Resolução

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
2008/2009
RESOLUÇÃO DO EXAME DA ÉPOCA RECURSO (NOCTURNO)
QUESTÕES DE ESCOLHA MÚLTIPLA
[2,0]
1. Sejam A uma matriz simétrica e invertível de ordem 3 e B uma matriz permutável com
A. Qual das seguintes a…rmações é necessariamente verdadeira?
A) A
2
é uma matriz anti-simétrica.
B) As linhas de A são linearmente dependentes.
C) (AB)T = AT B T .
D) B = I3 .
2
Resolução: A) é falsa pois A 2 = (A 1 ) é necessariamente simétrica (porquê?). Dado
que A é invertível, as linhas de A são linearmente independentes e portanto B) é falsa.
Não é obrigatório que se tenha B = I3 pois, para além da matriz identidade, existem
outras matrizes permutáveis com uma dada matriz A (por exemplo, a própria matriz
A): Temos pois que a opção correcta é a C) pois, se A e B são permutáveis, (AB)T =
(BA)T = AT B T :
[2,0]
2. Seja P1 (R) o espaço vectorial dos polinómios de coe…cientes reais de grau não superior
a 1 e S o subconjunto dos polinómios de P1 (R) que se anulam para x = 2, ou seja,
S = fp 2 P1 (R) : p(2) = 0g:
Qual das seguintes a…rmações é falsa?
A) O polinómio 3x
6 pertence a S.
B) dim S = 1:
C) O conjunto fx
D) S
2; x2
1g é uma base de S.
2
hx; x ; 2i.
Resolução: A opção a assinalar é a C) dado que a respectiva a…rmação é falsa. Na
verdade, x 2 = 2( x2 1); o que signi…ca que os polinómios x 2 e x2 1 são linearmente
dependentes, não podendo pois constituir uma base de S.
[2,0]
3. No espaço euclidiano R3 ; com o produto interno canónico aí de…nido, considere os
vectores ~a, ~b e ~c e as seguintes a…rmações:
1
~b = ~0 tem-se necessariamente que ~a = ~0 ou ~b = ~0.
II. Se ~a e ~b são linearmente dependentes então ~aj(~b ~c) = 0.
III. Tem-se (~a ~b)j(~a ~b) 0; quaisquer que sejam os vectores ~a e ~b.
I. Se ~a
IV. Se ~aj~c = 1; então os vectores ~a e ~c são unitários.
A lista completa das a…rmações verdadeiras é:
A) II e IV.
B) I e III.
C) II e III.
D) III e IV.
Resolução: A a…rmação I) é falsa pois dois vectores não nulos podem ter produto
externo nulo — basta que sejam linearmente dependentes. Por outro lado, II) é verdadeira por uma das propriedades do produto misto (ver proposição 3.3 da pág. 19 da
Sebenta de Cálculo Vectorial) e o mesmo se passa com III), atendendo à positividade
do produto interno. Finalmente, IV) é falsa pois dois vectores unitários (isto é, com
norma igual a 1) não têm necessariamente produto interno igual a 1(por exemplo, se
forem perpendiculares, o produto interno será nulo). Assim, C) é a opção correcta.
A) B) C) D)
1
X
RESUMO:
2
X
3
X
4. Considere as matrizes
2
A=4
3
2
3
1 a a
b + 5a
2 1 a 5, B = 4 1 5
1 0 0
2
onde a e b são parâmetros reais.
2
3
x
e X = 4 y 5;
z
[2,0] (a) Discuta o sistema de equações lineares AX = B em função dos parâmetros a e b:
Resolução: Vamos discutir o sistema dado. A partir da matriz ampliada do sistema
obtém-se:
2
3
2
3
OE1
OE3
1 a a j b + 5a
1 0 0 j
2
!
!
4 2 1 a j
4 2 1 a j
1 5
1 5 2L1 + L2
1 0 0 j
2
1 a a j b + 5a
L 1 $ L3
L1 + L 3
2
3
2
3
OE3
1 0 0 j
2
1 0
0
j
2
!
4 0 1 a j
5
4 0 1
5
a
j
5 5
2
0 a a j b + 5a + 2
0 0 a a j b+2
aL2 + L3
Então:
2
Se a a2 6= 0 (ou, equivalentemente, a (1 a) 6= 0 , a 6= 0 ^ a 6= 1); tem-se
c(A) = c(AjB) = 3 = n.o de incógnitas, logo o sistema é possível e determinado.
De contrário, isto é, se a = 0 _ a = 1; temos duas situações possíveis:
(a = 0 ^ b = 2) ou (a = 1 ^ b = 2) e nesta situação tem-se c(A) = c(AjB) =
2 < n.o de incógnitas, logo o sistema é possível e indeterminado.
(a = 0 ^ b 6= 2) ou (a = 1 ^ b 6= 2) e nesta situação tem-se c(A) = 2 < 3 =
c(AjB), portanto o sistema é impossível.
[1,0] (b) Determine os valores do parâmetro a para os quais o sistema homógeneo associado
ao anterior é indeterminado.
Resolução: Considere-se a matriz ampliada do sistema homógeneo AX = O associado ao anterior:
2
3
1 a a j 0
4 2 1 a j 0 5:
1 0 0 j 0
Realizando as mesmas operações elementares
2
1 0
0
4 0 1
a
0 0 a a2
da alínea anterior obtém-se:
3
j 0
j 0 5:
j 0
Desta matriz em escada resulta que o sistema homogéneo é possível e determinado
sse a 6= 0^a 6= 1: Dado que nunca é impossível, concluímos que o sistema homogéneo
é indeterminado sse a = 0 _ a = 1 (negação lógica de a 6= 0 ^ a 6= 1).
(c) Supondo a = 2 e b =
10:
[1,5] i. Mostre que A é invertível e calcule A
Resolução: Tem-se
det A =
1 2 2
2 1 2
1 0 0
1
recorrendo à matriz adjunta de A;
= ( 1) ( 1)3+1
2 2
1 2
=
1
2=
2 6= 0;
pelo que A é invertível.
De forma a obter a matriz adjunta de A, calculemos os complementos algébricos
dos elementos da matriz A:
11
= ( 1)1+1
1 2
0 0
= 0;
12
= ( 1)1+2
2 2
1 0
=
21
= ( 1)2+1
2 2
0 0
= 0;
22
= ( 1)2+2
1 2
1 0
= 2;
31
= ( 1)3+1
2 2
1 2
= 2;
32
= ( 1)3+2
3
1 2
2 2
= 2;
2;
13
= 1;
23
=
2;
33
=
3;
Assim,
2
0
4
adj A = 0
2
3T 2
1
2 5 =4
3
2
2
2
Sendo A uma matriz invertível tem-se
2
0
1 4
1
2
adj A =
A 1=
det A
2
1
0
2
1
3
2
2 5
3
0
2
2
então
0
2
2
3 2
2
2 5=4
3
0
1
1=2
[0,5] ii. Resolva matricialmente o sistema X T AT = B T .
Resolução: Tem-se
X T AT
= B T , (AX)T = B T , AX = B , X
2
32 3 2
0
0
1
0
4
5
4
1
1
1
1 5=4
, X=
1=2
1 3=2
2
3
0
1
1
1 5:
1 3=2
= A 1B ,
3
2
3 5:
4
[1,5] 5. (a) Seja F = f(x; y; z) 2 R3 : z = (x + y)2 g. Veri…que se F é um subespaço vectorial
de R3 .
Resolução: Tem-se que
F = f(x; y; z) 2 R3 : z = (x + y)2 g = f(x; y; (x + y)2 ) 2 R3 : x; y 2 Rg:
Vejamos se F satisfaz as condições para ser um subespaço vectorial.
1a ) F 6= ;? Como (0 + 0)2 = 0, então (0; 0; 0) 2 F: Logo, F 6= ;:
2a ) 8~u; ~v 2 F; ~u + ~v 2 F ?
Com efeito, sendo ~u; ~v 2 S; tem-se ~u = (a1 ; b1 ; (a1 + b1 )2 ) e ~v = (a2 ; b2 ; (a2 + b2 )2 );
donde resulta
~u + ~v = (a1 + a2 ; b1 + b2 ; (a1 + b1 )2 + (a2 + b2 )2 ):
| {z } | {z } |
{z
}
x
y
z
Ora, em geral, z = (a1 + b1 )2 + (a2 + b2 )2 6= (a1 + a2 + b1 + b2 )2 = (x + y)2 ; donde
~u + ~v 2
= F para a generalidade dos vectores ~u e ~v ; portanto F não é um subespaço
vectorial de R3 .
Nota: Outra forma de mostrar que F não veri…ca esta condição de subespaço vectorial consiste em apresentar aquilo a que se chama um contra-exemplo. Ele aí vai:
sendo ~u = (1; 1; 4) 2 F e ~v = (0; 1; 1) 2 F; tem-se
~u + ~v = (1; 1; 4) + (0; 1; 1) = (1; 2; 5):
Visto que para este vector se tem z = 5 e (x + y)2 = 9; isto é, z 6= (x+y)2 ; conclui-se
que ~u + ~v 2
= F ; consequentemente, F não é um subespaço vectorial de R3 .
(b) Seja S = h(1; 1; 1) ; (0; 1; 2) ; (2; 1; 4)i.
4
[1,5] i. Caracterize S por meio de um sistema de equações e determine uma base de
S. Qual a dimensão de S? Justi…que.
Resolução: Tem-se
S = h(1; 1; 1) ; (0; 1; 2) ; (2; 1; 4)i
= (x; y; z) 2 R3 : (x; y; z) = 1 (1; 1; 1) +
2
(0; 1; 2) +
3
(2; 1; 4) :
Temos então de averiguar para que valores de x; y e z é possível o sistema
(x; y; z) =
Para tal, começamos por
matriz em escada:
2
1
0 2 j
4 1
1 1 j
1
2 4 j
1
(1; 1; 1) +
2
(0; 1; 2) +
3
(2; 1; 4) :
transformar a matriz ampliada deste sistema numa
3
2
OE3
x
!
y 5 L1 + L2 4
z
L1 + L3
2
OE3
1
0
2
!
4 0
1
1
0
0
0
2L2 + L3
Assim, o sistema é possível sse z + 2y
cartesiana de S; donde
3
2 j
x
1 j y x 5
2 j z x
3
j
x
5:
j
y x
j z + 2y 3x
1
0
0
0
1
2
3x = 0; pelo que esta é a equação
S = (x; y; z) 2 R3 : z + 2y
3x = 0 :
Dado que a matriz em escada atrás obtida tem dois redutores nas 1a e 2a colunas, …camos a saber que as colunas homólogas da matriz inicial constituem uma
base de S (uma vez que são vectores geradores e linearmente independentes).
Assim, f(1; 1; 1) ; (0; 1; 2)g é uma base de S, logo dim S = 2, pois este é o
número de vectores da base encontrada.
[1,0] ii. Mostre que (3; 4; 1) 2 S e determine as suas coordenadas relativamente a uma
base de S.
Resolução: O vector (3; 4; 1) pertence a S pois veri…ca a equação cartesiana
de S. Na verdade, tem-se para aquele vector:
z + 2y
3x = 1 + 2
4
3
3 = 0:
Sabemos da alínea anterior que f(1; 1; 1) ; (0; 1; 2)g é uma base de S: Para
determinar as coordenas de (3; 4; 1) nesta base resolvemos o sistema
(3; 4; 1) =
1
(1; 1; 1) +
2 (0;
1; 2):
Com este objectivo, podemos transformar a respectiva matriz em escada numa
matriz reduzida:
2
3
2
3
2
3
1
0 j 3
1
0 j 3
1 0 j
3
OE2
4 1
1 j 4 5 OE3
1 j 1 5 ! 4 0 1 j
1 5:
! 4 0
L
2
1
2 j 1
0
0 j 0
0 0 j
0
Assim, 1 = 3 e 2 = 1; pelo que 3 e
na base f(1; 1; 1) ; (0; 1; 2)g :
5
1 são as coordenadas do vector (3; 4; 1)
[1,5] iii. Calcule, se possível, um valor de k 2 R por forma a que o conjunto
f(1 k 2 ; 2; 0) ; (1; 0; 3)g constitua uma base de S.
Resolução: Sejam ~u = (1 k 2 ; 2; 0) e ~v = (1; 0; 3).
Pela alínea i., sabe-se que dim S = 2: Logo, para que f~u; ~v g seja base de S,
basta veri…car se ~u; ~v 2 S e f~u; ~v g é linearmente independente. Ora, atendendo
a que os vectores (x; y; z) 2 S satisfazem z + 2y 3x = 0; tem-se
~u = 1
k 2 ; 2; 0 2 S , 0 + 2
2
3 1
k 2 = 0 , 1 + 3k 2 = 0:
Esta última igualdade é uma condição impossível em R, logo ~u 2
= S e, por
conseguinte, não existe k 2 R tal que f~u; ~v g é base de S.
6. No espaço euclidiano R3 ; com o produto interno canónico aí de…nido, sejam ~u e ~v dois vectores tais que ~uj~v = 2, ~u é unitário, k~v k = 4 e w
~ é o vector dado por
w
~ = 2 (~u ~v ) 3~v .
[1,0] (a) Calcule a área do paralelogramo de…nido pelos vectores ~u e ~v :
Resolução: Sendo o ângulo formado por ~u e ~v ; tem-se
Área do paralelogramo = jj~u
~v jj = jj~ujj jj~v jj sen = 4 sen ;
atendendo a que jj~ujj = 1 e k~v k = 4: Dado que
cos =
vem
sen =
2
1
~uj~v
=
= ;
jj~ujj jj~v jj
1 4
2
p
1
cos2
=
Por conseguinte,
r
p
3
3
=
:
4
2
Área do paralelogramo = 4 sen = 4
p
p
3
= 2 3:
2
[1,5] (b) Calcule o coseno do ângulo entre ~v e w.
~
Resolução: Pretende-se calcular
cos ](~v ; w)
~ =
~v jw
~
:
jj~v jj jjwjj
~
Ora, pelas propriedades do produto interno,
~v jw
~ = ~v j [2 (~u
~v )
atendendo a que ~v ? (~u
3~v ] = 2 ~v j (~u
~v )
3~v j~v = 2
~v ) e à de…nição de norma.
6
0
3 jj~v jj2 =
3
42 ;
Por outro lado, utilizando de novo as propriedades do produto interno, a de…nição
de norma e a perpendicularidade entre ~v e ~u ~v ; tem-se
wj
~w
~ = [2 (~u
= 4 (~u
~v ) 3~v ] j [2 (~u ~v ) 3~v ]
~v ) j (~u ~v ) 6 (~u ~v ) j~v
| {z }
6 ~v j (~u ~v ) + 9 ~v j~v
| {z }
=0
= 4 jj~u
2
=0
2
~v jj + 9 jjvjj :
Então, atendendo à alínea a) e ao facto de jj~v jj = 4; vem
p
p
p
p
wj
~w
~ = 4 (2 3)2 + 9 42 = 12 42 ) jjwjj
~ = wj
~w
~ = 4 12 = 8 3:
Consequentemente,
p
~v jw
~
3 42
p =
cos ](~v ; w)
~ =
=
jj~v jj jjwjj
~
4 8 3
[1,0]
2
3
1 0 1
7. Seja C = 4 1 1 2a 5. Sabendo que det (C) =
1 1 b
2
3
3
6a
3b 0
6 1
2
3
4 7
7
dos determinantes, det 6
4 1 2 + 2a 2 + b 0 5.
1
1
1
0
Resolução: Tem-se:
3
6a
3b
1
2
3
1 2 + 2a 2 + b
1
1
1
=4
=4
1 2a b
2 0 1 1
1 1 1
1 0 1
24 1 1 2a
1 1 b
=
L2 L1
1 2a b
12 0 2 2
1 1 1
1 0 1
= 24 2a 1 1
b 1 1
24 jCj =
=
2, calcule, utilizando as propriedades
3
6a
3b
( 1)2+4 1 2 + 2a 2 + b
1
1
1
1
2a
b
3 1 2 + 2a 2 + b
1
1
1
= 12
=
0
4
0
0
3
:
2
24
=
=
=
C1 $C3
( 2) = 48:
A primeira igualdade justi…ca-se pelo teorema de Laplace, as segunda e quarta igualdades
resultam da homogeneidade do determinante em cada linha (OE2), a terceira devese ao facto da OE3 não alterar o valor do determinante, a quinta justi…ca-se porque
det A = det AT e a sexta envolve a troca do sinal do determinante devido à troca de duas
colunas entre si (OE1). (Ver secção 4.1, págs. 8 e 9, da sebenta de Determinantes).
7