ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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Tratamento quântico requer a solução da
equação de Schrödinger
Aplica-se o modelo de partícula quântica sob
condições de contorno para resolver a equação
de Schrödinger e determinar as funções de onda
e as energias permitidas do átomo.
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Para uma partícula numa caixa unidimensional as
condições de contorno impõem um número
quântico.
Para o sistema tridimensional do Átomo de
Hidrogênio, cada dimensão introduz um número
quântico.
Há ainda um quarto número quântico
relacionado ao Spin do elétron.
As energias permitidas obtidas como soluções
são dadas por:
 ke2  1
13,606
 2  
En  
eV Sendo n = 1, 2, 3,...
2
n
 2a0  n
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Este resultado concorda exatamente com o
modelo de Bohr.
As energias permitidas dependem somente do
número quântico principal n.
Exercício: A série de Balmer para o átomo de
hidrogênio corresponde às transições eletrônicas
que terminam no estado com número quântico n
= 2, como mostrado na figura.
(a) Considere o fóton com maior comprimento de
onda; determine sua energia e seu comprimento
de onda.
(b) Considere a raia espectral de menor
comprimento de onda; encontre a energia e o
comprimento de onda do fóton.
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A imposição das condições de contorno levam
também a dois novos números quânticos:
número quântico orbital (l ) e número quântico
magnético orbital ( ml ).
l e ml estão relacionados com o momento
angular do átomo.
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O número quântico orbital informa-nos sobre a
forma das órbitas.
o valor de l define o momento angular do
elétron, sendo que o aumento do seu valor
implica o aumento correspondente do valor do
momento angular.
O número quântico magnético (ml) especifica a
orientação permitida para uma nuvem eletrônica
no espaço.
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l = 0 : corresponde ao subnível s, onde existe
somente uma orientação (ml = 0).
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l = 1 : corresponde ao subnível p, onde existem
três orientações permitidas, que surgem em
decorrência dos três valores de ml (+1, 0, -1).
Os três orbitais p são denominados px, py e pz e
são orientados de acordo com os três eixos
cartesianos (x, y e z).
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l = 2 : corresponde ao subnível d onde existem cinco
orientações permitidas, ou seja, cinco valores de ml (-2,
-1, 0, +1, +2).
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São designados por dz2 (orientação coincidente com o
eixo z), dx2y2 (orientação coincidente com os eixos x e y,
simultaneamente), dxy (orientado entre os eixos x e y),
dyz (orientado entre os eixos y e z) e dxz (orientado
entre os eixos x e z).
A partir da solução da equação de Schrödinger
temos os seguintes valores permitidos para esses
números quânticos:
n é um inteiro que pode variar de 1 até .
 Para um valor particular de n:
l é um inteiro que pode variar de 0 até n - 1
 Para um valor particular de l:
ml é um inteiro que pode variar de - l até l .
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A tabela a seguir resume as condições de
existência dos números quânticos:
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Todos os estados com o mesmo número
quântico principal formam uma camada.
As camadas são identificadas pelas letras K, L,
M, .. . , que designam os estados para os quais
n = 1,2,3, . . .
todos os estados com valores dados de n e l
formam uma subcamada.
Com base nas práticas iniciais da espectroscopia,
as letras s, p, d, f, g, h, ... são usadas para designar
as subcamadas para as quais l = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
Exemplos: a subcamada identificada por 3p tem
os números quânticos n = 3 e l = 1;
a subcamada 2s tem os números quânticos n
= 2 e l = 0.
 Essas notações estão resumidas na Tabela
abaixo:
Orbitais dos primeiros três níveis energéticos (“K", “L" e “M")
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Estados com números quânticos que violam as
regras dadas na Tabela anterior não podem
existir.
Exemplo: um estado 2d, que teria n = 2 e l = 2,
não pode existir - o maior valor permitido para l
é n - 1, ou 1 neste caso.
 Exercício: Para um átomo de hidrogênio,
determine o número de estados orbitais
correspondendo ao número quântico principal
n = 2 e calcule as energias destes estados.
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O NÚMERO QUÂNTICO
MAGNÉTICO DO SPIN
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Necessidade de um novo número quântico devido
a uma caracteristica não usual nos espectros de
certos gases, como o vapor de sódio.
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Um exame mais detalhado de uma das raias
proeminentes do sódio mostra que ela é, de fato
constituída por duas raias muito próximas, o que
é denominado um dubleto.
O comprimento de onda dessas raias ocorre na
região amarela do espectro em 589,0 nm e 589,6
nm.
1925: esse dubleto foi detectado pela primeira
vez.
os modelos atômicos da época não podiam
explicá-lo.
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Samuel Goudsmidt e George Uhlenbeck
(Wolfgang Pauli), propuseram um novo número
quântico, chamado de número quântico do spin.
Para descrever o número quântico do spin, é
conveniente (mas incorreto) pensar no elétron
como girando sobre seu eixo ao orbitar o núcleo
em um modelo planetário.
A direção na qual o vetor momento angular do
spin pode apontar é quantizada - só pode ter
duas direções, como mostrado na figura:
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Explicação: Na presença de um campo
magnético, a energia do sistema composto pelo
elétron e pelo campo magnético é ligeiramente
diferente para as duas direções de spin.
esse número quântico adicional dobra o número
de estados permitidos pelos outros números
quânticos.
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O elétron não pode ser considerado como girando
fisicamente.
evidências experimentais apoiam o fato de que o
elétron tem alguma propriedade intrínseca que é
consistente com um momento angular e que pode ser
descrita pelo número quântico do spin.
Arnold Sommerfeld e Paul Dirac: a origem desse
quarto número quântico encontra-se nas propriedades
relativísticas do elétron, o qual requer quatro números
quânticos para descrevê-lo no espaço-tempo
quadridimensional.
Continuação do exercício anterior: Determine, para um
átomo de hidrogênio, os números quânticos associados
com os possíveis estados que correspondem ao número
quântico principal n = 2.
INTREPRETAÇÃO FÍSICA DOS
NÚMEROS QUÂNTICOS
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A energia de um estado particular depende do
número quântico principal.
Qual a contribuição dos outros três números
quânticos para o nosso modelo estrutural?
O Número Quântico Orbital
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Se uma partícula desloca-se em um círculo de raio r, o
módulo do seu momento angular em relação ao centro
do círculo é
L = mvr
A direção de L é perpendicular ao plano do círculo, e o
sentido de L é dado pela regra da mão direita.
De acordo com a física clássica, L pode ter qualquer
valor.
Contudo, o modelo de Bohr para o hidrogênio postula
que o momento angular está restrito a múltiplos inteiros
de ħ:
L = mvr =nħ
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Esse modelo precisa ser modificado, pois prevê
(incorretamente) que o estado fundamental do
hidrogênio (n = 1) tem uma unidade de
momento angular.
Nosso modelo quântico mostra que o menor
valor da número quântico orbital, que está
relacionado com o momento orbital, é l = 0, que
corresponde a um momento angular nulo.
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De acordo com o modelo quântico, um átomo em um
estado cujo número quântico principal é n pode ter os
seguintes valores discretos para o módulo do vetor
momento angular:
L    1
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L pode ser nulo: as dificuldade de descrever os
resultados baseados na mecânica quântica em termos de
um modelo puramente corpuscular.
Não podemos pensar em termos de elétrons
percorrendo órbitas bem definidas de forma circular ou
de qualquer outra forma.
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Não podemos pensar em termos de elétrons
percorrendo órbitas bem definidas de forma
circular ou de qualquer outra forma.
o elétron está espalhado no espaço em uma
nuvem de elétrons, com a maior "densidade" da
nuvem acontecendo onde a probabilidade é
maior.
Na interpretação da mecânica quântica, a nuvem
de elétrons para o estado L = 0 tem simetria
esférica e não apresenta nenhum eixo
fundamental de rotação.
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Exercício: Calcule o momento angular orbital
para um estado p do hidrogênio. Compare-o
com o momento angular da Terra orbitando o
Sol.