Teorema de Poynting Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez

ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
Teorema de Poynting
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
Equações de Maxwell
 E  r , t    
H  r , t 
t
 H  r , t   J  r , t   
E  r , t 
.D  r, t     r, t 
.B  r, t   0
t
E
E  H  E J  E
t
E
E J  E  H  E
t
  A  B   B  A  A  B 
  E  H   H  E   E  H 
E  H   H  E    E  H 
E
E J  H   E     E  H    E
t
E
E J  H   E     E  H    E
t
H
  E  
t
H

E J  H  
t

E

  E  H   E
t

H
E
E J   H
E
 E  H 
t
t
1E
1   E E  1 E 1 E
E

 E

EE
2 t
2 t
2 t 2 t
t
2
  H 2   E2
  E H 
E J  

 2 t

2

t



E Jdv  



  H 2   E2

dv 

 2 t

2

t


E Jdv 

E J s dv 
  H 2   E2


dv 

 2 t

2

t

t





  E  H  dv
E J c dv
 2  2
 H  E  dv
2
2


  E  H  dv 

S  EH
E  H ds


E Jdv  
t

 2
2

 H  E dv 
2
2


E  H ds
Teorema Complexo de Poynting
A  t   Re  Ae jt   Re  Ae jA e jt 
B  t   Re  Be jt   Re  Be jB e jt 
A  t  B  t   Re  Ae jt  Re  Be jt   Re  ABe jt 
A  t  B t   A cos t  A  B cos t  B 
A t  B t  
AB
cos  A  B   cos  2t   A  B  
2
A t  B t  
AB
1
cos  A  B    Re  AB* 
2
2
S  E t   H t  
EH
1
cos  A  B    Re  E  H * 
2
2
S  E  H*
  E   j H
  H  j E  J
H *  E   j H * H
 E  H *  j E E *  E J *
H *   E  E   H *   j H  j E  E J *
2
 E H
*
   j H
2
2
 j E  E J *
2
  E  H *    j H  j E  E J *
2

2
*

E

H

 dv   j   H   E


2
 E  H ds   j   H   E
*
1
2
1
2
2
 Im  S  ds  2 W
m
2

2

dv   E J *dv
dv   E J *dv
 We   PR
1
1
2
2
1
*
S
ds


2
j


H


E
dv

E
J
dv


  4

4
2

Parte Real
1
2
 Re  S  ds  
1
2
1
1
2
*


Re
E
J
dv


E
dv
S 



2
2
 Re  S  ds  P
S
 PC
Parte Imaginária
1
2
1
1
2
2
1
*

 dv
Im
S
ds


2


H


E
dv

Im
E
J




  4


4
2

1
2
 Im  S  ds  2 W
m
 We   PR
Exemplo:
Considere uma onda plana se propagando na direção +z com os campos
ˆ 0 cos t  kz 
E  r, t   xE
E
H  r , t   yˆ 0 cos t  kz 

Demonstre o teorema de Poynting num volume retangular com tamanho x=a,
y=b e z=c.

1
2

E Jdv  
t

 2
2

 H  E dv 
2
2

 E  H ds
1
1
2
2
1
*
S
ds


2
j


H


E
dv

E
J
dv


  4

4
2


E Jdv  
t

S  EH
ˆ 0 cos t  kz   yˆ
S  xE
S  zˆ
We 

E 
2
2


 2
2

 H  E dv 
2
2


2
E0

2
cos2 t  kz 
E0

 E  H ds
cos t  kz 
E0 2 cos 2 t  kz 
 E0
 2 2
2
Wm  H 
cos t  kz   E0 cos t  kz   We
2
2
2
2

2
2
E Jdv  0

 2  2
 H  E dv 
2
2

a b c

a b c
Wm  We  dxdydz


0 0 0
c

 E0 2 cos2 t  kz  dxdydz  ab E0 2 cos2 t  kz  dz
0 0 0
0
ab 2
ab 2  sin  2t  sin 2 t  kc  
E0 1  cos 2 t  kz  dz 
E0  c 


2
2
2k
2k


0
c

Aplicando d/dt

t

ab 2  cos  2t  cos 2 t  kc  
E0 


2
k
k


 2
ab 2
2

E0 cos  2t   cos 2 t  kc  
 H  E dv 
2
2
2

S  zˆ

a b
E  H ds  
 
E0
2
E0 2

a b
cos2 t  dz 
0 0

cos2 t  kz 
E0 2
 
cos 2 t  kc  dz
0 0
ab 2
E  H ds  
E0 cos  2t   cos 2 t  kc 
2
Teorema de Poynting


E Jdv  
t

 2
2

 H  E dv 
2
2


E  H ds
1
2
1
1
2
2
1
*
S
ds


2
j


H


E
dv

E
J
dv


  4

4
2

ˆ 0e jkz
E  r   xE
H  r   yˆ
E0

ˆ 0e jkz  yˆ
S  E  H *  xE
e jkz
E0

e jkz  zˆ
E0 2

Como os fasores E e H estão em fase, S será puramente real., como não temos
perdas, devemos demonstrar que:
1
2
 Re  S  ds  P
S
 PC  0
1
2
a b
a b
E0 2
E0 2 
1 
 Re  S  ds  2 Re 0 0  dz  0 0  dz   0
Como não temos potencia reativa, devemos demonstrar que Wm=We
1
2
1
2
 Im  S  ds  2 W
m
 We   PR
1
1
2
2
1
*

 dv
Im
S
ds


2


H


E
dv

Im
E
J




  4


4
2

a b c
1
1
abc
2
We    E dv      E0 2 dxdydz 
 E0 2
4
4
4
0 0 0
a b c
1
1 E0 2
abc E0 2 abc
2
Wm    H dv      2 dxdydz 
 2 
 E0 2
4
4 
4

4
0 0 0
ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
Propagação em Meios com Perda
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
Considere um meio com perdas, caracterizado pela sua condutividade ,
porem sem cargas livres.
As equações de Maxwell para campos harmônicos são escritos da
seguinte forma:
Aplicando o rotacional na Eq (10.13)
Fazendo uso da identidade vetorial
e da Eq. (10.14)
Obtem-se
Ou
Onde
 é conhecida como constante de propagação, e será uma variável complexa,
Podendo ser expressa na forma,
de forma similar pode ser obtida uma equação para o campo magnético,
Para obtermos os valores de a e b na Eq. (10.20) faremos o seguinte:
Resolvendo o sistema de equações (10.21) e (10.22) obtem-se
Consideremos um campo propagando na direção +z, com apenas uma
componente em x,
Substituindo na Eq. (10.17), obtem-se
Colocando em evidencia o operador laplaciano, lembrando que não existe
variação na direção x e y
Obtem-se a equação diferencial,
Cuja solução tem a forma,
Como o campo deve ser finito em z=infinito, considera-se apenas a
exponencial negativa, o campo E(r,t) pode ser então escrito como,
Resultando em ,
E  z, t   E0ea z cos t  b z  xˆ
De forma analoga, pode ser obtida a solução da Eq. (10.19)
Onde
é conhecida como impedância do meio e será complexa
Onde
O ângulo q varia entre 0 e 45 graus.
Substituindo (10.31) e (10.32) em (10.30)
H  z, t  
E0

e
a z
cos t  b z  q  yˆ
Observe a defasagem entre os campos,
E  z, t   E0ea z cos t  b z  xˆ
As propriedades de propagação são calculadas usando
Podemos também re-escrever a Eq (10.14)
onde
Ou
onde