Amostras, Distribuição Amostral da Média e Teorema do Limite

Amostras, Distribuição
Amostral da Média e Teorema
do Limite Central
Introdução à Inferência Estatística
Distribuição amostral
• Observe:
Muitas amostragens são possíveis
► Duas amostragens da mesma população geralmente
serão diferentes
► Amostragens são probabilísticas, portanto, estatísticas
baseadas nas amostragens também são
► Se as características da amostragem e a composição da
população são conhecidas, a probabilidade de cada
resultado pode ser determinada
► Diferentes amostragens produzirão amostras com
estatísticas diferenciadas
►
20
20
15
15
10
10
5
5
0
0
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
78
81
84
87
90
93
96
99
102
105
108
111
114
117
120
78
81
84
87
90
93
96
99
102
105
108
111
114
117
120
Histograma n= 5
Histograma n = 60
20
15
10
10
5
5
0
0
78
81
84
87
90
93
96
99
102
105
108
111
114
117
120
Histograma n = 30
78
80,5
83
85,5
88
90,5
93
95,5
98
100,5
103
105,5
108
110,5
113
115,5
118
120,5
78
81
84
87
90
93
96
99
102
105
108
111
114
117
120
Vejamos a nossa simulação
(População = X~N(100:152)
Histograma n= 10
Histograma n =100
20
15
Tabela comparativa
n
5
10
30
60
100
Das médias
média
100,66
99,46
99,83
100,06
100,02
dpad
6,890
4,738
2,697
2,086
1,301
mín
82,06
89,92
93,89
95,06
96,95
Amplitude das amostras
médias
desvios-padrão
máx
ampl.
mín
máx
ampl.
118,20
36,13
3,646
25,699 22,053
112,54
22,62
7,808
22,231 14,424
106,15
12,25
10,762 18,576
7,814
106,31
11,24
11,374 18,813
7,438
103,72
6,78
11,613 17,891
6,278
População = X~N(100:152)
Há alguma relação entre o tamanho
da amostra e o desvio-padrão das
médias?
Distribuição amostral da média
• Seja X uma v.a. com média μ e variância σ2, e seja
(X1, X2,..., Xn) uma Amostra Aleatória Simples (AAS)
de X, de tamanho n, então:
E( X ) = 

 

=

X
n
n
2
2
X
=
Erro amostral da média
• A diferença entre a estatística x e o parâmetro μ é
chamada de erro amostral da média, definido
assim:
e = X
• Verifica-se que a distribuição de e aproxima-se de
uma normal com média 0 (zero) e variância σ2/n
Teorema do Limite Central
• Quando o tamanho da amostra aumenta,
independente da forma de distribuição da
população, a distribuição amostral de X aproximase cada vez mais de uma distribuição normal.
Histogramas de distribuição da média para amostras
de algumas populações
Distribuição amostral de uma proporção
• Consideramos X uma v.a. onde:
1, se portador da característica
X=
0, se não for portador da característica
►
Ex.: 1, se doador de órgãos; 0, se não doador
• Podemos aproximar a distribuição binomial para
uma normal, onde:
μ= E(X) = p
 σ2 = Var(X) = p(1-p)

 p(1  p) 
pˆ ~ N  p;

n


Exercícios básicos: uso da curva normal
1. Um levantamento realizado pela ANAC* verificou
que a altura dos usuários de aviação segue uma
distribuição normal com média de 171,3cm e
desvio-padrão de 7,3cm. Com base nesses dados
determine:
Probabilidade de um usuário ter mais de 1,90m de
altura = P(X>190)
Dica: desenhe a curva
normal e marque a área
b. P(165<X<180)
a ser determinada
c. P(X<140)
d. Um intervalo simétrico em relação à média que exclua
apenas 5% dos indivíduos
a.
* SILVA, S. C; MONTEIRO, D.. Levantamento do perfil antropométrico da população brasileira usuária do
transporte aéreo nacional: projeto conhecer. Relatório Técnico Final. Agência Nacional de Aviação Civil.
2009. Disponível em http://www2.anac.gov.br/arquivos/pdf/Relatorio_Final_Projeto_Conhecer.pdf
Exercícios básicos: uso da curva normal
2. Uma v.a. X tem distribuição normal, com média
100 e desvio-padrão 10.
Qual a P(90<X<110)?
b. Se X for a média de uma amostra de 16 elementos
tirados dessa população, calcule P(90<X<110)?
c. Que tamanho deveria ter a amostra para que
P(90<X<110) = 0,95?
a.
Exercícios básicos: binomial como
normal
3. Um processo produtivo foi planejado para ter 5%
de itens defeituosos. A cada 4 horas sorteia-se
uma amostra de 25 peças e, havendo-se mais de
8% de defeituosos, interrompe-se a produção para
calibragem. Calcule a probabilidade de uma
parada desnecessária.
Sugestão de exercícios
• Capítulo 5 (Larson; Farber, 2010)
• 5.4: Exercícios (228-31)
►
25 → 38
• 5.5: Exercícios (238-40)
►
19; 21; 22; 23