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Números Complexos
Definição: Um número complexo z pode ser definido
como um par ordenado (x, y) de números reais x e y,
z = (x, y)
(1)
sujeito às regras e leis de operações
dadas a seguir (2) a (5).
(2) (x, 0) = x o par (x, 0) é identificado como o número
real x;
(0, 1) = i
é chamado de unidade imaginária;
(x, y) representam a parte real e a parte imaginária,
isto é, R(z) = x e Y(z) = y.
(3) (x1, y1) = (x2, y2)
Se
<=> x1 = x2 e y1 = y2
z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2)
então
(4) z1 + z2 = (x1+ x2 , y1 + y2) = (x1, y1) + (x2, y2)
(5) z1 z2 = (x1 y1) x (x2 y2) = (x1 x2 - y1 y2, x1 y2 +x2 y1)
(6) Cada número complexo (não real) pode ser escrito
como a soma de um número real e um número complexo
puro z = (x, y) = x+ yi
Como consequencia da equação (6), pode se escrever a
fórmula (5) como:
(x1+ y1i) x (x2+ y2i) = x1 x2 - y1 y2 + (x1 y2 +x2 y1)i
Exemplo: Dados os números z1 = (2,1) e z2 = (3, 0)
Calcular z1 + z2 , z1 x z2
e z12
Solução:
z1 + z2 = (2, 1) + (3, 0) = (2 + 3, 1 + 0) = (5, 1)
z1 z2 = (2, 1) x (3, 0) = (2 x 3 - 1 x 0, 2x0+3x1) = (6, 3)
z12 = (2, 1) x (2, 1) = (2 x 2 - 1 x 1, 2x1+2x1) = (3, 4)
2 - Propriedades
Subtração (inverso da adição)
z1 - z2 = z3
z1 =z2 + z3 ou
(x2 , y2) + (x3 , y3) = (x1 , y1)
Assim,
z1 - z2 = (x1 - x2, y1- y2) = (x1 - x2) + (y1- y2)i
Divisão (inversa da multiplicação)
(z1 / z2) = z3
se z1 = z2 z3, (z2  0)
(x2 x3 - y2 y3 , x2 y3 + x3 y2) = (x1 , y1)
ou
Logo, igualando os pontos correspondentes e resolvendo
em relação a x3, y3, temos:
z1/ z2 = (x1 x2 + y1 y2)/ (x22 +y22 ) +
(x2 y1 - x1 y2)i / (x22 +y22 ),
z2  0.
Assim
z1/ z2 = z1(1/ z2),
1/(z2 z3) = (1/z2) (1/z3), ( z2  0 z3  0)
Exemplo: Determine o valor da expressão:
[(-1+3i)(1+2i) / (2-i)] + 2i
= [(-1- 6+i) / (2 - i) ]+ 2i= [(-7 + i) / (2 -i)] +2i
= [(- 14 -1) / (4 +1)] + [(2 -7)i /5] + 2i = -3 +i
Leis para adição e subtração:
a) z1 + z2 = z2 + z1
(comutativa)
b) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 (associativa)
c) z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3
(associativa)
d) z1 (z2 + z3) = z1 z2+ z1z3
(distributiva)
3 - Representação gráfica
Cada número complexo corresponde a um único ponto,
e reciprocamente, no plano cartesiano xy.
Exemplo: O número z = -2 + i
é representado por
y
x + yi
-2 + i
i
x
-1 0
1
y
z 1 + z2
y2
z2
z1
x2
y1
x
0
x1
4 - Conjugados complexos
Chama-se conjugado do número complexo
z = (x, y) = x + yi ao complexo z = x - yi = (x, -y)
Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2), então
------z1 + z2 = x1+ x2 - (y1 + y2)i = (x1- y1i) + (x2 - y2i)
= z-- + z-1
2
Ou seja o conjugado da soma é igual a soma dos
conjugados.
E também valem:
_____
__ __
z1 - z2 = z1 - z2
____
z1 z2 = z1 z2
__ __
____
(z1 / z2) = z1 / z2
e ainda:
_
z + z = 2x = 2R(z) -- a soma de um complexo com o seu
__
conjugado é um real;
_
z - z = 2yi = 2I(z)i -- a diferença entre um complexo
e seu conjugado é um imaginário puro;
Usando conjugado, pode-se fazer a divisão de dois
complexos multiplicando o numerador e o denominador
pelo seu conjugado.
5 - Valores absolutos
Se x e y são reais, chama-se valor absoluto ou módulo de
um número complexo z = x + yi ao real não negativo
| z || x  yi | x  y
2
2
Assim,
| z1  z 2 |  | ( x1  x2 )  ( y1  y 2 )i |  ( x1  x2 )  ( y1  y 2 )
2
Associado a cada número complexo z há 3 números
reais já definidos |z|, R(z) e I(z) que resultam
2
|z|2 = |R(z)|2 + |I(z)|2
e as condições
|z|  |R(z)|  R(z)
e
|z|  |I(z)|  I(z)
e que
_
zz = x2 + y2 = |z|2
__
|z| = |z|
|z1 / z2| = |z1| / | z2|,
z2  0
e as desigualdades
|z1 + z2|  |z1| + | z2|
|z1 - z2|  | |z1| - | z2| |
|z1 z2| = |z1| | z2|
Exemplo: Dados os complexos z1 = 3 + 4i e z2 = 12- 5i
Calcule:
a ) | z1 |  9  16  5
b) z1 z 2  (3  4i )(12  5i )  56  33i
c) | z1 z 2 | 
d)
56 2  332  4225  65  5 x13  | z1 || z 2 |
z1
3  4i 12  5i 16  63i 16  63i

x


z 2 12  5i 12  5i 144  25
169
z
16 2  632
1
e)


z
169 2
2
4225 65
5 | z1 |



2
169
169 13 | z 2 |
6 - Forma polar
Sejam r e  as coordenadas polares do ponto representado
z, Figura a seguir, onde r  0. Então x = rcos  e y = rsen 
e z pode ser escrito como z = r (cos  + i sen ) onde
r x y
2
2
Isto é r = |z| e  é o argumento de z denotado por argz.
Quando z  0,  pode ser determinado por tg  = y/ x.
Y
P
y
z
r

0
z
Exemplo: Seja
Então:
x
X
3 i
r 
3 1  2
 
1
3



3
6
3
log o
z  2 (cos(

6
)  i sen(

6
))
7 - Produto, Potência e Quociente
O produto de dois números complexos
z1 = r1 (cos 1 + i sen 1)
e z2 = r2 (cos 2 + i sen 2) é
z1 z2 = r1 r2 [cos (1+ 2 )+ i sen (1 + 2 )].
Logo, arg(z1 z2 ) = arg(z1) + arg(z2)
Assim, z1 z2 ...zn = r1 r2 ...rn [cos (1+ 2 +...+n ) +
+ i sen ( 1+ 2 +...+n )].
Se z = r (cos  + i sen )
e n  Z+,
zn = r n (cos n + i sen n).
Se r = 1 temos o Teorema De Moivre
(cos + i sen) n = cos n + i sen n.
O quociente de dois números complexos é dado por
(z1/ z2) = (r 1/ r2) [cos (1- 2) + i sen (1- 2)], r2  0.
Que pode ser obtida pelo inverso da multiplicação
(1/ z) = (1/ r) [cos (- ) + i sen (- )] = (1/ r) [cos () - i sen
()] (caso particular). Logo
z-n = (1/ z)n = (1/ rn) [cos (-n) + i sen (-n)]
Exemplos: Dados os números
z1  2(cos  / 6  i sen  / 6) e z 2  3(cos  / 3  i sen  / 3), calcule :
z1 z 2  2 x3 [cos ( / 6   / 3)  i sen( / 6   / 3)]
 6 (cos  / 2  i sen  / 2)
Calcule z 5 onde z  2  i 2 3.
| z | 4  4 x3  4
z  2  i 2 3  4[1 / 2  ( 3 / 2)i ]  4(cos  / 3  i sen  / 3),
z 5  4 5 [cos(5 / 3)  i sen( 5 / 3)]  1024 [1 / 2  i ( 3 / 2)]
 512  512 3 i
Logo,
8 - Extração de raizes
Extrair as raizes n-ésimas z1/n de um complexo z é
resolver a equação zon = z.
n z  zo  z  z
n
o
Podemos escrever
z0 = r0 (cos 0 + isen 0) ou
r0n = (cos no + isen n0) = r (cos  + i sen )
Se os ângulos são dados em radianos,
r0n  r
n 0    2k ,
e
k Z
2k
n
n
Por tan to, existem exatamente n raizes dist int as quando z  0, a saber
  2k
  2k
z 0  n r [cos(
)  sen(
)i ]
n
n
Agora  0 

k  0,

Onde k = 0, 1, ...(n-1). São os valores de z1/n.
Exemplo: Calcular as raizes cúbicas de 8.
Neste caso temos os valores z = 8, r = 3 e  = 0.
Para k = 0, z0 = 81/3 (cos 0 +i sen 0) = 2
k = 1, z0 = 81/3 [cos (2/3) +i sen (2/3)] = -1 + 31/2i
k=2,
z0 = 81/3 [cos (4/3) +i sen (4/3)] = 1 - 31/2i
9 - Regiões no plano complexo
A origem z = 0, bem como cada ponto do círculo
unitário
|z| = 1, é um ponto de fronteira de qualquer um dos
seguintes conjuntos
0 < |z| < 1
ou
0 < |z|  1
Funções Analíticas
1- Funções de uma variável complexa.
Se para cada z  S, o valor de uma segunda variável
complexa w é determinado, então w é uma função da
variável complexa z no conjunto S: w = f(z).
Uma função é dita univalente em S se ela tem um
valor correspondente a cada valor de z em S.
Exemplo: Quais os domínios de cada uma das funções a
seguir f1(z) = z3 +2zi - 2
Neste caso é o plano complexo inteiro.
f2(z) = |z|. Aqui também é o plano complexo inteiro.
f3(z) = 1/(z2+1). Neste caso f3 não está definida em z =  i.
Se u e v são funções representando a parte real e a
imaginária respectivamente, então:
f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
Exemplo: Se f(z) = z2 = (x+yi)2, então u = x2 - y2 e v = 2xy.
Se n é um inteiro não negativo e se a0 a1... an são constantes
complexas, a função
P(z) = a0 +a1z +...+ anzn,
grau n.
an  0
é um polinômio em z, de
2- Transformação:
A função z+2 pode ser vista como uma translação de
cada ponto z à posição w = z+2, duas unidades à direita
de z. A função w = z leva -cada ponto z na reflexão z
-desse ponto no eixo real.
A função w = (x2 + y2)1/2 -iy leva os pontos de cada círculo
x2 + y2 = c, c  0, em alguns pontos da reta u = c, pois
u = (x2 + y2)1/2 .
3 - Limites:
Seja f uma função definida em todos os pontos de uma
vizinhança de um ponto z0.
Lim f(z) = w0
z-->zo
Isto significa que, para cada número positivo , existe um
número positivo  tal que |f(z) - w0| <  sempre que
|z - z0| < , z  z0.
Exemplo sobre a determinação de limites.
Seja
lim f(z) = lim (z2 - 1) / (z - 1) = 2
z-->1
z-->1
Prova: Para z = 1, f(z) não existe.
Para z  1, temos f(z) = z + 1. Assim,
|f(z) - 2 | = |z +1 -2| = |z - 1|. Logo |f(z) - 2| <  sempre
que 0 < |z -1| < .
Daí a condição de limite é satisfeita bastando que  = .
Quando o limite de uma função f existe em z0, esse limite
tem um único valor.
Teorema: Sejam f e F funções cujos limites existem em z0:
lim f(z) = w0,
z--> z0
lim F(z) = W0
z--> z0
Então: lim [f(z) + F(z)] = w0 + W0, lim[f(z)F(z)] = w0W0
z--> z0
z--> z0
E se w0  0, lim [f(z) / F(z)] = w0 / W0
z--> z0
O limite de um polinômio P(z) = a0 + a1z +...+anzn
valor desse polinômio em z0, para todo z0,
lim P(z) = P(z0).
z--> z0
éo
4 - Continuidade
Uma função f é contínua num ponto z0 se, e somente
se, todas as 3 condições a seguir forem satisfeitas:
a) f(z0) existe; b) lim f(z) existe e c) lim f(z) = f(z0)
z-->z0
z-->z0
Como consequencia, se duas funções são contínuas, sua
soma e produto também o são, e o seu quociente é
contínuo, exceto nos pontos z, para os quais o
denominador se anula.
Logo a condição c) acima pode ser escrita como:
|f(z) - f(z0)| <  sempre que |z - z0| < .
Para cada número positivo  existe um número 
satisfazendo a condição acima.
Função contínua de função contínua é contínua. Assim, se
g(z) é contínua e f é contínua em g(z) então f(g(z)) é
contínua em z0.
5 - A derivada
A derivada f ’, ou df /dz, de f em z0 é, então, definida
por
f ' ( z 0 )  lim
z 0
se o limite existe.
f ( z 0  z )  f ( z 0 ),
z
Exemplo: Seja f(z) = z2. Mostre que f ’(zo) = 2z0 em
qualquer z0.
Sabemos que
lim
z 0
f ( z 0  z )  f ( z 0 )

z
( z 0  z ) 2  ( z 0 ) 2

lim
z
z 0
lim (2 z 0  z )  2 z 0
z 0
6 - Fórmulas de derivação
A diferença fundamental entre a derivada nos reais e nos
complexos é que nos complexos o lim na definição de f ’(z)
é de dimensão dois. Assim temos:
d(c) / dz = 0, c --> constante
d(z) / dz = 1
d(cw) / dz = c (dw / dz).
Se as derivadas w1’(z) e w2’(z) de duas funções w1 e w2
existem, então
d(w1 + w2 ) / dz = d(w1) / dz + d(w2 ) / dz = w1’(z) + w2’(z)
d(w1 w2 ) / dz = w1(z) w2’(z) + w1’(z) w2(z)
E, se w2(z)  0,
d(w1 / w2 ) / dz = [w2(z) w1’(z) - w1(z) w2’(z)] / [w2(z)]2
Para a função composta w1(w2), com w1’(t) existe em
t = w2(t)
e w2’(z)
então,
d[w1(w2)] / dz = [dw1 / dw2] [dw2 / dz]
Exemplo: Se w1 = z5 e w2 = 2z + 1, então
d(2z+1)5 / dz = d(w25) / dz = 5w24 dw2 / dz
= 10(2z+1)4.