ESTATÍSTICA APLICADA Capítulo 4 Distribuições de Probabilidade Variável Aleatória 1. Um resultado numérico de um experimento 2. Pode ser discreta ou contínua 3. Variável aleatória discreta Número contável de valores Exemplo: Número de peças defeituosas em um lote 4. Variável aleatória contínua Número infinito de valores dentro de um intervalo Exemplo: Diâmetro externo de uma peça Variáveis Aleatórias Discretas Variável Aleatória Discreta 1. 2. 3. 4. Tipo de variável aleatória Número inteiro (0, 1, 2, 3 etc.) Obtido por contagem Usualmente número finito de valores A variável aleatória de Poisson é exceção () Exemplos de Variáveis Aleatórias Discretas Experimento Fazer 100 contatos Variável Aleatória Valores Possíveis No vendas 0, 1, 2, ..., 100 Inspecionar 70 peças No defeit. 0, 1, 2, ..., 70 Responder 33 perg. No corretas 0, 1, 2, ..., 33 Contar carros no pedágio No carros 0, 1, 2, ..., Distribuição Discreta de Probabilidade 1. Lista de todos os pares possíveis [x, p(x)] x = Valor da variável aleatória (resultado) p(x) = Probabilidade associada ao valor x 2. Mutuamente exclusivos (sem interseção) 3. Coletivamente exaustivos (nada esquecido) 4. 0 p(x) 1 5. S p(x) = 1 Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidade Exemplo: Jogar 2 moedas. Contar no caras. Distribuição de Probabilidades Valores, x Probabilidades, p(x) © 1984-1994 T/Maker Co. 0 1/4 = 0,25 1 2/4 = 0,50 2 1/4 = 0,25 Visualizando Distribuições Discretas de Probabilidade Listagem Tabela No f(x) caras Cont. 0 1 2 { (0; 0,25), (1; 0,50), (2; 0,25) } p(x) 0,50 0,25 0,00 Gráfico x 1 0,25 0,50 0,25 Equação p ( x) = 0 1 2 1 p(x) 2 n! p x (1 - p) n - x x !(n - x)! Medidas 1. Valor esperado Média da distribuição de probabilidades Média ponderada de todos os valores possíveis m = E(X) = Sx p(x) 2. Variância Média ponderada dos desvios quadráticos em relação à média s2 = E[ (X - m)2 ] = S (x - m)2 p(x) Tabela para Cálculo de Medidas x p(x) Total x p(x ) Sx p(x ) x-m (x -m) 2 2 (x -m) p( x ) S(x -m) p( x ) 2 Questão Você joga 2 moedas. Você está interessado no número de caras. Qual é o valor esperado e o desvio padrão desta variável aleatória, número de caras? © 1984-1994 T/Maker Co. Solução do Valor Esperado e da Variância x p(x) x p(x ) x-m (x -m) 2 2 (x -m) p( x ) 0 0,25 0 -1,00 1,00 0,25 1 0,50 0,50 0 0 0 2 0,25 0,50 1,00 1,00 0,25 m = 1,0 s = 0,50 2 Função Distribuição de Probabilidade Discreta Função Distribuição de Probabilidade Discreta 1. Tipo de modelo 2. Representação de algum fenômeno Fórmula matemática 3. Representa variável aleatória discreta 4. Usada para obter probabilidades exatas P (X = x ) l e x x! -l = Distribuição Binomial Variável Aleatória Binomial 1. Número de ‘sucessos’ em n observações (tentativas) 2. Exemplos No caras em 15 jogadas de uma moeda No itens defeituosos em lote de 20 itens No corretas em prova com 33 questões No clientes que compram entre 10 clientes contatados Características da Distribuição Binomial 1. Seqüência de n tentativas iguais 2. Cada tentativa tem apenas 2 resultados ‘Sucesso’ (resultado desejado) ou ‘fracasso’ 3. Probabilidade de sucesso é constante em cada tentativa 4. Tentativas são independentes Função da Distribuição Binomial n x n! n- x x n- x p( x) = p (1 - p) = p (1 - p) x! (n - x)! x p(x) = Probabilidade de x ‘sucessos’ n = Número de tentativas p = Probabilidade de ‘sucesso’ x = Número de ‘sucessos’ (x = 0, 1, 2, ..., n) Características da Distribuição Binomial Média m = E ( x ) = np Desvio Padrão s = np (1 - p) Características da Distribuição Binomial Média m = E ( x ) = np P(X) .6 .4 .2 .0 s = np (1 - p) X 0 Desvio Padrão n = 5 p = 0.1 P(X) .6 .4 .2 .0 1 2 3 4 5 n = 5 p = 0.5 X 0 1 2 3 4 5 Exemplo da Distribuição Binomial Experimento: Jogar 1 moeda 5 vezes. Anote no caras. Qual é a probabilidade de 3 caras? n! p( x ) = p x (1 - p ) n- x x!( n - x )! 5! p(3) = 0,53 (1 - 0,5)5-3 3!(5 - 3)! = 0,3125 Questão Você é um vendedor contatanto clientes. Você efetuou 20 vendas nos últimos 100 contatos (p = 0,20). Se você contatar 12 clientes hoje, qual é a probabilidade de: A. B. C. D. Nenhuma venda? Exatamente 2 vendas? No máximo 2 vendas? No mínimo 2 vendas? Solução da Distribuição Binomial Usando a fórmula da Binomial: A. p(0) = 0,0687 B. p(2) = 0,2835 C. p(no max 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 0,0687 + 0,2062 + 0,2835 = 0,5584 D. p(no min 2) = p(2) + p(3)...+ p(12) = 1 - [p(0) + p(1)] = 1 - 0,0687 - 0,2062 = 0,7251