1.2 Movimento em duas dimensões Anteriormente estudamos uma partícula que se desloca em linha recta Agora estudaremos o movimento de uma partícula no plano xy A trajectória é o lugar geométrico dos pontos do espaço ocupados pelo corpo (planeta, cometa, foguete, carro, etc.) que se movimenta Qualquer ponto da trajectória pode ser descrito pelo vector posição. É definido em termos de coordenadas cartesianas por r xe x ye y y P Trajectória s ey ex r A posição da partícula P na trajectória é descrita pelo vector posição r x 1 Vector deslocamento r Quando uma partícula se desloca do ponto A para o ponto B no intervalo de tempo t t f t i o vector posição passa de ri para rf y ey ex A partícula se deslocou de rf B r A ri x r r f ri 2 Semelhante ao caso unidimensional Velocidade média r x y vm ex ey t t t vm vm x e x vmy e y ou Velocidade instantânea r dr dx dy v lim ex e y t 0 t dt dt dt v v ou v v x ex v y e y é a velocidade escalar 3 Aceleração média v m v x v y am ex ey t t t ou a m a m x e x a my e y Aceleração instantânea dv y dv dvx a ex e y dt dt dt ou ou 2 dv d r a dt dt 2 a a x ex a y e y a aceleração resulta de qualquer variação do vector velocidade quer seja do módulo, da direcção ou do sentido de v 4 MOVIMENTO DE UM PROJÉCTIL A bola faz uma trajectória curva Para analisar este movimento consideraremos que • a aceleração g é constante durante o intervalo do movimento e direccionada para baixo • o efeito da resistência do ar é desprezável Com estas suposições a trajectória do projéctil é sempre uma parábola 5 Fotografia estroboscópica de bolas de ping-pong A fotografia estroboscópica regista a trajectória de objectos em movimento A Figura mostra que a trajectória da bola é uma parábola 6 v0 Analisamos o movimento dimensões separadamente em cada uma das Componentes da velocidade inicial v0 ey 0 ex v0 v0 x ex v0 y e y v0 x cos 0 v0 sin 0 As componentes iniciais são v0 x v0 cos 0 v0 y v0 x e y da velocidade v0 y v0 sin 0 7 Fotografia estroboscópica de duas esferas largadas simultaneamente As duas esferas são jogadas sob a acção da gravidade A esfera rosa é solta v0y = 0 (queda livre) A esfera amarela tem velocidade inicial horizontal v0x A cada instante as esferas têm a mesma altura As duas esferas chegam ao mesmo tempo no solo 8 Diagrama do movimento de um projéctil Movimento uniformemente variado Movimento rectilíneo uniforme 9 EQUAÇÕES DE MOVIMENTO DO PROJÉCTIL Movimento rectilíneo uniforme na horizontal Componente horizontal da velocidade vx v0 x v0 cos 0 constante Componente horizontal da posição x x0 x v0 x t x0 x v0 cos 0t Movimento uniformemente variado na vertical Componente vertical da velocidade Componente vertical da posição v y voy gt v0 sin 0 gt y y 0 v0 y t 1 2 1 gt y0 v0 sin 0 t gt 2 2 2 10 Alcance e altura máxima dum projéctil ALTURA MÁXIMA v0 y 0 O tempo para atingir a altura máxima h (quando v y 0) : v0 v y v0 y gt v0 sen 0 gt 0 v0 y gt v0 sen 0 gt v0 y v0 sin 0 th g g 0 Substituindo th em 1 2 y y0 v0 sin 0t gt 2 obtemos 1 2 v0 sin 0 h v0 sin 0t h gt h 2 2g 2 v02 sin 2 0 h 2g 11 ALCANCE v0 y 0 v0 R é o alcance - distância horizontal percorrida pela partícula até chegar à altura inicial O movimento é simétrico a partícula leva um tempo th para subir e o mesmo tempo th para cair ao mesmo nível Portanto o tempo para percorrer R é t 2th 2 v0 sin 0 g 0 x x0 x v0 x t x0 x v0 cos 0t R v0 x (2th ) v0cos 0 (2th ) 2v0 sin 0 R v0 cos 0 g v02 sin 2 0 R g Um projéctil lançado da origem com uma velocidade escalar inicial de para vários ângulos 0 50 m/s Alcance máximo Rmáx R v2 0 g sin 2 0 sin 20 é máximo quando for 1 O que acontece quando 0 45 o 20 / 2 Rmax v 20 g Os ângulos complementares (somam 90 graus) dão origem ao mesmo valor de R 13 Exemplo 11. Um canhão atira esferas com velocidade v0 = 100 m/s. a) Determine o alcance máximo da esfera. b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima. a) Determine o alcance máximo da esfera 2 v0 (100 m/s) 2 1020 m Rmax= 2 g 9.8 m/s b) Mostre que existem dois ângulos possíveis para atingir um alvo à uma distância d = 800 m, menor que a distância máxima R v sin 2 0 g 2 0 2 , mas v0 RMáx g assim sin 2 0 R 800 m 0.784 RMáx 1020 m sin 2 01 52 o 01 26 o e o ângulo complementar 02 90 o -26 o 64 o . Substituindo, fica R RMáx sin 2 0