Lista de Exercício – 1º Prova

Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Estatística
Lista 1 - Março de 2014
Disciplina: Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística
Liberal
Prof.: Tarciana
1. Uma moeda equilibrada é lançada duas vezes.
(a) Se o seu interesse é o número de caras, qual seria o espaço amostral?
(b) Apresente um outro espaço amostral mais detalhado.
(c) Estabeleça uma correspondência entre os elementos dos espaços amostrais apresentados.
(d) Indique as probabilidades dos elementos em cada espaço amostral.
(e) Com o espaço amostral de (a ) você poderia calcular a probabilidade de ocorrer cara no primeiro
ou coroa no segundo lançamento?
(f ) Como ficaria a resposta de (e ) utilizando o espaço amostral de (b )?
2. Um casal planeja ter três filhos. Determine os eventos:
(a) Os três são do sexo feminino.
(b) Pelo menos 1 é do sexo masculino.
(c) Os três são do mesmo sexo.
3. Uma moeda e um dado são lançados. Dê o espaço amostral do experimento.
4. Quatro universidades 1, 2, 3, 4 estão participando de um torneio de futebol. Na primeira etapa, 1 jogará
com 2 e 3 com 4. Os dois vencedores disputarão o campeonato e os dois perdedores também jogarão.
Ao final será anotada cada universidade pela ordem de ganhadores. Por exemplo, o resultado 1423
indica que a universidade 1 ficou em primeiro, a universidade 4 ficou em segundo, a universidade 2
ficou em terceiro e a universidade 3 ficou em quarto.
(a) Relacione todos os resultados do espaço amostral.
(b) Represente por A o evento em que 1 ganha o torneio. Relacione os resultados de A.
(c) Represente por B o evento em que 2 seja um dos finalistas do campeonato. Relacione os resultados
de B .
(d) Quais os resultados de A ∪ B e de B ∩ A? Quais são os resultados de A c ?.
5. Luvas cirúgicas que saem de uma linha de produção são marcadas defeituosa (D) ou não defeituosa
(N ). As luvas são inspecionadas e sua condição registrada. Isto é feito até que duas luvas defeituosas
consecutivas sejam fabricadas ou que quatro luvas tenham sido inspecionadas, aquilo que ocorra em
primeiro lugar. Descreva um espaço amostral para esse experimento.
6. Sejam A, B e C três eventos associados a um experimento. Exprima em notações de conjuntos, as
seguintes afirmações verbais:
(a) Ao menos um dos eventos ocorre.
(b) Exatamente um dos eventos ocorre.
(c) Exatamente dois dos eventos ocorrem.
(d) Não mais do que dois eventos ocorrem simultaneamente.
7. Um certo tipo de motor elétrico falha se ocorrer uma das seguintes situações: emperramento dos mancais, queima dos enrolamentos e desgaste das escovas. Suponha que o emperramento seja duas vezes
mais provável do que a queima, esta sendo quatro vezes mais provável do que o desgaste das escovas.
Qual será a probabilidade de que a falha seja devida a cada uma dessas circunstâncias?
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Departamento de Estatística
Lista 1 - Março de 2014
Disciplina: Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística
Liberal
Prof.: Tarciana
8. Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P(A) = 0.4 e P(A ∪ B ) = 0.7). seja
P(B ) = p .
(a) Para que valor de p , A e B serão mutuamente excludentes? (R:0.3)
(b) Para que valor de p , A e B serão independentes? (R:0.5)
9. Jogam-se dois dados. Desde que as faces mostrem números diferentes, qual a probabilidade que uma
face seja 4? (R: 1/3).
10. A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é de 3/4 e de seu marido é de 3/5. Calcule a
probabilidade de
(a) apenas o homem estar vivo;
(b) pelo menos um estar vivo;
(c) ambos estarem vivos.
11. Sabe-se que uma determinada moeda apresenta cara três vezes mais frequente do que coroa. Essa
moeda é jogada três vezes. Seja X o número de caras que aparece. Determine
(a) Determine a função de probabilidade de X .
(b) Determine a função de distribuição acumulada.
(c) Obtenha a esperança e a variância de X .
12. As empresas aéreas algumas vezes fazer overbook de vôos. Suponha que, para um avião de 50 lugares,
tenha sido vendidas 55 passagens. Defina a V.A. Y como o número de passageiros com passagens que
compareceram ao vôo. A função de probabilidade de Y é dada por:
y
p (y )
45
0.05
46
0.10
47
0.12
48
0.14
49
0.25
50
0.17
51
0.06
52
0.05
53
0.03
54
0.02
55
0.01
(a) Qual a probabilidade de que o vôo acomode todos os passageiros que comparecerem?
(b) Se você for a primeira pessoa da lista de espera, qual será a probabilidade de estar no vôo?
(c) Calcule a probabilidade do item anterior se você for a terceira pessoa da lista de espera.
13. Seja X = o resultado de uma dado lançado uma vez. Seja Y = 1/X o valor que você ganha na jogada. Se
oferecessem a você 1/3.5, você aceitaria a quantia garantida ou faria a aposta?
14. A função P(x ) = x /5, em que x assume os valores 0, 1, 2 e 3, define uma função de probabilidades?
Justifique.
15. A demanda de um produto hospitalar é −1, 0, 1 e 2 por dia, com probabilidades c1 ,
vamente. Uma demanda de −1 significa que uma unidade é devolvida.
1 2
,
2c c
e
3
,
2c
respecti-
(a) Qual o valor de c para que as probabilidades apresentadas acima formem uma função de probabilidade?
(b) Obtenha a função de distribuição acumulada.
(c) Obtenha a demanda esperada e a variância da demanda.
16. O número de infrações ao código de ética para as quais um profissional da saúde residente em João
Pessoa foi reincidente nos últimos três anos é uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade:
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Disciplina: Modelos de Probabilidade e Inferência Estatística
Liberal
x
p (x )
0
12k
1
5k
2
2k
Prof.: Tarciana
3
k
(a) Encontre o valor de k .
(b) Determine a média e a variância de X .
(c) Suponha que um indivíduo com X infrações reincidentes incorra em uma multa de Y = 100X 2
reais. Obtenha a distribuição de probabilidade da multa Y , a multa esperada e o desvio padrão da
multa.
17. Uma clínica de estética contratou um mestre em Modelos de Decisão e Saúde para avaliar os dados e
propor medidas que possam ser utilizadas. A clínica recebe pacientes com peso seguindo uma distribuição normal com média 130 kg e desvio padrão de 20 kg.
(a) (1.0 pont o) Caso mais de 40% dos pacientes tenha peso superior a 150 kg, a clínica deve criar
uma atividade especial aos sábados. O que o estatíco pode concluir? A atividade especial será
criada?
(b) (0.5 pont o) Para efeito de determinar o tratamento mais adequado os 25% pacientes de maior
peso são classificados como obesos. O estatístico deve determinar o peso mínimo que delimita tal
classificação.
(c) (1.0 pont o) Se 6 pacientes forem selecionados de forma independente, qual será a probabilidade
de ao menos um ter peso superior a 150 kg?
18. Suponha que o vão de uma porta do MDS em construção deve ser utilizada pôr pessoas que tem altura
normalmente distribuída com média 180 cm e desvio padrão 8 cm.
(a) Qual é a altura do vão da porta, para que 2% das pessoas que passem pôr ele abaixem-se, evitando
assim, bater com a cabeça no mesmo?
(b) Se o vão da porta for construído com 1, 85m de altura, dentre 1000 pessoas, quantas passariam
pela porta sem se curvar?
19. Estatísticas de tráfego revelam que 30% dos veículos interceptados numa auto-estrada não passam no
teste de segurança. De 4 veículos interceptados aleatoriamente, calcule a probabilidade de que não
passe no teste de segurança:
(a) Nenhum deles
(b) Todos eles
(c) Exatamente um;
(d) Pelo menos um;
(e) Exatamente 50% deles;
(f ) Se forem interceptados aleatoriamente 40 veículos, qual o número esperado de veículos que passem no teste de segurança?
20. Para avaliar um lote de transformadores o departamento de qualidade de uma clinica selecionou aleatoriamente 10 transformadores. O lote é aceito se não existir item defeituoso na amostra. Supondo
que o processo produtivo desses transformadores gera um percentual de 3% de defeituosos, responda.
Qual a probabilidade de que o lote venha a ser aceito?
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