Variável Aleatória - Páginas Pessoais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
Bruno Baierle
Maurício Furigo
Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora)
Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais
Variável Aleatória
Por definição uma variável aleatória pode ser entendida como
sendo uma variável quantitativa, cujo resultado depende de
fatores aleatórios.
Exemplos:
Número de coroas obtidos no lançamento de moedas;
 Número de defeitos de azulejo que sai da linha de produção;
 Tempo de resposta de um sistema computacional;
 Resistência ao desgaste de um tipo de aço, num teste padrão;

Variável Aleatória
Uma variável aleatória é uma função que associa elementos do
espaço amostral ao conjunto de números reais.
Exemplo 1. (BARBETTA, pg 117) No lançamento de 2 moedas, o
espaço amostral mais completo é Ω = {(cara, cara), (cara, coroa),
(coroa, cara), (coroa, coroa)}, enquanto que a variável aleatória
número de coroas assume valores no conjunto {0, 1, 2}.
A relação entre os dois conjuntos, é esquematizada a
seguir.
Variável Aleatória
Uma variável aleatória pode ser:
Discreta: onde os possíveis resultados estão
contidos em um conjunto finito ou enumerável.
Exemplo:
Variável Aleatória
Uma variável aleatória pode ser:
Contínua: onde os possíveis resultados abrangem
todo um intervalo de números reais.
Exemplo:
Variáveis Aleatórias Independentes
Variável aleatória independente, pode ser entendida quando o
conhecimento de uma variável não altera as distribuições de
probabilidade das demais variáveis (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑛 ).
Para variáveis aleatórias independentes:
V X + Y = V X + V(Y)
V X − Y = V X + V(Y)
Variáveis Aleatórias Independentes
Exemplo 2. (MEYER), seja X e Y a duração da vida de dois
dispositivos eletrônicos. Suponha que sua fdp conjunta seja
dada por
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆;(𝒙:𝒚) , 𝒙 ≥ 𝟎, 𝒚 ≥ 𝟎,
por fatoração temos
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆;𝒙 𝒆;𝒚 ,
desta forma a independência de X e Y fica estabelecida.
Variáveis Aleatórias Independentes
Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória discreta
bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias
independentes se, e somente se:
𝑃 𝑥𝑖 , 𝑦𝑗 = 𝑝(𝑥𝑖 )𝑞(𝑦𝑗 ) para quaisquer 𝑖 e 𝑗.
Portanto,
P 𝑋 = 𝑥𝑖 , 𝑌 = 𝑦𝑗 = 𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖 𝑃(𝑌 = 𝑦𝑗 ) para todo 𝑖 e 𝑗
Variáveis Aleatórias Independentes
Definição: seja (X, Y) uma variável aleatória contínua
bidimensional. Então X e Y serão variáveis aleatórias
independentes se, e somente se:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑕(𝑥) para todo 𝑥 e 𝑦,
onde 𝑓 é a fdp conjunta, e 𝑔 e 𝑕 são as fdp marginais
de X e Y, respectivamente.
Variável Aleatória Discreta
Variável Aleatória Discreta
Teorema 1: Se X é uma variável aleatória discreta com
distribuição de probabilidade 𝑓 𝑥 . Definindo Y = 𝑢 𝑋
a
transformação um a um entre os valores de X e Y, então a
equação 𝑦 = 𝑢 𝑥 pode ser unicamente resolvida por 𝑥 em função
de 𝑦, digamos 𝑥 = 𝑤 𝑦 .
Então a distribuição de probabilidade de Y é
𝒈 𝒚 = 𝒇 𝒘(𝒚)
Variável Aleatória Discreta
Teorema 2: Supondo que 𝑋1 e 𝑋2 são variáveis aleatórias
discretas com distribuição de probabilidade conjunta 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 ,
definindo a transformação um a um entre os pontos 𝑥1 , 𝑥2 e
𝑦1 , 𝑦2 , então as equações
𝑦1 = 𝑢1 𝑥1 , 𝑥2
e 𝑦2 = 𝑢2 𝑥1 , 𝑥2 ,
podem ser unicamente solucionadas para 𝑥1 e 𝑥2 em função de 𝑦1
e 𝑦2 .
Variável Aleatória Discreta
Onde:
𝑥1 = 𝑤1 (𝑦1 , 𝑦2 ) e 𝑥2 = 𝑤2 (𝑦1 , 𝑦2 )
Portanto a distribuição de probabilidade conjunta 𝑌1 e 𝑌2
é:
𝒈 𝒚𝟏 , 𝒚𝟐 = 𝒇,𝒘𝟏 𝒚𝟏 , 𝒚𝟐 , 𝒘𝟐 𝒚𝟏 , 𝒚𝟐 -
Variável Aleatória Discreta – Função de
Probabilidade
Se X for discreta, com valores {𝑋1 , 𝑋2 , … +, então a distribuição de probabilidade de
X, pode ser apresentada pela função de probabilidade, a qual associa a cada
valor possível 𝑋𝑖 a sua probabilidade de ocorrência 𝑝(𝑋𝑖 ).
Ou seja
𝒑 𝒙𝒊 = 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊 )
Satisfazendo:
𝑝 𝑥𝑖 ≥ 0
.
𝑝 𝑥𝑖 = 1
𝑖
Variável Aleatória Discreta – Função
de Probabilidade
Representação gráfica da distribuição de probabilidade da variável
aleatória X, a qual representa o número obtido no lançamento de
um dado comum.
Variável Aleatória Discreta – Função
de Distribuição Acumulada
Por definição:
𝑭 𝒙 =𝑷 𝑿≤𝒙 ,
∀𝒙 ∊ ℜ
Assim, para todo 𝑥 ∊ ℜ, a função de distribuição acumulada
descreve a probabilidade de ocorrer um valor até 𝒙.
Exemplo:
Variável Aleatória Discreta – Função
de Distribuição Acumulada
X = número obtido no lançamento de um dado comum.
0
1
2
𝐹 𝑥
3
4
5
1
6
6
6
6
6
𝑠𝑒 𝑥 < 1
𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 ≥ 2
𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 ≥ 3
𝑠𝑒 3 ≤ 𝑥 ≥ 4
𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5
𝑠𝑒 4 ≤ 𝑥 ≥ 5
𝑠𝑒 𝑥 ≥ 6
Variável Aleatória Discreta – Valor
Esperado e Variância
Valor esperado:
𝒌
μ=𝑬 𝑿 =
𝒙𝒋 𝒑𝒋
𝒋<𝟏
Variância:
𝒌
σ𝟐 = 𝑽 𝑿 =
(𝒙𝒋 − μ)𝟐 𝒑𝒋
𝒋<𝟏
Ou
𝑽 𝑿 = 𝑬(𝑿𝟐 ) − μ𝟐
Variável Aleatória Discreta – Valor
Esperado e Variância
Propriedades:
a) 𝐸 𝑐 = 𝑐
f) V 𝑐 = 0
b) 𝐸 𝑋 + 𝑐 = 𝐸 𝑋 + 𝑐
g)
c) 𝐸 𝑐𝑋 = 𝑐𝐸(𝑋)
d) 𝐸 𝑋 + 𝑌 = 𝐸 𝑋 + 𝐸 𝑌
e) 𝐸 𝑋 − 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝐸(𝑌)
V
𝑋+𝑐 =𝑉 𝑋
h) V 𝑐𝑋 = 𝑐 2 𝑉(𝑋)
i) DP 𝑐𝑋 = |𝑐|𝐷𝑃(𝑋)
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
A distribuição de Bernoulli tem somente 2 resultados
possíveis: sucesso e fracasso.
Onde:
𝟎≤𝒑≤𝟏
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
Função da probabilidade p(x)
X
𝑝 𝑥
0
1
1−𝑝
𝑝
total
1
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
Função acumulada F(x)
𝟎
𝑭 𝑿 = 𝟏−𝒑
𝟏
𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎
𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 ≥ 𝟏
𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟏
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
Esperança E(X)
𝑬 𝑿 =𝒑
Variância V(X)
𝐕 𝑿 = 𝒑. 𝟏 − 𝒑
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
Exemplos.
Lançamento de uma moeda:


Caso obtenha-se uma cara: sucesso
Caso obtenha-se uma coroa: fracasso
A direção que segue um veículo em bifurcação (caminho A e B):


Se segue o caminho A: sucesso
Se segue o caminho B: fracasso
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Bernoulli
Exemplo 3. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma
bola dessa urna. Seja X: nº de bolas verdes. Calcular E(X) e V(X).
Solução
X = *1 → p = 20
50
=2
5
E X = p = 𝟐 𝟓 = 𝟎, 𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬
V X = p ∙ 1 − p = 2 5 ∙ 1 − 2 5 𝟔 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟒 𝐛𝐨𝐥𝐚𝐬 𝐯𝐞𝐫𝐝𝐞𝐬 𝟐
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Considere n experimentos independentes identicamente distribuídos,
cada um com distribuição Bernoulli de parâmetro p. Se a variável de
interesse x corresponde ao número de sucessos obtidos nestes n
experimentos, então x é conhecida como uma variável aleatória
binomial de parâmetros n e p.
Onde:
n é o número de ensaios independentes;
e P (sucesso) = p, constante para todo ensaio 0 < 𝑝 < 1
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Função da probabilidade p(x)
𝒏
𝒑 𝒙 =
∙ 𝒑𝒙 ∙ (𝟏 − 𝒑)𝒏;𝒙
𝒙
x = 0,1, 2, … , n
Onde:
𝑛!
𝑛
=
𝑥
𝑛 − 𝑥 ! 𝑥!
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Função acumulada F(x)
𝒏𝒊
𝑭 𝒙 = 𝑷 𝑿 ≤ 𝒙𝒊 =
𝒇(𝒙𝒊 )
𝒊<𝟏
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Esperança E(x)
𝑬 𝑿 =𝒏∙𝒑
Variância V(X)
𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑(𝟏 − 𝒑)
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Exemplos.
 Lançar uma moeda 5 vezes e observar o número de
caras;
 Verificar o número de bits que não estão afetados por
ruídos, em um pacote com n bits;
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Representação gráfica com n = 5 e p = 0,5
E(X)=25
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Exemplo 4. (DÍAZ) Um médico aplica um teste em dez alunos de um
colégio, para detectar uma enfermidade cuja incidência sobre uma
população de crianças é de 10%. A sensibilidade do teste é de 80% e
a especificidade é de 75%. Qual a probabilidade de que 4 pessoas
apresentem um resultado positivo?
Dados:
P E = 0,1
𝑃(𝑇 : |𝐸) = 0,8
𝑃(𝑇 ; |𝐸) = 0,75
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Solução:
Pelo Teorema da Probabilidade Total
𝑃(𝑇 : ) = 𝑃(𝑇 : |𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝑇 : |𝐸) ∙ 𝑃 𝐸 = 𝑂, 8 ∙ 0,1 + 0,25 ∙ 0,9 = 0,305
seja 𝑋1 a v.a que contabiliza o número de resultados positivos ,
e chamando 𝑝1 = 𝑃(𝑇 : ), então X segue uma distribuição binomial.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Portanto
𝑛1
𝑋1 𝑛1 = 10, 𝑝1 = 0,305 ↔ 𝑃 𝑋1 = 𝑥 =
𝑝1 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛1 ;𝑥
𝑥
Logo a probabilidade de que o resultado do teste dê positivo para 4
pessoas é de:
𝑃(𝑋1 = 4) =
10
0,3054 ∙ 0,6956 = 0,2048 ≡ 𝟐𝟎, 𝟒𝟖%
4
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Exemplo 5. (WALPOLE) A probabilidade de que um paciente se
recupere de uma doença sanguínea rara é de 0,4. Se 15 pessoas
contraíram essa doença, calcule:
a) A probabilidade de que pelo menos 10 pessoas sobrevivam.
b) A probabilidade de que 3 a 8 pessoas sobrevivam.
c) A probabilidade de que exatamente 5 pessoas sobrevivam.
d) A esperança.
e) A variância.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão
a)
P X ≥ 10 = P X = 10 + P X = 11 + ⋯ + P X = 15
Onde:
𝑛
𝑝 𝑥 =
∙ 𝑝 𝑥 ∙ (1 − 𝑝)𝑛;𝑥
𝑥
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Portanto
P x = 10 →
15
∙ 0,410 ∙ (0,6)5 = 0,0245
10
P x = 11 →
15
∙ 0,411 ∙ (0,6)4 = 7,42X10;3
11
P x = 12 →
15
∙ 0,412 ∙ (0,6)3 = 1,65X10;3
12
P x = 13 →
15
∙ 0,413 ∙ (0,6)2 = 2,54X10;3
13
P x = 14 →
15
∙ 0,414 ∙ (0,6)1 = 2,42X10;5
14
P x = 15 →
15
∙ 0,415 ∙ (0,6)0 = 1,07X10;6
15
𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟎𝟑𝟔𝟏 ≡ 𝟑, 𝟔𝟏%
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão
b)
𝑃 3 ≤ 𝑋 ≤ 8 = 𝑃(𝑋 ≤ 8) − 𝑃(𝑋 ≤ 3) →
P X = 8 + P X = 7 + ⋯+ P X = 3 + P X = 2 + P X = 1
+P X = 0 − ,P X = 3 + P X = 2 + P X = 1 + P X = 0 -
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Portanto
𝑃 3≤𝑋 ≤8 =P X=8 +P X=7 +𝑃 𝑋 =6 +𝑃 𝑋 =5 +𝑃 𝑋 =4
Onde:
P x=8 →
15
∙ 0,48 ∙ (0,6)7 = 0,12
8
P x=7 →
15
∙ 0,47 ∙ (0,6)8 = 0,18
7
P x=6 →
15
∙ 0,46 ∙ (0,6)9 = 0,21
6
P x=5 →
15
∙ 0,45 ∙ (0,6)10 = 0,19
5
P x=4 →
15
∙ 0,44 ∙ (0,6)11 = 0,13
4
𝐩 𝐱 = 𝟎, 𝟖𝟑 ≡ 𝟖𝟑%
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
Solução: seja X o número de pessoas que sobreviverão
c)
p x =P X=5 →
15
0,45 ∙ 0,610 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟔 ≡ 𝟏𝟖, 𝟔%
5
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Binomial
d)
𝐸 𝑋 = 𝑛 ∙ 𝑝 → 15 ∙ 0,4 = 𝟔 pessoas
e)
𝑉 𝑋 = 𝑛. 𝑝 1 − 𝑝 → 15 ∙ 0,4 1 − 0,4 = 𝟑, 𝟔 𝐩𝐞𝐬𝐬𝐨𝐚𝐬 𝟐
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
A distribuição hipergeométrica não necessita de independência e
se baseia na amostragem feita sem reposição.
O número X de sucessos de um experimento hipergeométrico é
chamado de variável aleatória hipergeométrica.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
A distribuição de probabilidade de uma variável hipergeométrica é
chamada de distribuição hipergeométrica, onde seus valores são
denotados por (x, N, n, r).
Onde:
N: O número de itens na população.
r: O número de itens na população que são classificados como sucessos.
n: O número de itens na amostra.
X: O número de itens na amostra que são classificados como sucesso.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Função da probabilidade p(x)
𝒓
𝑵−𝒓
∙
𝒙
𝒏−𝒙
𝒑 𝒙 =
𝑵
𝒏
,𝑥 = 0,1, … , min 𝑟, 𝑛 -
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Função acumulada F(x)
𝒙
𝑭 𝒙 =
𝒊<𝟎
𝒓
𝒙
𝑵−𝒓
𝒏−𝒙
𝑵
𝒏
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Esperança E(x)
𝑬 𝑿 =𝒏∙𝒑
Variância V(X)
𝑵−𝒏
𝑽 𝑿 = 𝒏 ∙ 𝒑 ∙ (𝟏 − 𝒑) ∙
𝑵−𝟏
Onde:
𝒑=
𝒓
𝑵
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Exemplo 6. (BARBETTA, pg 133) Placas de vidro são expedidas em lotes
de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe
aleatoriamente 5 placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas
for defeituosa, o lote é aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo
lote é inspecionado. Supondo que haja 3 placas defeituosas no lote:
a) Qual é a probabilidade de que o controle da qualidade aponte para a
inspeção total?
b) Encontre a esperança e variância.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Solução: Seja X o número de placas defeituosas na amostra.
𝑃 𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃(𝑋 = 0),
então:
a)
p X =p 0 →
3 30;3
∙
0
5;0
30
5
=
80,730
142,506
= 𝟎, 𝟓𝟔𝟔𝟓
Logo, P X ≥ 1 = 1 − 0,5665 = 𝟎, 𝟒𝟑𝟑𝟓 ≡ 𝟒𝟑, 𝟑𝟓%
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
b)
E X = n ∙ p → 5 ∙ 0,1 = 𝟎, 𝟓 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬
N;n
V X = n ∙ p ∙ 1 − p ∙ N;1 → 5 ∙ 0,1 ∙ 0,9 ∙ 0,86 𝟎, 𝟑𝟗 𝐩𝐥𝐚𝐜𝐚𝐬 𝐝𝐞 𝐯í𝐝𝐞𝐨𝐬 𝟐
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Exemplo 7. No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários
de 20 pacientes, que deram entrada no PS apresentando algum problema
cardíaco. Destes 5 sofreram infarto. Retirando‐se uma amostra ao acaso
de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam de
pacientes que sofreram infarto?
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição Hipergeométrica
Solução:
N = 20; r = 5; n = 3; x = 2
20 − 5
5
∙
150
3
−
2
2
p X =
=
= 𝟎, 𝟏𝟑𝟏 ≡ 𝟏𝟑, 𝟏%
20
1140
3
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Propriedades
1- O número de resultados que ocorrem em um intervalo de tempo
ou em uma região específica é independente do número de
resultados que ocorre em outro intervalo de tempo disjunto ou
região do espaço disjunta – Processo de Poisson não tem
memória.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Propriedades
2- A probabilidade de que um único resultado ocorrerá durante
um breve intervalo de tempo ou em uma região pequena é
proporcional à extensão do intervalo de tempo ou ao tamanho
da região, e não depende do número de resultados que ocorrem
fora desse intervalo de tempo ou dessa região.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Propriedades
3- A probabilidade de que mais de um resultado ocorrerá em um
intervalo de tempo muito breve ou em uma região muito pequena é
desprezível.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é empregada quando se está
interessado no número de sucessos ocorridos durante um
intervalo contínuo (tempo, espaço, etc...). Exemplos:
 Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante
certa hora do dia;
 O número de suicídios ocorridos em uma cidade durante um
ano;
 Número de chegadas a um caixa automático de um banco
durante um período de 15 minutos.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Uma variável aleatória X admite distribuição de Poisson se:
1. X = 0, 1, 2, … (não tem limites)
e−λ λ
x!
x
2. P X = x =
3. E X = μ = λ
4. V X = σ2 = λ
, x = 0, 1, 2, … n.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson – Uma justificativa
X= número de ocorrência em [t, t+1]
n = intervalos de amplitude 1/n
p = probabilidade de ocorrência em cada intervalo
𝑷 𝑿=𝒙 ≈
𝒏
∙ 𝒑𝒙 ∙ 𝟏 − 𝒑
𝒙
𝒏;𝒙
𝒏→∞
𝒑→𝟎
𝒏 𝒑 → λ >0
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Função da probabilidade p(x)
𝒆;λ λ𝒙
𝒑 𝒙 =
𝒙!
𝑥 = 0, 1, 2 …
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Função acumulada F(x)
𝒙
𝑭 𝒙 =
𝒊<𝟎
λ𝒊 𝒆λ
𝒊!
para x = 0,1,2 …
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Esperança E(x)
𝑬 X =λ
Variância V(X)
𝑽 X =λ
Onde:
𝑬 X =𝑽 X =λ
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Exemplo 8. (BARBETTA, pg. 135) Supondo que as consultas em
um banco de dados ocorrem de forma independentes e aleatórias,
com uma taxa média de 3 consultas por minuto. Calcule a
probabilidade de que no próximo minuto ocorram menos do que 3
consultas.
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição de Poisson
Solução: Seja X o número de consultas por minuto.
p x = P X < 3 = p 0 + p 1 + p(2) →
𝑒 ;3 30 𝑒 ;3 31 𝑒 ;3 32
+
+
= 𝟎, 𝟒𝟐𝟑𝟐 ≡ 𝟒𝟐, 𝟑𝟐%
0!
1!
2!
Variável Aleatória Contínua
Variável Aleatória Contínua
Teorema 1: Suponha que X é uma variável aleatória contínua, com
distribuição de probabilidade 𝑓 𝑥 . Definindo 𝑌 = 𝑢 𝑥
a
correspondência um a um entre os valores de X e Y, desse modo a
equação 𝑦 = 𝑢 𝑥 pode ser unicamente resolvida para 𝑥 em
função de 𝑦, ou seja, 𝑥 = 𝑤 𝑦 .
Portanto a distribuição de probabilidade de Y é
𝒈 𝒚 = 𝒇 𝒘(𝒚) |𝑱|
Onde 𝐽 = 𝑤` 𝑦 e é chamado de jacobiano da transformação.
Variável Aleatória Contínua
Teorema 2: Seja 𝑋1 e 𝑋2 variáveis aleatórias contínuas, com distribuição
de probabilidade conjunta 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 . Considerando 𝑌1 = 𝑢1 𝑋1 , 𝑋2 e
𝑌2 = 𝑢2 (𝑋1 , 𝑋2 ) uma transformação um a um entre os pontos 𝑥1 , 𝑥2 e
𝑦1 , 𝑦2 . Então a equação 𝑦1 = 𝑢1 𝑥1 , 𝑥2 e 𝑦2 = 𝑢2 (𝑥1 , 𝑥2 ) pode ser
unicamente resolvida para 𝑥1 e 𝑥2 em função de 𝑦1 e 𝑦2 .
Onde 𝑥1 = 𝑤1 (𝑦1 , 𝑦2 ) e 𝑥2 = 𝑤2 (𝑦1 , 𝑦2 )
Portanto a distribuição de probabilidade conjunta de 𝑌1 e 𝑌2 é
𝒈 = 𝒚𝟏 , 𝒚𝟐 = 𝒇 𝒘𝟏 𝒚𝟏 , 𝒚𝟐 , 𝒘𝟐 (𝒚𝟏 , 𝒚𝟐 𝑱
Sendo 𝐽 o determinante 2x2
Variável Aleatória Contínua – Função
Densidade de Probabilidade
As probabilidades de eventos associados a uma variável aleatória contínua X
podem ser calculados pela função de densidade de probabilidade (f), que se
define como uma função 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 integrável que deve satisfazer duas
propriedades.
a) 𝒇 𝒙 ≥ 𝟎,
b)
:∞
𝒇
;∞
∀𝒙 ∈ ℜ
𝒙 𝒅𝒙 = 𝟏
Se A = [a, b], então
𝐏 𝐀 =
𝒃
𝒇
𝒂
𝒙 𝒅𝒙
Variável Aleatória Contínua – Função
Densidade de Probabilidade
Onde
Variável Aleatória Contínua – Função
Densidade de Probabilidade
Exemplo 9. (BARBETTA, pg 144) Seja a variável aleatória T
definida como o tempo de resposta na consulta a um banco de
dados, em minutos. Suponha que essa variável aleatória tenha a
seguinte função densidade de probabilidade:
2𝑒 ;2𝑡 , para t ≥ 0
𝑓 𝑡 =
0,
para t < 0
Calcule a probabilidade de a resposta demorar mais do que 3
minutos P(T > 3)
Variável Aleatória Contínua – Função
Densidade de Probabilidade
Solução
:∞
𝑃 𝑇>3 =
:∞
2𝑒 ;2𝑡 𝑑𝑡 →
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
3
1 ;2𝑡
2 − 𝑒
2
3
:∞
= 0 + 𝑒 ;2
3
3
= 𝒆;𝟔
Variável Aleatória Contínua – Função
de Distribuição Acumulada
Por definição
𝒙
𝐹 𝒙 =𝑷 𝑿≤𝒙 =
𝒇 𝒔 𝒅𝒔,
;∞
∀𝒙 ∈ ℜ
Variável Aleatória Contínua – Função
de Distribuição Acumulada
Exemplo 10. (BARBETTA, pg 144) Considere a função de
densidade de probabilidade do exemplo 9:
2𝑒 ;2𝑡 , para t ≥ 0
𝑓 𝑡 =
0,
para t < 0
Solução: como a expressão matemática se altera no ponto zero,
deve-se então considerar os dois seguintes casos:
Variável Aleatória Contínua – Função
de Distribuição Acumulada
Para t < 0,
F 𝑡 =
𝑡
𝑓
;∞
𝑠 𝑑𝑠 =
𝑡
0𝑑𝑠
;∞
=0
Para t ≥ 0,
F 𝑡 =
𝑡
𝑓
;∞
𝑠 𝑑𝑠 =
𝑡
0𝑑𝑠
;∞
= 0 + −𝑒 ;2𝑠
𝑡
0
= 1 −𝑒 ;2𝑡
Dessa forma a função da distribuição acumulada da variável
aleatória T é dada por:
𝟏 − 𝒆;𝟐𝒕 ,
𝑭 𝒕 =
𝟎,
𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐭 ≥ 𝟎
𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐭 < 𝟎
Variável Aleatória Contínua – Valor
esperado e Variância
Valor esperado:
:∞
μ=𝑬 𝑿 =
𝒙𝒇 𝒙 𝒅𝒙
;∞
Variância:
σ𝟐 =𝑽 𝑿 =
:∞
(𝒙
;∞
− μ)𝟐 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
ou
𝑽 𝑿 = 𝑬(𝑿 ) − μ
𝟐
𝟐
Onde
𝟐
𝑬(𝑿 ) =
:∞ 𝟐
𝒙 𝒇
;∞
𝒙 𝒅𝒙
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição uniforme
Essa distribuição é caracterizada por uma função de
densidade que é “plana” e, portanto, a probabilidade é
uniforme em um intervalo fechado.
exemplo:
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição uniforme
Função de densidade de probabilidade f(x)
𝟏
,
𝒇 𝒙 = 𝜷−𝜶
𝟎,
𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 ∈ ,𝛂, 𝛃𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐱 ∉ ,𝛂, 𝛃-
Modelos de Distribuição Discreta
Distribuição uniforme
Função de densidade de probabilidade f(x)
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição uniforme
Função de distribuição acumulada F(x)
𝟎,
𝒙−𝜶
𝑭 𝒙 =
𝜷−𝜶
𝟏
𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒙 < 𝜶
𝐩𝐚𝐫𝐚 𝛂 ≤ 𝒙 < 𝜷
𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒙 ≥ 𝜷
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição uniforme
Função de distribuição acumulada F(x)
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição uniforme
Esperança E(x)
𝜶+𝜷
𝑬 𝑿 =
𝟐
Variância V(X)
𝑽 𝑿 =
(𝜷;𝜶)𝟐
𝟏𝟐
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição uniforme
Exemplo 11. ( WALPOLE) Uma grande sala de conferências
usada por certa empresa não pode ficar reservada por mais do que
4 hora. No entanto o uso da sala é tal que conferências longas e
curtas ocorrem com muita frequência, então pode-se assumir que
a duração X de uma conferência tem distribuição uniforme no
intervalo [0,4].
a) Qual é a função de densidade de probabilidade?
b) Qual é a esperança e a variância?
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição uniforme
Solução:
1
4
0≤x≥4
a)
f x =
b)
E X = μ = 𝟐 𝐜𝐨𝐧𝐟𝐞𝐫ê𝐧𝐜𝐢𝐚𝐬
0, caso contrário
V X = 𝜎2 =
16
12
𝟒
𝟑
= 𝐜𝐨𝐧𝐟𝐞𝐫ê𝐧𝐜𝐢𝐚𝐬 𝟐
𝐷𝑃 𝑋 = 𝟏, 𝟏𝟓 conferências
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição exponencial
A distribuição exponencial descreve processos em que:
 Interessa saber o tempo até que ocorra determinado evento.
 O tempo que possa ocorrer desde qualquer instante dado t, até
que isso ocorra em um instante 𝑡𝑓 , não depende do tempo
transcorrido anteriormente no qual não ocorreu nada.
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição exponencial
Exemplos:
 O tempo que pode transcorrer em um serviço de urgências,
para a chegada de um paciente;
 O tempo (em minutos) até a próxima consulta a uma base de
dados;
 O tempo (em segundos) entre pedidos a um servidor;
 O tempo (em metros) entre defeitos de uma fita.
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição exponencial
Função de densidade de probabilidade f(t)
𝒅
𝒇 𝒕 = 𝑭 𝒕 = λ𝒆;λ𝒕 ,
𝒅𝒕
𝐭>𝟎
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição exponencial
Representação gráfica da função de densidade de probabilidade
de uma variável aleatória com distribuição exponencial.
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição exponencial
Função de distribuição acumulada F(t)
𝑭 𝒕 = 𝑷 𝑻 ≤ 𝒕 = 𝟏 − 𝒆−λ𝒕
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição exponencial
Esperança E(T)
𝟏
𝑬 𝑻 =
λ
Variância V(T)
𝑽 𝑻 =
𝟏
λ𝟐
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição exponencial
Exemplo 12. (BARBETTA, pg 152) O tempo de vida (em horas) de
um transistor é uma variável aleatória T com distribuição
exponencial. O tempo médio de vida do transistor é de 500 horas.
a) Encontre a esperança e variância.
b) Calcule a probabilidade de o transistor durar mais do que 500
horas.
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição exponencial
a)
1
E T = 𝜇 → 500 = = 𝟐𝐗𝟏𝟎;𝟑 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬
λ
V T =
𝜎2
→ 500 =
1
λ2
= 𝟎, 𝟎𝟒𝟒𝟕 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬 𝟐
DP T = 𝟎, 𝟐𝟏𝟏 𝐡𝐨𝐫𝐚𝐬
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição exponencial
Solução
b)
P T > 500 = 1 − P T ≤ 500 →
F 500 = 1 − 𝑒 ;1 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟐 ≡ 𝟔𝟑, 𝟐%
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal
Uma distribuição normal é caracterizada por uma função de
probabilidade cujo gráfico descreve uma curva em forma de sino.
Essa forma de distribuição evidencia que há maior probabilidade
de a variável aleatória assumir valores próximos do centro.
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal
Função de densidade de probabilidade f(x)
𝒇 𝒙 =
𝟏
𝝈 𝟐𝝅
∙
𝟏 𝒙;𝝁 𝟐
;
𝒆 𝟐 𝝈 ,
∀ 𝑥 𝜖 𝐼ℜ
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal
Representação gráfica da função de densidade de probabilidade
normal e indicação dos parâmetros 𝜇 e 𝜎.
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal
Função de distribuição acumulada F(x)
𝒙𝒊
𝑭 𝒙 =𝑷 𝑿≤𝒙 =
𝒇 𝒕 𝒅𝒕
;∞
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal
Esperança E(X)
𝑬 𝑿 =𝝁
Variância V(X)
𝑽 𝑿 = 𝝈𝟐
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal
Diferentes distribuições normais em função dos parâmetros 𝜇 e 𝜎.
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal Padrão
Distribuição de X:
Normal com 𝜇 = 170 e 𝜎 = 10
Distribuição normal de z:
normal padrão
Modelos de Distribuição Contínua
Tabela de distribuição normal padrão
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal
Exemplo 13. (BARBETTA, pg 156) Seja Z uma variável
aleatória com distribuição normal padrão. Pela tabela
de distribuição normal padrão, encontre a probabilidade
de 𝑃 −0,42 < 𝑍 < 0,42 .
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal Padrão
Solução
Então,
𝑃 −0,42 < 𝑍 < 0,42 = 1 − 2 ∙ 0,3372 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟓𝟔 ≡ 𝟑𝟐, 𝟓𝟔%
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal
Exemplo 14. (BARBETTA, pg 159) Suponha que o tempo de
resposta na execução de um algoritmo é uma variável aleatória
com distribuição normal de média 23 segundos e desvio padrão de
4 segundos. Calcule a probabilidade de o tempo de resposta ser
menor do que 25 segundos.
Modelos de Distribuição Contínua
Distribuição Normal
Solução
𝑥−𝜇
25 − 32
𝑍=
→ 𝑍=
= 0,5
𝜎
4
P ≤ 25 = P Z ≤ 0,5 → 1 − 0,3085 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟏𝟓 ≡ 𝟕𝟎%
Modelos de Distribuição Contínua
Aproximação normal à binomial
Uma variável aleatória discreta com distribuição
binomial, pode aproximar-se de uma distribuição
normal, se:
 n é suficientemente grande;
 p não está muito próximo nem a 0 e nem a 1.
Modelos de Distribuição Contínua
Aproximação normal à binomial
Os parâmetros da distribuição normal devem-se
identificar ao valor esperado e ao desvio padrão do
modelo binomial.
𝝁 = 𝒏𝒑
𝝈 𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑
Modelos de Distribuição Contínua
Aproximação normal à binomial
Modelos de Distribuição Contínua
Aproximação normal à binomial
Exemplo 15. (BARBETTA, pg 160) Historicamente,
10% dos pisos cerâmicos, que saem de uma linha de
produção, têm algum defeito leve. Se a produção diária
é de 1000 unidades, qual é a probabilidade de ocorrer
mais de 120 itens defeituosos?
Modelos de Distribuição Contínua
Verificando os parâmetros 𝜇 e 𝜎
𝜇 = 1000 ∙ 0,1 = 100
𝜎=
1000 ∙ (0,1) ∙ (0,9) = 90
Considerando então X uma variável aleatória normal com média 𝜇
= 100 e variância 𝜎 2 = 90.
Logo
𝑧=
120;100
90
= 2,11
Assim, P 𝑋 > 120 = 𝑃 𝑍 > 2,11 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟕𝟒 ≡ 𝟏, 𝟕𝟒%
Modelos de Distribuição Contínua
Exemplo 16. Qual é a probabilidade de mais de 6 caras em 10
lançamentos de uma moeda “honesta”?
Pela binomial
𝐩 𝒙 =
𝟏𝟎
∙ (𝟎, 𝟓)𝒙 ∙ (𝟎, 𝟓)𝟏𝟎;𝒙
𝒙
P X > 6 = p 7 + p 8 + p 9 + p 10 = 𝟎, 𝟏𝟕𝟐 ≡ 𝟏𝟕, 𝟐%
Modelos de Distribuição Contínua
Aproximação normal à binomial
Exemplo 16. Pela normal
Modelos de Distribuição Contínua
Aproximação normal à Poisson
A aproximação de Poisson se aproxima da normal quando λ é
grande, como o valor esperado e a variância de uma Poisson são
ambos iguais a λ, então, na aproximação normal:
𝝁=λ
𝝈= λ
Modelos de Distribuição Contínua
Aproximação normal à Poisson
λ=1
λ=5
Distribuição de Poisson para diferentes valores de λ
λ=20
Modelos de Distribuição Contínua
Gráfico de probabilidade normal
O gráfico de probabilidade normal é adequado para
verificar a suposição de um modelo normal para
determinados dados.
Modelos de Distribuição Contínua
Gráfico de probabilidade normal
Exemplo 18. (BARBETTA, pg 165) Considerando 5 observações (74,0;
74,4; 74,7; 74,8; 75,9)
Então:
Modelos de Distribuição Contínua
Gráfico de probabilidade normal
Exemplo 19. (BARBETTA, pg 166) Gráfico com 40 observações, com
distribuição normal
Modelos de Distribuição Contínua
Gráfico de probabilidade normal
Exemplo 20. (BARBETTA, pg 166) Gráfico com 40 observações, com
distribuição normal, mas com o efeito de um valor discrepante.
Referências
BARBETTA, P. A. REIS, M. M. BORNIA, A. C. Estatística para Cursos de
Engenharia e Informática. 3ª Edição. Atlas S.A. São Paulo - SP, 2010.
COLCHER, Sérgio. Algumas Distribuições Discretas. Disponível em:
<http://www.inf.pucrio.br/~inf2511/inf2511_files/menu/material/transparencias/0
7-Distribuicoes.pdf>. Acesso em: 17 de Outubro de 2013.
DÍAZ, F. R. LÓPEZ, F. J. B. Bioestatística. Thonson. São Paulo – SP, 2007.
MEYER, P. L. Probabilidade: Aplicação à estatística. 2ª Edição. LTC. Rio de
Janeiro – RJ, 2012.
WALPOLE, R. E. et. al. Probabilidade e Estatística para Engenharia e
Ciências. 8ª Edição. Pearson. São Paulo – SP, 2009.