A equação de Schrödinger

A Equação de Schrödinger
Erwin Schrödinger (1926) as ondas de matéria têm de obedecer ao
princípio da conservação de energia:
p2
T V 
 V  E  constante
2m
e à equação geral das ondas:
 2
 2 



  ( x)
2
x
  
2
mas a relação de de Broglie dá-nos:
m 2v 2 p 2
T

2m 2m
então:
h2  2
 2
 E  ( x)  V  ( x)
2
8 m x
 h2  2



V

  ( x)  E  ( x)
2
2
8

m

x


H   E
Dualismo Onda-Corpúsculo
Fotões
h

mc
h
Electrões  
mv
Eq. Schrödinger
(1 dimensão)
 h2  2

 V   ( x)  E  ( x)
 2
2
 8 m x

Partícula numa Caixa de Energia Potencial
Consideremos uma partícula restrita a movimento a uma dimensão sob a
influência de um potencial V(x) =0 para 0≤ x ≤L e infinito fora destes
limites.
h 2  2  ( x)
 2
 E  ( x) 0  x  L
2
8 m x
as soluções possíveis para esta equação são:
 n ( x) 
2
 n x 
sin 
 n  1,2,3,...(n)
L  L 
h2n2
En 
8mL2
n  1, 2,3,...(n)
Conclusão: As Funções de Onda e as Energias para
uma partícula com um grau de liberdade
dependem de um Número Quântico, n
Aplicações
Eq. Schrödinger a 3 dimensões
h2   2   2   2 
 2  2  2  2   V ( x, y , z )  E  ( x , y , z )
8 m  x
y
z 
Átomo de Hidrogénio
Electrão sujeito ao potencial central do núcleo
e 2
V (r ) 
4 0 r
Conversão de coordenadas cartesianas em
coordenadas polares
massa reduzida  
me m p
me  m p
(r , , )  R(r ) P( ) F ( )
n número quântico principal
l número quântico orbital
ml número quântico magnético
Conclusão: As Funções de Onda e as Energias para
uma partícula com três graus de liberdade
dependem de três Números Quânticos!
a0 (raio de Bohr)= 52.9 pm
Números quânticos
Número quântico principal: quantifica a energia e a
distância média ao núcleo das orbitais
n=1,2,3,...
me4 1 13.6eV
En  

2 2
8 0 h n
n2
n  1, 2,3...
Número quântico orbital: determina a forma das orbitais
l=0, 1,2, ..., (n-1)
sharp
principal
diffuse
fundamental
s
p
d
f
l=0
l=1
l=2
l=3
Por exemplo,
n=2, l=1
caracteriza a
orbital 2p
Número quântico magnético: orientação espacial das
orbitais
ml= - l,...-2,-1, 0, 1,2, ..., l
(2l+1)
O que são afinal as orbitais?
Probabilidade de encontrar o electrão a uma distância r do
núcleo:
dP   2 4 r 2 dr