Slide 1 - Guilherme

Capítulo
28
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
Números complexos
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
A unidade imaginária
O número i, não real, tal que i2 = –1 é chamado de
unidade imaginária.
Com o surgimento desse novo tipo de número, tornou-se
possível resolver equações que em ℝ não têm solução.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.1
A unidade imaginária
Exemplo
Vamos resolver a equação do 2o grau x2 + 9 = 0.
Observe que: x2 + 9 = 0 ⇒ x2 = –9
No universo real, essa equação não tem solução, pois não existe
número real que elevado ao quadrado resulte em –9. Mas, se
considerarmos que existe um número i, não real, tal que i2 = –1,
temos:
x2 = –9 ⇒ x2 = (–1) ∙ 9 ⇒ x2 = 9i2 ⇒ x = ±
Como (±3i)2 = 9i2 = 9 ∙ (–1) = –9, temos:
x = ±3i
Logo: x = 3i ou x = –3i e S = {3i, –3i}
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.2
Exercício resolvido
R1. Resolver a equação x2 – 2x + 5 = 0, utilizando a
definição de unidade imaginária (i2 = –1).
Resolução
Resolvendo a equação x2 – 2x + 5 = 0, temos:
x=
Como (4i)2 = 16i2 = 16 ∙ (–1) = –16, temos:
x=
⇒x=
⇒ x = 1 + 2i ou x = 1 – 2i
Portanto, o conjunto solução é:
S = {1 + 2i, 1 – 2i}
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.3
Exercício resolvido
R2. Resolver a equação x2 – 4x + 6 = 0, no universo dos
números complexos.
Resolução
Resolvendo a equação x2 – 4x + 6 = 0, temos
Como (±2i ∙
x=
)2 = 4i2 ∙ 2 = (–1) ∙ 8 = –8, temos:
⇒x=2+i∙
ou x = 2 – i ∙
Portanto, o conjunto solução é:
S = {2 + i
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
,2–i
1.5
28.4
}
A forma algébrica de um
número complexo
Número complexo é todo número da forma z = a + bi,
em que a, b ∈ ℝ, e i é a unidade imaginária.
O coeficiente a é parte real de z, representada por Re(z),
e o coeficiente b é a parte imaginária de z, representada
por Im(z).
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.5
A forma algébrica de um
número complexo
Exemplo
Vamos identificar a parte real e a parte imaginária de z em
cada caso:
 z = 3 – 2i é um número complexo com Re(z) = 3 e Im(z) = –2;
 z = –7 + 5i é um número complexo com Re(z) = –7 e Im(z) = 5;
 z = 3 = 3 + 0i é um número complexo com Re(z) = 3 e Im(z) = 0;
Nesse caso, z é um número real, pois a parte imaginária de z é nula.
 z = 4i = 0 + 4i é um número complexo com Re(z) = 0 e Im(z) = 4.
Nesse caso, z é chamado de imaginário puro, pois a parte real de z
é nula, e a parte imaginária é não nula.
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.6
Igualdade de números complexos
z = w  a + bi = c + di ⇔ a = c e b = d
Exemplo
Os números complexos z = 8 + bi e w = a –
e somente se:
 Re(z) = Re(w) ⇒ 8 = a
 Im(z) = Im(w) ⇒ b = –
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1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.7
i são iguais se,
O conjunto dos números complexos
ℂ = {z| z = a + bi, com a, b ∈ ℝ e i2 = –1}
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.8
Exercício resolvido
R3. Determinar os valores reais de x e y para que o número
complexo z = (2x + 8) + (y – 3)i seja um número:
a) real;
b) imaginário puro.
Resolução
a) z é um número real se: Im(z) = 0
Logo: y – 3 = 0 ⇒ y = 3
b) z é um número imaginário puro se: Re(z) = 0 e Im(z) ≠ 0
Logo: 2x + 8 = 0 e y – 3 ≠ 0 ⇒ x = –4 e y ≠ 3
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1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.9
Exercício resolvido
R4. Determinar os valores reais de x e y para que o número
complexo z = (x2 – 3x) + (x – 3)i seja um número:
a) real;
b) imaginário puro.
Resolução
a) z é um número real se: Im(z) = 0
Logo, x – 3 = 0 ⇒ x = 3
b) z é um número imaginário puro se: Re(z) = 0 e Im(z) ≠ 0
Assim: x2 – 3x = 0 ⇒ x – 3 ≠ 0 ⇒ x ∙ (x – 3) = 0 e x ≠ 3 ⇒
⇒ (x = 0 ou x = 3) e x ≠ 3
Logo: x = 0
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Números complexos
1.5
28.10
Exercício resolvido
R5. Calcular x ∈ ℝ tal que x2 – 9 + (x + 3)i = 0
Resolução
Vamos reescrever a igualdade da seguinte forma:
(x2 – 9) + (x + 3)i = 0 + 0i
Então, pela definição de igualdade de números complexos,
temos:
x2 – 9 = 0 (I)
x2 + 3 = 0 (II)
(I): x2 – 9 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = 3 ou x = –3
(II): x + 3 = 0 ⇒ x = –3
Apenas –3 satisfaz às duas equações.
Portanto: x = –3
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Números complexos
1.5
28.11
Exercício resolvido
R6. Determinar os valores reais de a e b para que os números
complexos z = –2 + 5i e w = 2a + (b2 + 1)i sejam iguais.
Resolução
Para que os números complexos z e w sejam iguais, devemos ter:
 Re(z) = Re(w)
 Im(z) = Im(w)
–2 = 2a
5 = b2 + 1
a = –1
b2 = 4
b = 2 ou b = –2
Portanto: a = –1 e b = 2 ou a = –1 e b = –2
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1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.12
Operações com números complexos
Adição e subtração de números complexos
Dados: z = a + bi e w = c + di
Adição:
z + w = (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di =
= (a + c) + (b + d)i
Subtração:
z – w = (a + bi) – (c + di) = a + bi – c – di =
= (a – c) + (b – d)i
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.13
Operações com números complexos
Adição e subtração de números complexos
Exemplos
Vamos considerar os números complexos z1 = 1 + 3i, z2 = i e
z3 = –7 e efetuar as seguintes operações:
a) z1 + z2 + z3
z1 + z2 + z3 = (1 + 3i) + (0 + i) + (–7 + 0i) =
= 1 + 3i + 0 + i – 7 + 0i = (1 + 0 – 7) + (3 + 1 + 0)i = –6 + 4i
b) z2 – (z1 + z3)
z1 + z3 = 1 + 3i – 7 = –6 + 3i
z2 – (z1 + z3) = i – (–6 + 3i) = i + 6 – 3i = 6 – 2i
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1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.14
Operações com números complexos
Multiplicação de números complexos
Dados z = a + bi e w = c + di, podemos efetuar a multiplicação
entre z e w aplicando a propriedade distributiva:
zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2
Como i2 = –1, temos:
zw = ac + adi + bci – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i
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Números complexos
1.5
28.15
Operações com números complexos
Multiplicação de números complexos
Exemplos
Vamos considerar os números complexos z1 = 1 + i, z2 = 4 – 2i e
z3 = 5 e efetuar as seguintes operações:
a) z1 ∙ z2 = (1 + i)(4 – 2i) = 4 – 2i + 4i – 2i2 = 4 + 2i – 2 ∙ (–1) =
= 6 + 2i
b) (z2)2 = z2 ∙ z2 = (4 – 2i)(4 – 2i) = 16 – 8i – 8i + 4i2 =
= 16 – 16i + 4 ∙ (–1) = 16 – 16i – 4 = 12 – 16i
c) 2 ∙ (z1 ∙ z2 ∙ z3) = 2 ∙ (1 + i)(4 – 2i) ∙ 5 = 10 ∙ (6 + 2i) =
= 60 + 20i
d) (4 – 2i)2 = 42 – 2 ∙ 4 ∙ 2i + (2i)2 = 16 – 16i – 4 = 12 – 16i
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.16
Exercício resolvido
R7. Determinar os valores reais de x e y para que se
obtenha: (x + 2yi) ∙ (1 – 3i) = –1
Resolução
Começamos efetuando a multiplicação indicada:
(x + 2yi) ∙ (1 – 3i) = –1 ⇒ x – 3xi + 2yi – 6yi2 = –1 ⇒
⇒ x – 3xi + 2yi – 6y ∙ (–1) = –1 ⇒
⇒ (x + 6y) + (–3x + 2y)i = –1 + 0i
Utilizando a igualdade de números complexos, temos:
x + 6y = –1
–3x + 2y = 0
Resolvendo esse sistema, obtemos: x = –
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.17
ey=–
O conjugado de um número complexo
Dado um número complexo z = a + bi, chamamos de
conjugado de z, cuja notação é z, o número complexo
z = a – bi.
Vamos encontrar os conjugados dos números complexos
abaixo.
a) z1 = 1 + i ⇒ z1 = 1 – i
b) z2 = –3 – 5i ⇒ z2 = –3 +5i
c) z3 = 3 ⇒ z3 = 3
d) z4 = –i ⇒ z4 = i
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1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.18
Propriedades do conjugado
Dado z = a + bi, são válidas para z as seguintes
propriedades:
I.
II.
III.
IV.
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.19
Exercício resolvido
R8. Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = –1 – 5i, calcular:
– Re(
)
Resolução
Temos:
= 2 – 3i e
= –1 + 5i
Assim, aplicando as propriedades, obtemos:
=
∙2
– Re [
]=
= (2 – 3i) + 2 ∙ (1 + 2i) – Re(4 – 12i – 9) =
= 2 – 3i + 2 + 4i – (4 – 9) = 4 + i + 5 =
=9+i
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.20
Exercício resolvido
R9. Determinar o complexo z tal que: z + 2i = 3
Resolução
Fazendo z = a + bi, temos
z + 2i = 3
= a – bi. Assim:
+5
(a + bi) + 2i = 3(a – bi) + 5
a + (b + 2)i = (3a + 5) – 3bi
Logo: z =
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.21
+5
Operações com números complexos
Divisão de números complexos
É importante observar que, para qualquer complexo não
nulo z = a + bi, existe o inverso de z, indicado por z–1 =
dado por:
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.22
,
Operações com números complexos
Divisão de números complexos
Exemplos
a) Vamos calcular o quociente
.
b) Vamos determinar o inverso do número complexo z = 2.
Para z = 2, temos: Z–1 =
=
c) Vamos determinar o inverso do número complexo z = –5i.
Para z = –5i, temos:
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.23
Exercício resolvido
R10. Calcular o inverso de i.
Resolução
O inverso de i é
.
Para calcular o quociente
, basta multiplicar o numerador e o
denominador pelo conjugado do denominador.
Assim:
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.24
Exercício resolvido
R11. Calcular os quocientes:
a)
b)
Resolução
a)
b)
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1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.25
Operações com números complexos
As potências de i
Observe, abaixo, o cálculo de algumas potências de i.
i0 = 1
i5 = i2 ∙ i2 ∙ i = i
i1 = i
i6 = i2 ∙ i2 ∙ i2 = –1
i2 = –1
i7 = i2 ∙ i2 ∙ i2 ∙ i = –i
i3 = i2 ∙ i = –1 ∙ i = –i
i8 = i2 ∙ i2 ∙ i2 ∙ i2 = 1
i4 = i2 ∙ i2 = –1 ∙ (–1) = 1
i9 = i2 ∙ i2 ∙ i2 ∙ i2 ∙ i = i
… e assim por diante.
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.26
Operações com números complexos
As potências de i
As potências de i se repetem em grupos de quatro
valores, seguindo o padrão das potências i0, i1, i2 e i3;
para calcular a potência in, com n ∈ ℕ, efetuamos a
divisão de n por 4 e consideramos o resto dessa divisão
como o novo expoente de i.
Para expoentes inteiros negativos, o cálculo da potência
i–n, com n ∈ ℕ*, é feito utilizando-se o conceito de inverso,
ou seja: i–n =
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.26
Operações com números complexos
As potências de i
Exemplos
Vamos calcular: i244; i–33 e i605
244 4
33 4
0 61
605
– 32 8
expoente
4
4 151
1
20
expoente
– 20
Assim:
05
i244 = i0 = 1
–4
1
expoente
i605 = i1 = i
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.27
Exercício resolvido
R12. Simplifique:
Resolução
Vamos, inicialmente, determinar o valor de i44, i33 e i50. Para
isso, efetuamos as divisões de 44, 33 e 50 por 4 e levamos
em conta os restos obtidos.
44 4
0 11
33 4
1 8
50 4
2 12
Assim:
 i44 = i0 = 1
 i33 = i1 = i
Substituindo na expressão dada, temos:
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.28
 i50 = i2 = –1
Exercício resolvido
R13. Encontrar o valor da expressão
para z = –2i.
Resolução
=
=
=
= –8i3 + 1 ∙ (–2) + 2i =
= 8i – 2 + 2i =
= –2 + 10i
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.29
,
Representação geométrica de um
número complexo
O plano de Argand-Gauss
O ponto P(a, b) é a imagem de z nesse plano ou o afixo
do número complexo z = a + bi.
CONEXÕES COM
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ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.30
Representação geométrica de um
número complexo
O plano de Argand-Gauss
Observe que:
 o número real zero é representado pelo ponto (0, 0);
 todo número complexo real tem a sua parte imaginária
igual a zero. Logo, sua imagem é um ponto pertencente
ao eixo real (Re);
 todo número complexo imaginário puro tem a parte real
igual a zero. Logo, sua imagem é um ponto pertencente
ao eixo imaginário (Im).
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A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.30
Representação geométrica de um
número complexo
O plano de Argand-Gauss
Exemplos
a) Vamos representar no plano complexo as
imagens dos números complexos z1 = 3 – i,
z2 = 4i e z3 = –1.
Note que as imagens de z1, z2 e z3 são,
respectivamente, os pontos P1(3, –1),
P2(0, 4) e P3(–1, 0).
A representação geométrica
desses números é:
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A MATEMÁTICA
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.31
Representação geométrica de um
número complexo
O plano de Argand-Gauss
Exemplos
b) Vamos representar no plano complexo
todos os números complexos cuja
distância das imagens à origem (0, 0)
no plano de Argand-Gauss é igual a 3.
Note que todos os pontos do plano que
distam 3 da origem (0, 0) definem uma
circunferência de centro na origem e raio 3.
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.31
Representação geométrica de um
número complexo
O número complexo como um vetor
CONEXÕES COM
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ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.32
Módulo de um número complexo
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ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.33
Módulo de um número complexo
Exemplos
a) Vamos determinar o módulo do número complexo z = 1 + 5i.
Seja a = 1 e b = 5.
Calculando o módulo, temos:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.34
Módulo de um número complexo
Exemplos
b) Retomando o exemplo de todos os números complexos cujas
distâncias das imagens à origem, no plano de Argand-Gauss,
é igual a 3.
Os números complexos são aqueles que têm
módulo 3. Assim:
|z| = 3 ⇒
= 3 ⇒ a2 + b2 = 32
Como a equação de uma circunferência é dada por
(x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, com centro (x0, y0) e raio
igual a r, temos que a2 + b2 = 32 é a equação de
uma circunferência de centro (0, 0) e raio 3.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.34
Argumento de um número complexo
θ é o ângulo cujo sen θ =
e cos θ =
0 ≤ θ < 2
CONEXÕES COM
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ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.35
, com ρ = |z| e
Argumento de um número complexo
Exemplos
Vamos determinar o argumento do número complexo z = 1 +
Calculando o módulo, temos:
a = 1; b =
|z| = ρ =
⇒ρ=
⇒ρ=
⇒ρ=
⇒ρ=2
cos θ =
⇒ cos θ =
sen θ =
⇒ cos θ =
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A MATEMÁTICA
14243
Calculando o argumento, temos:
Como 0 ≤ θ < 2: θ =
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.35
⇒
i.
Exercício resolvido
R14. Representar geometricamente o número complexo
z = 2 + 2i e obter o módulo e o argumento de z.
Resolução
No plano, z = 2 + 2i é representado pelo ponto P(2, 2).
O módulo de z é dado por: ρ = dOP =
=
=2
Para obter o argumento de z, vamos considerar o triângulo
retângulo OAP.
sen θ
cos θ
Como 0 ≤ θ < 2, temos: θ =
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ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.36
Exercício resolvido
R15. Determine o módulo de z = 2 – 5i.
Resolução
|z| =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
=
⇒z=
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.37
Exercício resolvido
R16. Representar geometricamente no plano complexo os
números complexos z que satisfazem a condição
|z + 1 – i| = 1.
Resolução
Fazendo z = x + yi, com x e y reais, temos:
|z + 1 – i| = 1 ⇒ |x + yi + 1 – i| = 1 ⇒
⇒ |(x + 1) + (y – 1)i| = 1 ⇒
⇒
=1⇒
⇒ (x + 1)2 + (y – 1)2 = 12
Representa a circunferência de centro (–1, 1) e raio 1.
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.38
Forma trigonométrica ou polar
z = ρ(cos  + i ∙ sen )
CONEXÕES COM
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.39
Forma trigonométrica ou polar
Exemplo
Vamos escrever o número complexo z = –1 + i na forma
trigonométrica e representá-lo geometricamente.
Para obter um número complexo na forma trigonométrica, precisamos
determinar o módulo ρ e o argumento θ (com 0 ≤ θ < 2)
desse número. Seja: a = –1; b = 1
Calculando o módulo, temos:
|z| = ρ =
⇒ρ=
⇒ρ=
E, agora, calculando o argumento:
cos θ =
⇒ cos θ
sen θ =
⇒ sen θ
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.40
⇒ρ=
Forma trigonométrica ou polar
Exemplo
Como 0 ≤ θ < 2, temos: θ =
Aplicando a fórmula da forma trigonométrica ou polar:
z = ρ(cos θ + i ∙ sen θ)
z=
Logo, o número complexo z pode
ser representado por um vetor de
módulo
e direção θ =
(ou 135o).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.41
Exercício resolvido
R17. Escrever z = 2i na forma trigonométrica e representá-lo
geometricamente.
Resolução
ρ=
=2
θ=
, pois:
Logo: z = 2
O número complexo z pode ser
representado por um vetor de módulo 2
e direção θ =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
(ou 90º).
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.41
Exercício resolvido
R17.
Resolução
Note que, como z é imaginário puro, sua representação é um
vetor sobre o eixo imaginário. Se z fosse um número real não
nulo, seria representado por um vetor sobre o eixo real.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.41
Exercício resolvido
R18. Determinar o módulo, o argumento e a forma
trigonométrica do conjugado de z = 1 + i.
Representar em um mesmo plano complexo z e .
Resolução
Dado z = a + bi, temos que
= a – bi.
Note que:
ρ = |z| =
Assim:
(com
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.42
= 1 – i)
Exercício resolvido
R18.
Resolução
Sendo θ1 = arg(z), temos:
Sendo θ2 = arg( ), temos:
Então:
Note que: arg( ) =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
é côngruo a –
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.42
= arg(z).
Exercício resolvido
R18.
Resolução
Assim:
Como cos (–θ1) = cos θ1 (função par) e
sen (–θ1) = –sen θ1 (função ímpar), temos:
z = |z| ∙ (cos θ1 – i ∙ sen θ1)
Geometricamente, z e
são representados
por pontos simétricos em relação ao eixo real.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.42
Exercício resolvido
R19. Expressar o número complexo z = 3
na forma algébrica.
Resolução
Nesse caso, basta determinar o valor das razões
trigonométricas cos
e sen
e efetuar os cálculos indicados.
Assim:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.43
Operações na forma trigonométrica
Multiplicação e divisão
z1z2 = ρ1ρ2[cos(θ1 + θ2) + i ∙ sen(θ1 + θ2)]
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.44
Operações na forma trigonométrica
Multiplicação e divisão
Exemplos
Considerando os números complexos z1 = 3
e z2 = 4
, vamos calcular:
a)
b)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.45
Exercício resolvido
R20. Dados os números complexos z e w, escritos na
forma trigonométrica:
a) Obter o produto zw.
b) Representar no plano complexo os vetores associados a
z, w e zw.
Resolução
a)
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.46
Exercício resolvido
R20.
Resolução
b) A representação dos vetores é indicada na figura abaixo:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.46
Exercício resolvido
R20.
Resolução
b) Observe que o produto zw representa uma rotação, no
sentido anti-horário, de
em relação a z, ou seja, o
número complexo z, que tem argumento
, ao ser
multiplicado por w sofreu uma rotação equivalente a
, que
é o argumento de w. Assim, o produto zw tem argumento
. Além disso, o módulo de zw é igual ao produto
dos módulos dos números complexos z e w, ou seja:
2∙4=8
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.46
Potenciação (1a fórmula de De Moivre)
zn = ρn ∙ (cos nθ + i ∙ sen nθ)
Exemplo
Dado z = 2
, vamos calcular z7.
Nesse caso, temos n = 7, ρ = 2 e θ =
. Assim:
= 128
Como 0 ≤ θ < 2, temos:
Assim: z7= 128
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.47
Exercício resolvido
R21. Dado o número complexo z = –1 – i
, calcular z50. Dê a
resposta nas formas trigonométrica e algébrica.
Resolução
Primeiro, vamos determinar o módulo e o argumento de z. Em
seguida, aplicamos a 1a fórmula de De Moivre.
forma trigonométrica
forma algébrica
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.48
Exercício resolvido
R22. Considerando o número complexo w = (1 + i)n, obter
os valores inteiros de n para que w seja um número
real positivo.
Resolução
Vamos expressar a base 1 + i na forma trigonométrica. Para
isso, devemos achar o módulo ρ e o argumento θ de 1 + i.
Assim: 1 + i =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.49
Exercício resolvido
R22.
Resolução
Agora, vamos obter w elevando 1 + i à potência n:
Para que w seja real positivo, devemos ter:
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.49
Exercício resolvido
R22.
Resolução
 (I) sen x = 0
Assim: n ∙
 (II) cos x > 0
= 0 + 2k ⇒
= 2k ⇒ n = 8k, com k  ℤ
Logo: n ∈ {0, ±8, ±16, ±24, ...}
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
 (I) ∩ (II)
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.49
Radiciação (2a fórmula de De Moivre)
Considerando um número complexo z, não nulo, e um
número inteiro n, com n > 1, temos:
Todo número complexo w tal que wn = z é chamado de
raiz enésima de z.
As raízes enésimas de z = ρ(cos θ + i ∙ sen θ) podem ser
obtidas pela fórmula:
com k = 0, 1, 2, 3, ..., (n – 1) e n natural, n > 1
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.50
Radiciação (2a fórmula de De Moivre)
Exemplo
Vamos calcular as raízes quadradas complexas de z = 2i.
Temos que: z = 0 + 2i. Vamos expressá-lo na forma trigonométrica.
Então: z = 2
Usando a 2a fórmula de De Moivre, vamos encontrar os complexos wk
tais que: (wk)n = z, sendo: n = 2, k = 0, 1 (raízes quadradas),
ρ=2eθ=
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.51
Radiciação (2a fórmula de De Moivre)
Exemplo
As duas raízes têm módulo igual a
, ou seja, |w0| = |w1| =
 Para k = 0, temos: arg(w0) =
 Para k = 1, temos: arg(w1) =
Logo, as duas raízes quadradas complexas de z = 2i são:
w0 =
w0 =
=1+i
w1 =
w1 =
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
= –1 – i
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.51
Radiciação (2a fórmula de De Moivre)
Exemplo
Podemos fazer a verificação elevando ao quadrado as raízes
encontradas:
 (1 + i)2 = 12 + 1 ∙ i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i = z
 (–1 – i)2 = (–1)2 – 2 ∙ (–1) ∙ i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i = z
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.51
Interpretação geométrica das raízes
enésimas de um número complexo
As raízes quadradas de z = 2i são
w0 = 1 + i e w1 = –1 – i. Nesse caso,
essas raízes são afixos de pontos
simétricos em relação à origem (são
números complexos opostos).
Esses pontos são as extremidades de
um diâmetro da circunferência de centro
na origem e raio igual a
(módulo
das raízes).
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.52
Interpretação geométrica das raízes
enésimas de um número complexo
Podemos generalizar esse resultado
para as n raízes de um número
complexo z = ρ(cos θ + i ∙ sen θ),
pois, como todas as raízes têm mesmo
módulo, elas são afixos de pontos
localizados no plano à mesma
distância da origem, o que caracteriza
os pontos de uma circunferência.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.53
Interpretação geométrica das raízes
enésimas de um número complexo
Além disso, os argumentos dessas raízes, que são da forma
, constituem uma progressão aritmética de primeiro
termo
e razão
.
Assim, as raízes n-ésimas de z são os afixos dos vértices de
um polígono regular de n lados, inscrito na circunferência de
centro na origem e raio
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
em n arcos congruentes de
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.53
rad.
Exercício resolvido
R23. Interpretar geometricamente as raízes cúbicas de
z = 8(cos  + i ∙ sen ).
Resolução
Para obter as raízes cúbicas de z, devemos encontrar os
complexos wk tais que (wk)3 = z.
Expressando wk na forma trigonométrica
wk = ρ(cos θ + i ∙ sen θ)
Pela 1a fórmula de De Moivre, obtemos:
(wk)3 = ρ3 ∙ (cos 3θ + i ∙ sen 3θ)
Da igualdade (wk)3 = z, vem:
ρ3 ∙ (cos 3θ + i ∙ sen 3θ) = 8 ∙ (cos  + i ∙ sen )
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.53
Exercício resolvido
R23.
Resolução


Então, as três raízes têm módulo igual a 2 e argumentos
e
. Observe que esses argumentos formam uma progressão
aritmética de primeiro termo
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
,
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
e razão
1.5
28.53
.
Exercício resolvido
R23.
Resolução
Assim, as raízes cúbicas de z são:
, ou ainda, na forma algébrica:
Representando as raízes w0, w1 e w2 no plano complexo,
observamos que elas são afixos dos vértices de um triângulo
equilátero inscrito na circunferência de centro na origem e
raio igual a 2.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.53
Exercício resolvido
R23.
Resolução
Os vértices desse triângulo dividem a circunferência em três
arcos congruentes de
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
rad.
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.53
Exercício resolvido
R24. Sabendo que z = 2
é uma das raízes
quadradas do número complexo w, determinar a
outra raiz.
Resolução
Observe que aqui não podemos utilizar a 2a fórmula de
De Moivre, pois não conhecemos o número complexo w
cujas raízes quadradas devemos encontrar.
Então, vamos usar o que sabemos geometricamente
dessas raízes.
CONEXÕES COM
A MATEMÁTICA
ANOTAÇÕES EM AULA
Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.54
Exercício resolvido
R25.
Resolução
As raízes quadradas de w são os afixos das extremidades de
um diâmetro da circunferência de centro na origem e raio
igual a 2 (módulo das raízes).
Esses pontos dividem a circunferência em dois arcos
congruentes de  rad
.
Assim, o argumento da outra raiz é
Logo, a outra raiz quadrada de w é:
z1 = 2
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A MATEMÁTICA
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Capítulo 28
1 ––Conjuntos
Números complexos
1.5
28.54
, ou seja,
.
ANOTAÇÕES EM AULA
Coordenação editorial: Juliane Matsubara Barroso
Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Adriano Rosa Lopes, Enrico Briese Casentini, Everton José Luciano,
Juliana Ikeda, Marilu Maranho Tassetto, Willian Raphael Silva
Assistência editorial: Pedro Almeida do Amaral Cortez
Preparação de texto: Renato da Rocha Carlos
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2012
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