Slide 1 - GEOCITIES.ws

DISTRIBUIÇÕES DE
PROBABILIDADES DE VARIÁVEIS
ALEATÓRIAS DISCRETAS
Espaço amostral: possíveis resultados de um
experimento aleatório.
Os elementos deste conjunto podem ser numérico ou
não.
Ex: experimento 1: escolher alunos da turma e
registrar a altura
experimento 2:escolher alunos da turma e registrar
o time favorito
Muitas vezes é preciso atribuir um número real X a
todo elemento do espaço amostral.
Variável aleatória: é uma função com valores
numéricos, cujo valor é determinado por fatores de
chance. Sendo  um experimento aleatório e S o
espaço amostral associado ao experimento, a variável
aleatória associa a cada elemento s  S um número
real X.
É uma função cujo domínio é o conjunto S (espaço
amostral).
Exemplos:
a) X: número de caras obtidas no lançamento de duas
moedas
Então:  = lançamento de duas moedas
S = {cc,ck,kc,kk}, c = cara e k = coroa
X = 0 corresponde ao evento kk
X = 1 corresponde ao evento ck ou kc
X = 2 corresponde ao evento cc
b)
X: número de clientes que entram num
supermercado entre 10 h e 12 h variável aleatória
com valores: 0,1,2,3...
c) X: altura dos alunos entre 1,60 m e 1,70 m.
TIPOS: Discreta: se os possíveis valoreis de X
for finito ou numerável,
Contínua: se os possíveis valores de X for
um intervalo.
FUNÇÃO DE PROBABILIDADE
Seja X uma variável aleatória discreta. Sejam x1, x2, x3,
x4...seus possíveis valores. A cada resultado xi associa-se
um número p(xi) = P(X=xi), denominado probabilidade de
xi, tal que:
a) p(xi) ≥ 0 para todos xi
b)

 p( x )  1
i
i 1
Esta função é denominada função de probabilidade da
variável aleatória X
Exemplo: Função de probabilidade da variável número
de caras encontradas no lançamento de 3 moedas
xi
P(xi)
0
1
2
3
1/8
3/8
3/8
1/8
Número de
acidentes
Frequências
0
22
1
5
2
2
3
1
∑ = 30
Número de
acidentes
Probabilidades
0
0,73
1
0,17
2
0,07
3
0,03
∑ = 1,0
FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO
ACUMULADA
Se X for uma variável aleatória discreta, define-se
Função de Distribuição Acumulada em um ponto x como a
soma das probabilidades dos valores xi, menores ou
iguais a x. Isto é:
F ( x)   p( xi )
xi  x
VALOR ESPERADO OU MÉDIA DE UMA
VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
 ( x )   x   xi p( xi )
k
i 1
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DE
UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA
DISCRETA

2
( x)

  
  x   ( x )    x 2   (2x )
2
Exemplo 1. Lançamento de três moedas
F( 1) = 1/8 + 3/8 = 4/8
F (2) = 1/8 + 3/8 + 3/8
F (3) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8
Exemplo 2 . Em uma caixa, têm-se cinco peças boas e
quatro defeituosas. São retiradas aleatoriamente três
peças sem reposição. Façamos X a variável aleatória :
número de peças boas dentre as três peças defeituosas.
Valores de X : 0, 1, 2, 3
p(X=0) = 4/9 * 3/8 * 2/7 = 1/21
p (X = 1) = 5/14
p (X = 2) = 10/21
p (X = 3) = 5/21
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL
Trata-se de um modelo que dá a probabilidade do
número de sucessos quando são realizadas n provas do
mesmo tipo – o experimento é repetido n vezes. Cada
experimento admite dois resultados – sucesso ou
fracasso – com probabilidade p de sucesso e 1-p = q de
fracasso, constantes em cada uma das provas.
Exemplos de variáveis com distribuição binomial:
• Respostas de testes com questões do tipo V ou F
• Escolha entre um produto defeituoso ou bom
• Sexo das crianças nascidas em determinada
maternidade
• Fumantes ou não fumantes em um grupo de adultos
O cálculo da probabilidade de certo número de y
sucessos em n provas é dada por:
P(Y  y )  p q
y
n y
Medidas Características:
µ (y) = np
2(y) = npq
 n
 
 y
Distribuição binomial com n=10 e p=0,2.
Distribuição binomial com n=50 e p=0,2.
Observações importantes
1. Uma distribuição binomial fica caracterizada
pelos parâmetros n e p.
2. Se n for pequeno, os cálculos serão
relativamente fáceis. Contudo se n for grande os
cálculos serão cansativos
3. Para qualquer n, a distribuição binomial será
simétrica, se p = q = 0,5; será assimétrica a
direita se p >q, e assimétrica à esquerda , se p<q.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
A distribuição de Poisson representa um modelo
probabilístico adequado para o estudo de um
grande número de fenômenos observáveis.
Exemplos;
•
•
•
•
Chamadas telefônicas por unidade de tempo
Defeitos por unidade de área
Acidentes por unidade de tempo
Chegadas de clientes em um supermercado
A utilização da distribuição de Poisson baseia-se nas
seguintes hipóteses:
1. A probabilidade de ocorrência é a mesma em todo o
campo de observação.
2. A probabilidade de mais de uma ocorrência num
único ponto é aproximadamente zero.
3. O número de ocorrências em qualquer intervalo é
independente do número de ocorrências em outros
intervalos.
Seja X uma variável aleatória igual ao número de
ocorrências (sucessos) quando se realizam ( ou se
observam) resultados de fenômenos semelhantes aos
exemplos anteriores, X poderá assumir os valores
0,1,2,...
Ao aplicar o modelo de Poisson, o interesse poderá ser,
por exemplo, calcular a probabilidade de receber cinco
chamadas telefônicas em três minutos, em dado
aparelho: P(X = 5,3 min)
A expressão que dá a probabilidade de x sucessos em
um intervalo t (tempo, área) é:
P( x) 
e
 t
(t )
x!
x
x = número de ocorrências
 = taxa média por unidade
t = número de unidades
A média e variância da distribuição são :
µ = t
2 = t
Quando n for grande (n> 50) e np < 5, é possível obter as
probabilidades binomiais por meio do modelo de Poisson.