Curso EAD - Análise Combinatória e Probabilidade Turma 221 – 2ª série do E.M. – 3º trimestre/2009 Professora: Leonor W. Pedroso Probabilidade A probabilidade é o ramo da Matemática que estuda as chances de um evento aleatório ocorrer. Evento aleatório é um evento para o qual não sabemos o resultado de maneira previsível. Exemplo: Um casal está esperando um filho. Sabemos que esse filho é menino? Não! Sabemos apenas que o casal terá uma chance em duas de ter um filho homem (idem para filha mulher). Esse é um evento aleatório, pois não podemos prever sua ocorrência. Nesse mesmo exemplo, quando se diz “uma chance em duas”, temos duas informações importantes: primeira, o número de elementos do espaço amostral (que é o conjunto de todos os resultados possíveis). Notação para espaço amostral: . Notação para número de elementos do espaço amostral: n(). = {menino, menina} n() = 2 elementos Segunda informação, o número de elementos do evento A: “ter um filho homem”, notação n(A). A = {menino} n(A) = 1 A probabilidade é um número que mede as chances de um evento A ocorrer em um espaço amostral , assim temos: P (A) n (A) n () No exemplo anterior: P (A) n (A) 1 0,5 50 % , ou seja, o casal tem 50% de chances n () 2 de ter um filho homem. O mesmo ocorrerá para o evento B: “ter uma filha mulher”. P(B) = 50%. Observações importantes: 1) A probabilidade pode ser dada na forma fracionária, decimal ou em porcentagem. 2) A probabiliade será sempre um número entre 0 e 1 (inclusive): 0 P (A) 1 . 3) Probabilidade zero significa que o evento não tem chances de ocorrer, por exemplo, qual é a chance de “sair o número 7” no lançamento de um dado comum? Em um dado comum as faces estão numeradas de 1 a 6, então P(A) = 0 0 , pois não existe face 7. 6 4) Probabilidade 1 significa: “evento certo”, ou seja, com certeza irá ocorrer. Por exemplo, no lançamento de um dado comum, qual é a chance de “sair um número de 1 a 6”? A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(A) = 6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n() = 6 P (A ) 6 1. 6 O cálculo de probabilidades é feito em três etapas: encontrar o número de elementos do espaço amostral, o número de elementos do evento em questão e, finalmente, o cálculo da probabilidade. Agora iremos ver mais alguns exemplos de casos que apresentam algumas restrições ou detalhes que devem ser levados em consideração nas resoluções. 1) Considere o lançamento de dois dados honestos (significa que todas as faces têm as mesmas chances de aparecer no resultado) e responda: a) Qual a probabilidade de que a soma das faces do resultado seja uma número par? b) Qual a probabilidade de que a soma das faces do resultado seja um número par e um múltiplo de 3? c) Qual a probabilidade de que a soma das faces do resultado seja uma número par ou um múltiplo de 3? Resoluções: a) Para encontrar o número de elementos do espaço amostral devemos considerar que são dois lançamentos, portanto duas vagas para preencher. Temos 6 resultados possíveis para o primeiro lançamento e 6 para o segundo. Pelo princípio multiplicativo: n()= 6 . 6 = 36 possibilidades de resultados. Número de elementos do evento “soma das faces é um número par”. Isso pode ocorrer das seguintes formas: 1+1 2+2 3+1 4+2 5+1 6+2 1+3 2+4 3+3 4+4 5+3 6+4 1+5 2+6 3+5 4+6 5+5 6+6 Logo, n(A) = 18 somas pares. Esse resultado também pode ser calculado sem “listar” todas os casos. São duas vagas, se a primeira for preenchida com um número ímpar (3 números à disposição), a segunda também será preenchida com nº ímpar (3 números à disposição): 3 . 3 = 9 . Se for par, idem: 3 . 3 = 9. Total = 9 + 9 = 18. p 18 1 50 % 36 2 b) O espaço amostral é o mesmo. Muda o evento: “soma ser par e múltiplo de 3”. Basta ver quais dos resultados acima são também míltiplos de 3: (1 + 5), (2 + 4), (3 + 3), (4 + 2), (5 + 1) e (6 + 6). Logo: n(A) = 6 e P (A) 6 1 . 36 6 Isso é o que chamamos de probabilidade da intersecção de dois eventos: “ser par” e “ser múltiplo de 3” ao mesmo tempo. A intersecção é indicada pelo conetivo “e”. c) O espaço amostral é o mesmo. Muda o evento: “soma ser par ou múltiplo de 3”. Aqui devemos ter um cuidado maior com conetivo “ou” o qual significa que o número pode ser apenas par, ou apenas múltiplo de 3, ou as duas coisas ao mesmo tempo. Ou seja, devemos acrescentar na tabela do item “a” os números múltiplos de 3 que não são pares: (1 + 2), (2 + 1), (3 + 6), (4 + 5), (5 + 4) e (6 + 3). Total = 18 + 6 = 24. Probabilidade: P 24 2 36 3 Isso é o que chamamos de probabilidade da união de dois eventos, indicada pela pelo conetivo “ou”. Existe uma fórmula para o seu cálculo, mas, como fizemos nesse item c, não precisa ser utilizada explicitamente (decorada). Na verdade, essa resolução intuitiva que fizemos e a fórmula são a mesma coisa, porém não precisa ter seu uso explícito. p (AUB ) P (A) P (B ) p (A B ) Resolvendo o item c pela fórmula: P(A) = 18 36 P(B) = 6 6 12 (os 6 múltiplos de 3 que aparecem na tabela e os seis acrescentados 36 36 depois). P(AB) = 6 (pares e múltiplos de 3). 36 P(AUB) = 18 12 6 24 2 36 36 36 36 3 2) Num conjunto de 100 parafusos, 90 deles estão em boas condições. Dois deles são retirados, sucessivamente, ao acaso, sem reposição. Qual é a probabilidade de que o primeiro parafuso defeituoso seja encontrado na 2ª retirada? Resolução: Espaço amostral: são duas retiradas, portanto, duas vagas para preencher: 100. 99 = 9900. Evento: se o parafuso defeituoso aparece na segunda retirada, então para a primeira retirada (1ª vaga) teremos 90 parafusos bons à disposição e, para a 2ª retirada, 10 parafusos defeituosos: 90.10 = 900 maneiras diferentes desse evento ocorrer. P 90 .10 1 100 .99 11 3) Um grupo de pessoas está classificado conforme a tabela: Professor Advogado Dentista Homens 60 80 50 Mulheres 90 40 30 a) Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa, qual é a probabilidade de que ela seja um homem dentista ou advogado? b) Escolhendo-se aleatoriamente um homem, qual é a probabilidade de que ele seja Advogado? c) Escolhendo-se aleatoriamente um advogado, qual é a probabilidade de que seja mulher? Resoluções: a) P 50 80 130 13 60 80 50 90 40 30 350 35 b) A diferença aqui é que não escolheremos uma pessoa qualquer, sabemos antecipadamente que iremos escolher um dos homens, ou seja, é como se restringíssemos o espaço amostral apenas aos homens: P 80 8 190 19 c) Agora, restringimos o espaço amostral apenas aos advogados: P 40 1 120 3 Os itens b e c são exemplos do que chamamos de probabilidade condicional que ocorre quando há uma restrição no espaço amostral.