim, temos que:
P  B | A 
P A  B 
, com P A  0 pois A já ocorreu.
P  A
Chamamos PB | A a probabilidade condicional de B, dado A, isto é, a probabilidade de
ocorrência de B, dado que A ocorreu. Como PB | A é uma probabilidade, então são válidas todas
as propriedades já estudadas.
Exemplo 1: Determinar a probabilidade de a jogada de um dado resultar em um número menor que
4 (a) se não temos nenhuma outra informação e (b) sabendo-se que o resultado é um número ímpar.
Exemplo 2: Dois dados são lançados. Consideremos os eventos:
A  x1 , x2  / x1  x2  10 e B  x1 , x2  / x1  x2 
Onde x1 é o resultado do dado 1 e x 2 é o resultado do dado 2. Avaliar P A , PB  , P A | B e
PB | A.
2
7.1.1

Teorema da Multiplicação ou da Probabilidade Composta
Se A e B são dois eventos do espaço amostral  , a probabilidade da ocorrência simultânea
de A e B é dada por: P A  B  P A  PB | A  PB  P A | B

Para três eventos quaisquer A1 , A2 e A3 temos:
P A1  A2  A3   P A1   P A2 | A1   P A3 | A1  A2 

Para os eventos A1 , A2 ,, An temos:
P A1  A2    An   P A1   P A2 | A1   P A3 | A1  A2     P An | A1  A2    An1 
Exemplo 1: Em um lote com 12 peças, 4 são defeituosas. Duas peças são retiradas uma após a outra
sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?
Exemplo 2: São lançados dois dados:
a) Descrever o espaço amostral.
b) Qual é a probabilidade de se obter uma soma de pontos igual a 7?
c) Qual é a probabilidade de se obter soma de 10 pontos ou um par com pontos iguais?
d) Qual é a probabilidade de se obter a soma 6, sabendo-se que o ponto do primeiro dado é
maior do que o ponto do segundo dado?
7.1.2 Partição do Espaço Amostral  e Teorema da Probabilidade Total
Dizemos que os eventos B1 , B2 ,, Bn representam uma partição do espaço amostral
 quando:
a) Bi  B j   ,  i  j
n
b)
B
i

i 1
c) PBi   0,  i
Consideremos A um evento do espaço amostral  , e B1 , B2 ,, Bn uma partição de  .
Portanto, podemos escrever:
A   A  B1    A  B2      A  Bn  .
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Alguns dos A  B j poderão ser vazios, mas isso não invalida essa decomposição de A. É
importante observar que todos os eventos A  B1 ,, A  Bn são dois a dois mutuamente
excludentes, portanto podemos escrever:
P A  P A  B1   P A  B2     P A  Bn  .
Porém, cada termo P A  B j  pode ser expresso na forma PA | B j  PB j  , e daí obtemos
o que se denomina o teorema da probabilidade total:
P A  P A | B1   PB1   P A | B2   PB2     P A | Bn   PBn 
ou
P  A 
n
 P  A | B   P B 
i
i
i 1
Esse teorema é utilizado quando se conhecem todas as PBi  e as P A | Bi  , mas se
desconhece diretamente P A.
Exemplo 1: Consideremos um lote com 20 peças defeituosas e 80 não-defeituosas, do qual
extrairemos duas peças, sem reposição. Sejam os eventos:
A  a primeira peça extraída é defeituosa 
B  a segunda peça extraída é defeituosa 
Calcular PB .
Exemplo 2: Uma determinada peça é manufaturada por três fábricas, digamos 1, 2 e 3. Sabe-se que
1 produz o dobro de peças que 2, e 2 e 3 produzem o mesmo número de peças. Sabe-se também que
2% das peças produzidas por 1 e por 2 são defeituosas, enquanto 4% daquelas produzidas por 3 são
defeituosas. Todas as peças produzidas são colocadas em um depósito, e depois uma peça é extraída
ao acaso. Qual a probabilidade de que essa peça seja defeituosa?
Exemplo 3: Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite que utiliza de uma
fazenda F1 , 30% de uma outra fazenda F2 e 50% de F3 . Um órgão de fiscalização inspecionou as
fazendas de surpresa e observou que 20% do leite produzido por F1 estava adulterado por adição de
água, enquanto que para F2 e F3 , essa proporção era de 5% e 2%, respectivamente. Na indústria de
sorvetes os galões de leite são armazenados em um refrigerador sem identificação das fazendas.
Para um galão escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que ele contenha leite adulterado?
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7.1.3Teorema de Bayes
Seja B1 , B2 ,, Bn uma partição do espaço amostral  e seja A um evento associado a  .
Com base no Teorema da Probabilidade Total é possível calcular a probabilidade do evento Bi
dada a ocorrência do evento A , pela seguinte fórmula:
PBi | A 
P A  Bi 
PBi   P A | Bi 
 n
, i  1,n
P  A
 PA | B j  PB j 
j 1
Este resultado é conhecido como Teorema de Bayes e é também denominado fórmula da
probabilidade das “causas”. Desde que os Bi constituam uma partição do espaço amostral um, e
somente um, dos eventos Bi ocorrerá. Portanto, a expressão acima nos dá a probabilidade de um
particular Bi (isto é, uma “causa”), dado que o evento A tenha ocorrido. A fim de aplicar esse
teorema, devemos conhecer os valores das PBi  . Muito frequentemente, esses valores são
desconhecidos, e isso limita a aplicabilidade do teorema.
Exemplo 1: Considere o exemplo 2 da seção anterior. Suponha-se que uma peça seja retirada do
depósito e se verifique que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que a peça tenha sido
produzida na fábrica 1?
Exemplo 2: A caixa A tem 9 cartas numeradas de 1 a 9. A caixa B tem 5 cartas numeradas de 1 a 5.
Uma caixa é escolhida ao acaso e uma carta é retirada. Se o número é par, qual a probabilidade de
que a carta sorteada tenha vindo de A?
Exemplo 3: Admita a seguinte configuração:
Cores
u1
u2
u3
Pretas
3
4
2
Brancas
1
3
3
Vermelhas
5
2
3
Urnas
Escolheu-se uma urna ao acaso e dela extraiu-se uma bola ao acaso, verificando-se que a bola é
branca. Qual a probabilidade da bola ter vindo da urna 2? E da urna 3?
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Exemplo 4: Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradas são apresentadas na
tabela a seguir, contendo o número de acidentes incluindo vítimas fatais e as condições do principal
motorista envolvido, sóbrio ou alcoolizado.
Vítimas fatais
Não
Sim
Sóbrio
1228
275
Alcoolizado
2393
762
Motorista
Você diria que o fato do motorista estar ou não alcoolizado interfere na ocorrência de vítimas
fatais?
7.2 Eventos Independentes
Se PB | A  PB , isto é, se a probabilidade de ocorrência de B não é afetada pela
ocorrência, ou não de A, dizemos que A e B são eventos independentes. Isto equivale a:
P A  B  P A  PB
Dados n eventos A1 , A2 ,, An , diz-se que eles são independentes se o forem 2 a 2, 3 a
3, , n a n. Assim, se A1 , A2 , A3 são independentes, então eles devem ser independentes dois a
dois, ou seja,


 
P A j  Ai  P A j  P Ai ,  j  i ,
e também devemos ter
P A1  A2  A3   P A1   P A2   P A3  .
Exemplo 1: Em uma caixa temos 10 peças, das quais 4 são defeituosas. São retiradas duas peças,
uma após a outra, com reposição. Calcule a probabilidade de ambas serem boas.
Exemplo 2: Sendo   1,2,3,4 um espaço amostral equiprovável e A  1,2 , B  1,3 e
C  1,4 três eventos de  . Verificar se os eventos A, B e C são independentes.
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Exemplo 3: Sejam A e B eventos tais que P A  0,2 , PB   p e P A  B  0,6 . Calcular p
considerando A e B.
a) Mutuamente exclusivos;
b) Independentes.
Exemplo 4: Uma empresa produz peças em duas máquina I e II, que podem apresentar desajustes
com probabilidade 0,05 e 0,10, respectivamente. No início do dia de operação um teste é realizado
e, caso a máquina esteja fora de ajuste, ela ficará sem operar nesse dia passando por revisão técnica.
Para cumprir o nível mínimo de produção pelo menos uma das máquinas deve operar. Podemos
dizer que a empresa corre o risco de não cumprir com suas metas de produção?
Exemplo 5: Um aluno responde a um teste de múltipla escolha com 4 alternativas com uma só
correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa de uma questão é de 30%. Se ele não sabe
a resposta existe a possibilidade de acertar “no chute”. Não existe a possibilidade de ele obter a
resposta certa por “cola”. Se ele acertou a questão, qual a probabilidade de ele realmente saber a
resposta?
Exemplo 6: A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um carro é de 3 , da B é de
4
1 e da C é de 1 . As possibilidades de os indivíduos comprarem um carro da marca x são
5
20
1 , 3 e 3 , dado que sejam de A, B e C respectivamente. Certa loja vendeu um carro da
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10
marca x . Qual a probabilidade de que o indivíduo que o comprou seja da classe B?