Cálculo vectorial

ELECTROMAGNETISMO
Ä
Cálculo vectorial - 1
o Noção de campo escalar e de campo vectorial
• Os valores de algumas grandezas físicas variam com a posição no espaço, podendo essas
grandezas ser expressas por uma função contínua das coordenadas espaciais.
• Toda a região onde uma grandeza física é assim definida diz-se um campo.
• Campo escalar
o Um campo diz-se escalar se a grandeza física que o define puder ser representada em cada
ponto do espaço através de um valor escalar.
o Os campos escalares são normalmente representados através de uma série de linhas ou
superfícies que unem pontos com o mesmo valor de campo.
o São exemplos de campos escalares a distribuição de temperatura numa sala e a distribuição
do potencial eléctrico em torno de uma carga pontual.
• Campo vectorial
o Um campo diz-se vectorial se a grandeza física que o define tem uma magnitude e uma
direcção sendo representada em cada ponto por um vector. A função que define este campo
é uma função vectorial.
o São exemplos de campos vectoriais a distribuição da velocidade do vento numa dada zona e
a distribuição do campo eléctrico em torno de uma carga pontual.
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Cálculo vectorial - 2
o Integrais com funções vectoriais
§ Integral de linha de uma função escalar
∫ Vdl
C
• V é uma função escalar e dl representa um incremento diferencial do comprimento e C é o
caminho de integração.
∫ Vdl
integração efectuada do ponto P1 até ao ponto P2.
∫ Vdl
integração efectuada ao longo de um caminho fechado.
P2
P1
C
• Em coordenadas cartesianas podemos escrever:
∫ Vdl = ∫ V ( x, y, z )[a dx + a dy + a dz ]
C
x
C
y
z
o Como os vectores de base unitários ax, ay e az são constantes tanto em magnitude como na
direcção, estes podem ser colocados fora do sinal de integração.
∫ Vdl = a ∫ V ( x, y, z )dx + a ∫ V ( x, y, z )dy + a ∫ V ( x, y, z )dz
C
x C
y C
z C
o Os três integrais são integrais escalares normais e podem ser calculados para uma função
V(x, y, z) sobre um caminho C.
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Cálculo vectorial - 3
o Integrais com funções vectoriais
§ Integral de linha de uma função escalar
• Exemplo
• Calcule o integral ∫0 r 2 dr , onde r 2 = x 2 + y 2 , desde o ponto de origem até ao ponto P(1, 1):
P
y
a) ao longo do caminho directo OP
b) ao longo do caminho OP1P
c) ao longo de OP2P
P1
x
0
2
3
2 2
r 
(coordenadas polares)
a) ∫0 r dr = a r ∫ r dr = a r   = a r
0
3
 3 0
P
P2
=
2
2
2
2 2
(a x cos 45 o + a y sin 45 o ) = 2 2  a x 2 + a y 2  = a x 2 + a y 2
3
3 
2
2 
3
3
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Cálculo vectorial - 4
o Integrais com funções vectoriais
§ Integral de linha de uma função escalar
• Exemplo
b) Ao longo de OP1P
2
2
2
2
2
2
2
∫0 r dr = ∫0 (x + y )dr = a y ∫0 (x + y ) x = 0 dy + ax ∫P (x + y ) y =1 dx =
P
P
P1
P2
1
1
1
3
3
y 
x

= a y ∫0 y dy + a x ∫0( x + 1)dx = a y   + a x  + x  =
 3 0
3
0
1
1
2
2
1
4
1
1 
= a y + a x  + 1 = a x + a y
3
3
3
3 
c) Ao longo de OP2P
∫ (x + y )dr = a ∫ x dx + a ∫ (1 + x )dy = a 3 + a 3
P
0
2
2
1
x 0
2
1
1
2
y 0
• O valor do integral depende do caminho de integração.
x
4
y
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Cálculo vectorial - 5
o Integrais com funções vectoriais
§ Integral de linha de uma função vectorial
∫ F.d l
C
• Representa o integral do campo vectorial F
sobre o caminho de integração C, F.dl
representa o produto interno de F e dl.
• Vamos considerar um caminho do ponto P1 até
ao ponto P2 sobre um campo de força radial F
que actua na direcção radial.
o Em qualquer ponto do caminho o valor de
F.dl é dado por Fcosθ
θdl = FLdl onde FL é a
componente de F sobre o caminho de
integração.
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Cálculo vectorial - 6
o Integrais com funções vectoriais
§ Integral de linha de uma função vectorial
o A componente dr sobre a direcção r será dr=cosθ
θdl
F .d l = F cosθdl = FL dl = Fdr
o O produto de uma força F por uma distância dr representa um aumento incremental dW no
trabalho feito pela força na deslocação do objecto na distância cosθ
θdl=dr.
dW = F .d l = F cosθdl
o Se o caminho for dividido em segmentos paralelos e perpendiculares a F, as contribuições só
ocorrem para os segmentos paralelos a F (θ
θ = 0o) não havendo realização de trabalho nos
segmentos perpendiculares a F (θ
θ = 90o).
o Somando-se as contribuições dos segmentos paralelos a F obtemos o trabalho total W entre
os dois extremos do caminho de integração.
W = ∫P F .d l
P fim
início
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 7
o Integrais com funções vectoriais
§ Integral de linha de uma função vectorial
o Este integral de linha indica o trabalho realizado por F no objecto (energia fornecida ao
objecto) deslocado sobre o caminho de integração.
o Para o caminho definido temos:
W = ∫r F cosθdl = ∫r Fdr
r2
r2
1
1
o Se considerarmos o caminho contrário de ρ2 para P1 obtemos:
W = ∫r Fdr = − ∫r Fdr
r1
r2
2
1
o Para um campo vectorial como F, o integral de linha só depende do ponto inicial e do ponto
final. Se integrarmos F sob um caminho fechado, o resultado será zero.
∫ F .d l = 0
C
o Um campo com estas características é chamado conservativo.
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 8
o Integrais com funções vectoriais
§ Integral de superfície
• Suponhamos que temos água a fluir com um ritmo uniforme B litros por segundo por metro
quadrado (l/sm2) através da área quadrada A.
• O fluxo de água através da superfície depende de três factores: B (ritmo e direcção do fluxo), da
área e do ângulo que a área faz com B.
• Podemos definir o fluxo como:
ψ = B.nˆA cosθ = B. A
(l / s )
A = nˆ A
nˆ = vector unitário perpendicular à superfície
A = valor da área (m 2 )
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 9
o Integrais com funções vectoriais
§ Integral de superfície
• Se o fluxo não for uniforme (B é função da posição) precisamos de calcular o fluxo dψ
ψ através da
superfície ds:
nˆ = vector unitário perpendicular à superfície
dψ = B.nˆ ds = B.d s (l / s )
ds = valor escalar da superfície
d s = vector que indica o valor e a orientação da superfície = nˆ ds
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 10
o Integrais com funções vectoriais
§ Integral de superfície
• Somando todas as contribuições obtemos o fluxo através da superfície A:
ψ = ∫∫ B.nˆ ds = ∫∫ B.d s
área A
(l / s )
área A
o A água que flui na direcção x tem um fluxo dado por Bx=3xy
l/sm2. Calcular o fluxo de água definido por (0,0,0), (0,3,0),
(0,0,2) e (0,3,2).
2
3
1  1 
ψ = ∫∫ B.d s = ∫∫ B x dydz = 3 ∫ ∫ yzdydz = 3 z 2   y 2  = 27 (l / s )
área
área
z = 0y = 0
2  0 2  0
z = 2Y = 3
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 11
o Gradiente de um campo escalar
• Vamos considerar uma função escalar que depende das coordenadas espaciais V(u1, u2, u3) que
poderá, por exemplo, representa a distribuição da temperatura num edifício.
• O valor de V depende da posição do ponto no espaço, mas poderá ser constante ao longo de
algumas linhas ou superfícies.
• Na figura estão representadas duas superfícies onde o valor de V é constante e dV representa
uma pequena variação de V.
o O ponto P1 encontra-se na superfície V1. O ponto P2 é o ponto
correspondente na superfície V1+dV ao longo do vector normal à
superfície dn.
o P3 é um ponto próximo de P2 ao longo de outra direcção dl≠
≠dn.
o Para a mesma variação dV em V, a taxa de variação espacial dV/dl é
maior ao longo de dn porque dn é a distância mais curta entre as duas
superfícies.
o Como o valor de dV/dl depende da direcção de dl, dV/dl é uma derivada
direccional.
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 12
o Gradiente de um campo escalar
• Definimos o vector que representa o valor e a direcção da máxima variação espacial como o
gradiente desse campo escalar.
dV
gradV ≡ aˆ n
dn
∂V
∂V
∂V
∇V = aˆu1
+ aˆu 2
+ aˆu 3
h1∂u1
h2 ∂u 2
h3 ∂u3
• Em coordenadas cartesianas (u1, u2, u3)=(x, y, z) e h1=h2=h3=1.
∇V = aˆ x
 ∂
∂
∂
∂V
∂V
∂V
+ aˆ y
+ aˆ z
ou ∇V =  aˆ x + aˆ y + aˆ z V
∂z
∂y
∂z 
∂x
∂y
 ∂x
• Definimos o operador ∇:
 ∂
∂
∂
∇ ≡  aˆ x + aˆ y + aˆ z 
coordenadas cartesianas
∂y
∂z 
 ∂x

∂
∂
∂ 
 coordenadas ortogonais
∇ ≡  aˆu1
+ aˆu 2
+ aˆu 3
h
∂
u
h
∂
u
h
∂
u

1
1
2
2
3
3 
gradV = ∇V
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 13
o Divergência de um campo vectorial
• No estudo dos campos vectoriais é conveniente representar as variações através de linhas de
fluxo. Estas linhas ou curvas indicam em cada ponto a direcção do campo vectorial. A magnitude
do campo é indicada através da densidade ou comprimento dos vectores.
(a) o campo na região A é mais intenso do que na região B porque existe uma maior
densidade de linhas na região A;
(b) campo radial cuja intensidade diminui à medida que nos afastamos de q;
(c)representa um campo uniforme.
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 14
o Divergência de um campo vectorial
• O fluxo de um campo vectorial é análogo ao fluxo de um liquido incomprimível como a água.
Para um volume com uma superfície fechada só haverá uma diferença entre o fluxo que entra e
sai da superfície se esta contiver uma fonte de fluxo.
• A variação média do fluxo por unidade de volume é uma medida da intensidade da fonte de fluxo
interna.
• A divergência de um campo vectorial é um escalar que indica o fluxo do campo por unidade de
volume que sai através de uma superfície fechada infinitamente pequena que encerra um ponto.
div A ≡ lim
∆V → 0
∫ A.d s
S
∆V
• Um resultado mais utilizável é:
div A =
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
coordenadas cartesianas
∂x
∂y
∂z
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 15
o Divergência de um campo vectorial
 ∂
∂
∂
• Sabendo que ∇ ≡  aˆ x + aˆ y + aˆ z  e que A = aˆ x Ax + aˆ y Ay + aˆ z Az podemos escrever:
∂y
∂z 
 ∂x
div A = ∇. A
• Em coordenadas ortogonais (u1, u2, u3) obtemos:
∇. A =
1
h1h2 h3
 ∂

∂
∂
h
h
A
h
h
A
h
h
A
(
)
+
(
)
+
(
)
 ∂u 2 3 1 ∂u 1 3 2 ∂u 1 2 3 
 1

2
3
• Teorema da divergência
o O valor da divergência dá-nos o valor do fluxo que é gerado num volume infinitesimal. O
integral sobre um volume dá-nos o fluxo que é gerado dentro do volume.
o O integral de superfície sobre um volume delimitado por uma superfície fechada dá-nos a
diferença entre o fluxo que sai e o fluxo que entra na superfície. Esta diferença é o fluxo que
é gerado no interior do volume.
∫ ∇. A = ∫ A.d s
V
S
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 16
o Rotacional de um campo vectorial
• Vimos que a saída de fluxo através de uma superfície fechada que delimita um volume indica a
presença de uma fonte no seu interior. Esta fonte pode ser considerada como uma fonte de fluxo
e o valor da divergência como uma medida da intensidade da fonte.
• Existe um outro tipo de fonte, chamada de fonte de vortex, que causa uma circulação do campo
vectorial à sua volta.
• A circulação (média) de um campo vectorial sobre um caminho fechado é definido como o
integral de linha sobre o caminho:
Circulação de A sobre o contorno C ≡ ∫C A.d l
• Se A for uma força que actua no objecto, a sua circulação representa o trabalho feito pela força
na movimentação do objecto uma vez ao longo do contorno.
• Poderá existir circulação num campo vectorial A mesmo que a divergência de A seja nula (isto é,
não existem fontes de fluxo).
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 17
o Rotacional de um campo vectorial
• De modo a definirmos uma função pontual que indique a intensidade da fonte de vortex, devemos
considerar C muito pequeno e orientado de tal modo que a circulação seja máxima.
rot A = ∇ × A = lim
∆s → 0
[
1
an ∫C A.d l
∆s
]
• O rotacional de um campo vectorial A é um vector cuja magnitude é a máxima circulação de A
por unidade de área quando a área tende para zero e cuja direcção é a normal da área quando
esta é orientada de modo a que a circulação seja máxima.
aˆ x
∂
rot A = ∇ × A =
∂x
Ax
aˆu1 h1
1
∂
rot A = ∇ × A =
h1h2 h3 ∂u1
h1 A1
aˆ y
∂
∂y
Ay
aˆ z
∂
∂z
Az
aˆu 2 h2
∂
∂u 2
h2 A2
Coordenadas cartesianas
aˆu 3 h3
∂
∂u3
h3 A3
Coordenadas ortogonais
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 18
o Teorema de Stokes
o Identidades nulas
• Teorema de Stokes
o O integral de superfície do rotacional de um campo vectorial sobre uma superfície fechada
é igual ao integral de linha sobre o contorno que define a superfície.
(
)
∫ ∇ × A .d s = ∫ A.d l
S
C
• Identidades nulas
o Identidade I
( )
∇ × ∇V = 0
§ O rotacional do gradiente de um campo escalar é nulo.
Ø Se um campo vectorial é irrotacional, este pode ser expresso como o gradiente de
um campo escalar.
o Identidade II
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 19
o Teorema de Stokes
o Identidades nulas
(
)
∇. ∇ × A = 0
§ A divergência do rotacional de um campo vectorial é zero.
Ø Se um campo vectorial não tem divergência, este pode ser exprimido como o
rotacional de um outro campo vectorial.
Ø Os campos com divergência nula não têm fontes de fluxo. O fluxo que sai de
qualquer superfície fechada é zero e as linhas de fluxo são fechadas.
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 20
o Classificação de campos vectoriais
• Podemos classificar os campos vectoriais de acordo com a sua divergência e rotacional:
o Solenoidal e irrotacional
∇.F = 0
∇× F = 0
Campo electrostático numa região sem cargas.
o Solenoidal e rotacional
∇.F = 0
∇× F ≠ 0
Um campo magnético estático num condutor com corrente.
o Não solenoidal e irrotacional
∇.F ≠ 0
∇× F = 0
Campo electrostático numa região com cargas.
o Não solenoidal e rotacional
∇.F ≠ 0
∇× F ≠ 0
Campo eléctrico num meio com cargas com um campo magnético a variar no tempo.
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 21
o Teorema de Helmholtz
• Um campo vectorial genérico terá uma divergência e um rotacional diferentes de zero e pode ser
considerado como a soma de um campo solenoidal com um campo irrotacional.
• Um campo vectorial é determinado a menos de uma constante aditiva se a sua divergência e
rotacional estão especificados em qualquer ponto.
• A divergência mede a intensidade de fontes de fluxo e o rotacional a intensidade de fontes de
vortex.
• Quando as intensidades de ambas as fontes estão especificadas temos o campo vectorial
especificado.
• Podemos decompor um campo vectorial genérico F numa parte irrotacional Fi e numa parte
solenoidal Fs:
F = Fi + Fs
∇ × Fi = 0 ∇ × Fs = G
com 
e
∇
.
F
=
g

 ∇.Fs = 0
i
onde g e G são supostamente conhecidos, temos então:
∇.F = ∇.Fi = g e ∇ × F = ∇ × Fs = G
ELECTROMAGNETISMO
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Cálculo vectorial - 22
o Teorema de Helmholtz
• O teorema de Helmholtz garante que F pode ser obtido a partir da integração de g e de G.
o Se Fi é irrotacional:
( )
∇ × Fi = 0 e ∇ × ∇V = 0 (identidade I)
podemos definir uma função escalar V de modo que:
Fi = −∇V
o Se Fs é solenoidal:
(
)
∇.Fs = 0 e ∇. ∇ × A = 0 (identidade II)
podemos definir uma função vectorial A de modo que:
Fs = −∇ × A
o Um campo vectorial genérico pode ser escrito como a soma do gradiente de um campo
escalar e o rotacional de um campo vectorial.
F = −∇V + ∇ × A