INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS
CONJUNTOS
• Prof. Elionaro Rochelly
O QUE É UM CONJUNTO?
• Não existe uma definição formalizada do que
vem a ser um conjunto. O que temos é uma
ideia ou uma noção do que vem a ser um
conjunto.
• De uma maneira geral, temos que um conjunto
é tudo aquilo que nos dá uma ideia de coleção
ou de agrupamento.
POR EXEMPLO:
Conjuntos
de times
de futebol.
Melhores
jogadores
do mundo
Conjunto de políticos? É uma
quadrilha.
• Todo conjunto é formado por um ou vários
objetos que são denominados elementos.
• De maneira geral indicamos um conjunto por
uma letra maiúscula.
• CONCEITOS IMPORTANTES
• PERTINÊNCIA: O conceito de pertinência procura
relacionar um elemento com um conjunto.
• Para representar um elemento pertencente a um
conjunto usamos o símbolo  e para indicar um
elemento que não pertence a um conjunto usamos o
símbolo ∉.
Exemplo:
• Seja o conjunto M = {2;4;6;8;10},
complete com  ou ∉ as lacunas
abaixo.
 M
• 2__
∉
• 5__M

• 10__M
∉
• Brasil__M
SUBCONJUNTO
• Esse conceito visa estabelecer uma relação entre
dois conjuntos. Dados dois conjuntos, A e B,
dizemos que A é subconjunto de B se cada
elemento do conjunto A também é um elemento
do conjunto B. Indica-se por:
• A  B (lê-se A está contido em B)
Exemplos:
Relação de Inclusão
• Quando relacionamos conjunto com conjunto
utilizamos os símbolos de ⊂ está contido
e ⊄ não está contido .
• Por Exemplo:
• {1,2,3} ⊂ {1,2,3,4,5,6}
• {1,2,0} ⊄ {1,2,3,4,5,7}
IGUALDADE DE CONJUNTOS
• Dois conjuntos A e B são ditos iguais quando
possuem exatamente os mesmos elementos.
• Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B =
{2,3,4,1,0} como todos os elementos são iguais
podemos dizer que A = B.
• Conjunto vazio: O conjunto vazio corresponde a um
tipo particular de conjunto, já que ele não possui
elementos. Esse conjunto é usado para indicar uma
situação impossível de ocorrer.
• Podemos indicar um conjunto vazio por {} ou 
• Conjunto Unitário: Corresponde a outro tipo especial
de conjunto. O conjunto unitário é todo conjunto que
possui apenas um elemento.
• Conjunto Universo: Corresponde ao conjunto ao qual
pertencem todos os elementos que fazem parte do nosso
estudo.
CONJUNTO DAS PARTES
• O conjunto das partes de um conjunto é formado por
todos os subconjuntos de A. Ou seja:
• ℙ (A) = {x / {x} A}
• Exemplo: o conjunto das partes dos conjuntos abaixo:
A = {0, 1} é:
• ℙ (A) = {Ø, {0}, {1}, {0,1}}
• Já para o conjunto B = {0, 1, 2}, o conjunto das partes
será
• ℙ (B) = {Ø, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {1, 2}, {0, 2}, {0, 1,
2}}
PROPRIEDADES IMPORTANTES
• a) Ø  ℙ (A)
• b) A  ℙ (A)
• c) Se A
possui n elementos, ℙ (A)
possui
elementos
Operações com conjuntos:
• União: Os elementos pertences aos dois
conjuntos.
• A  B = {x/xA ou x  B} (União)
• Intersecção: Os elementos que pertencem
simultaneamente a dois ou mais
conjuntos.
• A  B = {x/xA e x  B}
• Diferença: Os elementos pertences aos
conjunto A, mas não pertence ao conjunto
B.
• A - B = {x/xA e xB}
Diagrama de Venn
A-B
B
A
AA
BB
B-A
Exemplo:
• Seja o conjunto A={0, 1 ,2, 3, 4} e o
conjunto B={0, 2, 5, 6}, encontre:
• A) A B
B) AUB c) A-B
A
B
0 2
1
3
4
5
6
Problemas com operações de conjuntos
Numa sala de aula:
 85 alunos jogam basquete;
 75 jogam futebol;
17 praticam duas atividades: basquete e futebol.
Quantos alunos foram pesquisados, sabendo-se que todos optaram pelo
menos por um dos dois esportes?
Diagramas de Venn com três conjuntos


Exemplo:
• . Observe o diagrama e responda:
•
•
•
•
•
•
Vamos responder o que se pede abaixo:
a) A =
b) B =
c) C =
d) (A∩B)U(B∩C) =
e) (A∩C) U B=
Questões
• 1)Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3} e C
= {0;1;2;3}, classifique em verdadeiro (V) ou
falso (F) cada afirmação abaixo:
• a) ( ) A ⊂ B
• b) ( ) {1} ⊂ A
• c) ( ) A ⊂ C
• d) ( ) B ⊄ C
• e) ( ) B ⊂ C
• f) ( ) {0;2}  B
• 3(Unifap)O dono de um canil vacinou todos os
seus cães, sendo que 80% contra parvovirose e
60% contra cinomose. Determine o porcentual
de animais que foram vacinados contra as duas
doenças.
• 2) Uma atividade com duas questões foi aplicada
em uma classe de 40 alunos. Os resultados
apontaram que 20 alunos haviam acertado as
duas questões, 35 acertaram a primeira questão
e 25, a segunda. Faça o diagrama e calcule o
percentual de alunos que acertou apenas uma
questão?
• 4 (FATEC) Para a identificação de pacientes com
sintomas de gripe influenza A, a Anvisa (Agência
Nacional de Vigilância Sanitária) informou hoje que os
voos procedentes do Reino Unido, Espanha e Nova
Zelândia também serão inspecionados por uma equipe
da agência e por médicos da Empresa Brasileira de
Infraestrutura Aeroportuária (Infraero). Inicialmente,
apenas os voos vindos do México, Canadá e Estados
Unidos eram inspecionados. A decisão foi tomada
durante reunião da Anvisa com representantes das
companhias aéreas, da Agência Nacional de Aviação Civil
(Anac) e da Infraero, no Aeroporto Internacional de
Cumbica, em Guarulhos, na Grande São Paulo.
(Adaptado de:
http://noticias.uol.com.br/cotidiano/2009/04/28/ult5
772u3774.jhtm, Acesso em: 09.05.2009.)
• Em um voo proveniente de Miami,
a Anvisa constatou que entre todas
as pessoas a bordo (passageiros e
tripulantes)
algumas
haviam
passado pela cidade do México.
No diagrama, U representa o
conjunto das pessoas que estavam
nesse voo; P o conjunto dos
passageiros; M o conjunto das
pessoas que haviam passado pela
cidade do México e A o conjunto
das pessoas com sintomas da gripe
influenza
A.
Considerando
verdadeiro esse diagrama, concluise que a região sombreada
representa o conjunto das pessoas
que, de modo inequívoco, são
aquelas caracterizadas como
•
•
•
•
•
(A) passageiros com sintomas da gripe que
não passaram pela cidade do México.
(B) passageiros com sintomas da gripe que
passaram pela cidade do México.
(C) tripulantes com sintomas da gripe que
passaram pela cidade do México.
(D) tripulantes com sintomas da gripe que
não passaram pela cidade do México.
(E) tripulantes sem sintomas da gripe que
passaram pela cidade do México.
5) Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a
audiência de três programas de televisão, 1200 famílias foram
entrevistadas e os resultados obtidos foram os seguintes: 370
famílias assistem ao programa A, 300 ao programa B e 360 ao
programa C. Desse total, 100 famílias assistem aos programas A
e B, 60 aos programas B e C, 30 aos programas A e C e 20
famílias aos 3 programas. Com base nesses dados, determine:
• a) quantas famílias não assistem a nenhum dos 3 programas?
• b) quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao
programa C?
• c) qual o programa de maior fidelidade, ou seja, cujos
espectadores assistem somente a esse programa?
• 6. (ENEM) Um fabricante de cosméticos decide produzir
três diferentes catálogos de seus produtos, visando a
públicos distintos. Como alguns produtos estarão
presentes em mais de um catálogo e ocupam uma página
inteira, ele resolve fazer uma contagem para diminuir os
gastos com originais de impressão. Os catálogos C1, C2 e
C3 terão, respectivamente, 50, 45 e 40 páginas.
Comparando os projetos de cada catálogo, ele verifica
que C1 e C2 terão 10 páginas em comum, C1 e C3 terão 6
páginas em comum; C2 e C3 terão 5 páginas em comum,
das quais 4 também estarão em C1. Nessas condições, o
fabricante, para a montagem dos três catálogos,
necessitará de quantos originais de impressão?
Conjuntos Numéricos
Conjunto dos números naturais
N = {0, 1, 2, 3, ...}
N* = {1, 2, 3, ...}
Medida unitária
Propriedades dos Nº Naturais
1) A soma de dois números naturais é um número natural.
2) A multiplicação de dois números naturais é um número natural.
3) Se n é um número natural, então n+1 é o sucessor de n e n é o
antecessor de n+1
Conjunto dos números inteiros
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
Números opostos
Inteiros não nulos:
*
= {..., −2, −1, 1, 2, ...}
 Inteiros não negativos:
 Inteiros não positivos:
+
—
= {0, 1, 2, 3, ...}
= {..., −3, −2, −1, 0}
Propriedades dos Nº Inteiros
1) Todo número natural é um número inteiro.
2) A soma e a diferença entre dois números inteiros resulta em um
outro número inteiro.
3) A multiplicação (produto) entre dois números inteiros é um
número inteiro.
Conjunto dos números racionais

.
8
25

–2
. 1 = –2

.
1 = 0,333…
3

.
0
=0
10
Propriedades dos Nº Racionais
1) Todo número natural e todo número inteiro é um número
racional.
2) A soma ou a diferença entre dois números racionais resulta em
um outro número racional.
3) O produto entre dois números racionais é um número racional.
4) O quociente entre dois número racionais, sendo o divisor
diferente de zero, é um número racional.
Conjunto dos números irracionais
Exemplo
A medida da diagonal (d) de um quadrado de lado 1
2 = 1,414213562... é um número cuja
representação decimal tem infinitas
casas não periódicas depois da vírgula.
Qual o outro irracional que você conhece?
Propriedades dos Nº Irracionais
1) Um número irracional não é um número racional.
2) A soma ou a diferença entre um número irracional com um
número racional é um número irracional.
3) A produto entre um número irracional e um número racional é
um número irracional.
4) O quociente entre um número irracional e número racional ,
diferente de zero, é um número irracional.
Conjunto dos números reais
Reunião do conjunto dos números racionais com o dos irracionais
= conjunto dos números reais
(Conjunto dos
números
irracionais)
Questões.
1) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os
números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos
numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes
invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses
conjuntos, é correto afirmar que:
• A) o produto de dois números irracionais é sempre um número
irracional.
• B) a soma de dois números irracionais é sempre um número
irracional.
• C) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número
irracional.
• D) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um
número racional.
• E) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um
número inteiro negativo.
• 2) Os conjuntos numéricos foram surgindo à medida que certas
operações aritméticas não eram fechadas dentro dos conjuntos em
que eram realizadas. Assim, por exemplo, o conjunto dos números
inteiros surgiu como extensão do conjunto dos números naturais.
Embora a adição de dois números naturais resulte sempre em um
número natural (a adição é fechada no conjunto dos números
naturais), a subtração não é (a subtração de dois números naturais
nem sempre resulta em um número natural). Assinale a afirmação
verdadeira:
• a) Os números naturais são fechados em relação à divisão.
• b) Os números inteiros são fechados em relação à adição.
• c) Os números inteiros são fechados em relação à divisão.
• d) A adição de dois números irracionais sempre resulta em um
número irracional.
• e) A subtração de dois números irracionais sempre resulta em um
número irracional.