distribuições amostrais

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Lei dos grandes números – Extraia observações aleatórias e
independentes de uma população de média 
À medida que o número de observações aumenta, a média
amostral aproxima-se cada vez mais da média da população
.
Características de uma população podem ser descritas pelos
parâmetros.
Os parâmetros são quantidades desconhecidas, a serem
estimadas via amostra.
As distribuições amostrais podem ser vistas como:
Distribuição de probabilidades de uma estatística
amostral
 Indicam como variam as estatísticas devido a
variações no processo de amostragem.

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Obtida a partir da média aritmética de uma série de amostras de
tamanho n, extraída de uma população que tem média  e desvio
padrão s.
A média da distribuição amostral de médias é igual à média
populacional
O desvio-padrãosda distribuição amostral de médias é dada por:
n
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
A distribuição amostral de médias é aproximadamente normal, para
n grande.
A estatística correspondente à equação abaixo é aproximadamente
N(0,1).
Z
(x  ) n
s
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Obtida a partir da proporção de elementos em uma amostra que
possuem certa característica de interesse.
A média da distribuição amostral da proporção é igual à proporção
populacional.
O desvio-padrão da distribuição amostral da proporção é dado por:
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p(1  p)
n
A distribuição amostral da proporção é aproximadamente normal, para
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sp 

n grande.
A estatística correspondente à equação abaixo é aproximadamente
N(0,1).
z
pa  P
P(1  P)
n
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Inferência: campo da estatística no qual são tomadas decisões sobre
populações, com base na informação extraída de uma amostra.
Estimativas sobre os parâmetros populacionais


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Estimativas pontuais
Estimativas por intervalos
Formulação de testes de hipóteses sobre os mesmos
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Objetivo do IC: estimar um parâmetro desconhecido com uma
indicação da precisão da estimativa.
Formato: estimativa +/- margem de erro
Nível de confiança: probabilidade de que o método forneça uma
resposta correta.
A média amostral varia de amostra para amostra
Para levar em consideração esta fato devemos construir um intervalo
de confiança para a verdadeira média populacional, com base na
média amostral.
Tal intervalo tem uma probabilidade (nível de confiança) de estar
estimando corretamente (conter) o parâmetro.
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O intervalo para a média, com desvio-padrão conhecido, pode ser
representado pela expressão:
s
x  Z
2
n
x  média amostral
Z   valor obtido na tabela normal
2
  nível de significancia adotado
s
n
 erro  padrão da distribuição amostral da média
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O intervalo para uma proporção pode ser representado pela
expressão:
pa  z 
2
pa (1  pa )
n
pa  proporção amostral
Z   valor obtido na tabela normal
2
  nível de significancia adotado
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Constituem uma outra face do trabalho de inferência
estatística e também fazendo uso da informação amostral.
Uma hipótese estatística: afirmação sobre parâmetros
populacionais.
Teste de hipóteses: processo de decisão relativo a uma
hipótese particular.
A informação de uma amostra é utilizada para avaliar a
plausibilidade da hipótese formulada
Se tal informação for consistente com a hipótese tenderemos a
concluir que não há evidências que favoreçam sua rejeição.
O fato de utilizar apenas uma amostra não nos permite
concluir com certeza sobre a veracidade ou não de uma
hipótese formulada.
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Uma empresa produtora de detergente deseja avaliar se a
máquina que enche as garrafas plásticas está adequadamente
regulada, para o valor especificado de 5 litros, por garrafa. O
desvio padrão do processo é da ordem de 0,5 litros.
Caso a máquina esteja devidamente regulada, espera-se que o
valor médio de uma amostra de garrafas concorde com um valor
médio de 5 litros.
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Hipóteses envolvidas:
 H0: hipótese nula
 H1: hipótese alternativa
A hipótese nula (H0) é a que é sempre testada.
A hipótese alternativa: oposto de H0.
H0 se refere a um valor especificado para um parâmetro da
população.
H0 geralmente contém um sinal de igualdade.
H1 nunca contém sinal de igualdade, pode ser representada
por: , < ou >.
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Formula-se então a chamada hipótese nula (H0) como sendo:
 H0:  = 5, indicando que a máquina está regulada.
No caso, suponha que a hipótese alternativa seja definida como:
 H1:   5.
Caso a hipótese nula seja verdadeira espera-se que a amostra forneça um
valor médio próximo do especificado pela mesma.
Porém, devido às variações decorrentes do processo amostral, mesmo que
a hipótese nula seja verdadeira, é possível que valores diferentes da
mesma sejam obtidos.
A metodologia dos testes de hipóteses nos vai fornecer elementos claros
para melhor avaliar essas diferenças e tomar uma decisão, com base em
critérios probabilísticos.
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Erros envolvidos:
SITUAÇÃO REAL
CONCLUSÃO DO TESTE
Não Rejeitar H0
Rejeitar H0
H0 VERDADE
H0 FALSA
Certo
Erro tipo II ( )
Erro tipo I ( )
Certo
Um teste de hipóteses nos auxilia a responder a
questão:
A diferença entre o valor
amostral e o parâmetro é
devida apenas ao acaso?
(variação amostral)
Resultado
amostral
Significativo
Não
significativo
Rejeição de
H0
Não se
rejeita H0
Variação
não casual
Variação
casual
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Formulação das hipóteses nula e alternativa
Escolha do nível de significância
Escolha do tamanho da amostra
Determinação da técnica apropriada e estatística do
teste
Determinação dos valores críticos (região de
rejeição/regra de decisão)
Coleta de dados e cálculo da estatística do teste.
Decisão
Expressar a decisão no contexto do problema.
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Formulação das hipóteses nula e alternativa
H0:  = 5
 H1:   5


Escolha do nível de significância


Escolha do tamanho da amostra

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=0,05 (5%)
Vamos tomar uma amostra de n=25 caixas.
Determinação da técnica apropriada e estatística do
teste
(x  ) n
Z

s
Determinação dos valores críticos (região de
rejeição/regra de decisão)

Se z>1,96 ou z<-1,96, rejeitamos H0.

Coleta de dados e cálculo da estatística do teste.


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Z cal 
s

0,05
  2,5
Decisão

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Supondo que a média amostral foi de 4,75 l, tem-se
que: ( x   0 ) n (4,75  5) 25
Como o valor de Z=-2,5<-1,96, não existem evidências
que favoreçam a hipótese nula. (rejeitamos H0)
Expressar a decisão no contexto do problema.

Concluímos que a máquina está mal regulada e,
portanto, requer uma intervenção no processo para
sanar o problema.
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Supondo H0 verdade, o valor-p ou nível de significância do
teste, representa a probabilidade de se obter, para uma
amostra n observações, um valor amostral tão ou mais
discrepante que a média observada.
Se tal probabilidade for muito pequena, a média amostral
observada não é compatível com a hipótese H0 e a hipótese
formulada tende a ser rejeitada.
No exemplo em questão, o teste é bi-lateral, logo a
probabilidade de que seja tão extrema é dada por:
P( Z  2,5) ou P( Z  2.5)  0,0062  0,0062  0,0124 1,24%) 

Como tal valor-p é menor que o especificado (5%),
concluímos pela não aceitação de H0, como anteriormente.
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Testes para a média com desvio-padrão desconhecido
Testes para proporções
Testes para diferenças de médias (amostras independentes)



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Variâncias conhecidas
Variâncias desconhecidas e iguais
Variâncias desconhecidas e diferentes
Testes para diferenças de médias (amostras pareadas ou
relacionadas)
Testes para diferenças de proporções
Testes tipo qui-quadrado
Testes não-paramétricos
Análise de variância (comparações múltiplas)