Distribuições Binomial e Norma

Distribuições Binomial e Norma
Capítulo 10
Prof. Marcelo Lorio
UCAM - Ipanema
Variável Aleatória
Suponhamos um espaço amostral S e que a
cada ponto amostral seja atribuído um número.
Fica, então, definida uma função chamada
variável aleatória, indicada por uma letra
maiúscula, sendo seus valores indicados por
letras minúsculas.
Exemplo de Função Variável Aleatória
Lançamento de uma moeda
Ponto Amostral
X (Número de Caras)
(𝐶𝑎 , 𝐶𝑎 )
2
(𝐶𝑎 , 𝐶𝑜 )
1
(𝐶0 , 𝐶𝑎 )
1
(𝐶𝑜 , 𝐶𝑜 )
0
Distribuição de Probabilidade
Número de acidentes diários em um
estacionamento.
Número de acidentes
Frequências
Probabilidades
0
22
22/30 = 0,73
1
5
5/30 = 0,17
2
2
2/30 = 0,07
3
1
1/30 = 0,03
= 30
= 1,00
Distribuição de probabilidade
Ponto Amostral
X (Número de Caras)
(𝐶𝑎 , 𝐶𝑎 )
2
(𝐶𝑎 , 𝐶𝑜 )
1
(𝐶0 , 𝐶𝑎 )
1
(𝐶𝑜 , 𝐶𝑜 )
0
P(X)
1/2x1/2 = 1/4
1/2x1/2= 1/4
+
1/2x1/2 = 1/4
1/2x1/2 = 1/4
2/4
Função Probabilidade
A função P ( X = 𝑥𝑖 ) determina a distribuição de
probabilidade da variável aleatória X.
Exemplo: Lançamento de um dado
X : “pontos de um dado”
X
P(X)
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6
=1
Distribuição Binomial
Características do experimento:
• Deve ser repetido, nas mesmas condições, um número finito
de vezes (n).
• As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o
resultado de uma não deve afetar os resultados das
sucessivas.
• Em cada prova deve aparecer um dos dois possíveis
resultados: sucesso e insucesso.
• No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a
probabilidade q (q = 1 – p) do insucesso manter-se-ão
constantes.
Distribuição Binomial
Resolveremos problemas do tipo:
Determinar a probabilidade de se obter k
sucessos em n tentativas.
Exemplo:
“Obtenção de caras em cinco lançamentos
sucessivos e independentes de uma moeda”.
A função probabilidade para a
distribuição binomial
f(X) = P(X=k) =
𝒏
𝒌
𝒌 𝒏−𝒌
𝒑 𝒒
• P(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes
em n provas.
• P é a probabilidade de que o evento se realize em uma só
prova – sucesso.
• Q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso
dessa prova - insucesso
•
𝒏
𝒌
=
𝒏!
𝒌! 𝒏−𝒌 !
Exercícios
1)
Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes. Calcule a
probabilidade de serem obtidas três caras nessas cinco provas.
2)
Dois times de futebol A e B, jogam entre si seis vezes. Encontre a
probabilidade de o time A ganhar quatro jogos..
3)
Um dado é jogado 7 vezes. Qual é a probabilidade de sair o número 5
quatro vezes ?
4)
Uma prova é constituída de 10 questões de múltipla escolha. com 5
alternativas para cada questão .Se um aluno “chutar” todas as respostas,
qual é a probabilidade de ele acertar 6 exercícios?
Distribuição Normal. Curva Normal
Muitas das variáveis analisadas na pesquisa
socioeconômica correspondem à distribuição
normal ou dela se aproximam.
Aspecto gráfico:
Propriedades
1. A variável aleatória X pode assumir todo e
qualquer valor real.
2. A representação gráfica da distribuição
normal é uma curva em forma de sino,
simétrica em torno da média (𝑥) que recebe
o nome de curva normal ou de Gauss.
3. A área total limitada pela curva e pelo eixo
das abscissas é igual a 1, já que essa área
corresponde à probabilidade de a variável
aleatória X assumir qualquer valor real.
Propriedades – Cont.
4) A curva normal é assintótica em relação ao
eixo das abscissas, isto é, aproxima-se
indefinidamente do eixo das abscissas sem,
contudo, alcançá-lo.
5) Como a curva é simétrica em torno de 𝑥 , a
probabilidade de ocorrer valor maior do que a
média é igual à probabilidade de ocorrer valor
menor do que a média, isto é, ambas as
probabilidades são iguais a 0,5. Escrevemos:
P(X > 𝑥) = P(X < 𝑥) = 0,5
Uma aplicação
Seja X a variável aleatória que apresenta os diâmetros dos parafusos
produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha
distribuição normal com média 𝑥 = 2cm e desvio padrão s = 0,04cm.
Qual a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor entre
2 e 2,05cm ?
Uma aplicação – cont.
Solução:
Usaremos a distribuição normal reduzida,
considerando para a variável aleatória X com 𝑥 =
2 𝑒 𝑠 = 0,04 a variável z =
𝒙−𝒙
𝒔
com distribuição
normal de média 0 e desvio padrão 1
(encontradas em tabelas)
Uma aplicação - cont
Portanto,
P(𝑥 < X < x) = P(0 < Z < z), com z=
Em nosso problema z=
2,05−2
0,04
𝑥−𝑥
𝑠
= 1,25 e assim:
P(2 < X < 2,05) = P(0 < z < 1,25) - Ver tabela
Ou seja, P(0 < z < 1,25) = 0,3944 = 39,44%
Tabela de distribuição normal reduzida
Exercícios Resolvidos
Exercícios Resolvidos
Exercícios Resolvidos
Exercícios resolvidos
Exercícios Resolvidos