Apresentação do PowerPoint

Análise Combinatória
Slides
Fatorial
Princípio fundamental da contagem
Permutação simples
Permutação com repetição
Arranjos simples
Combinações simples
Números binomiais
Xadrez - www.ser.com.br
Triângulo de Pascal
Binômio de Newton
1
Fatorial
Chama-se fatorial de n ou n fatorial o número n!, tal que:
-
Para
Para
Para
Para
Para
Para
n=0:
n=1:
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
0!=1
1!=1
2!=21=2
3!=321=6
4!=4321=24
5!=54321=120
Generalizando:
n! = n  (n-1)  (n-2)  (n-3)  ...  2  1, sendo n pertencente ao
conjunto dos números naturais {0, 1, 2, 3 ...}.
2
Princípio fundamental da contagem ou princípio
da multiplicação
Acompanhe o raciocínio da resolução do
problema a seguir:
Uma pessoa vai a um restaurante e na
promoção ela deve montar a sua refeição
escolhendo uma entrada, um prato
principal e uma sobremesa.
No cardápio constam 3 tipos de entradas,
5 tipos de pratos quentes e 4 tipos de
sobremesa. De quantas formas diferentes
essa pessoa pode montar a sua refeição?
A quantidade de refeições é obtida
multiplicando-se todas as
possibilidades. Sendo assim:
3  5  4 = 60 refeições
bife
bolo
salada
massa
fruta
sopa
torta
mousse
patês
frango
pudim
peixe
3 possibilidades
5 possibilidades
4 possibilidades
3
Permutação simples
Permutar é o mesmo que trocar. Nos problemas de permutação simples, a
ideia que fica é de trocar ou embaralhar as posições de todos os elementos.
Observe os exemplos:
1) Quantos números de 3 algarismos
distintos podemos formar utilizando os
algarismos 3, 5 e 7?
Note o uso da palavra “distintos”, ou
seja, sem repetir o mesmo algarismo.
As possibilidades são:
357, 375, 537, 573, 735 e 753.
Utilizando o princípio fundamental
da contagem, temos:
3  2  1 = 6 possibilidades
Podemos representar também em um
“diagrama de árvore”:
3
5
7
3 possibilidades
5
7
7
5
3
7
7
3
3
5
5
3
2 possibilidades
1 possibilidade
4
z
a
Permutação simples
2) Quantos anagramas existem da
palavra azul?
Anagramas são todas as palavras
formadas, com ou sem sentido,
pelas letras da palavra dada,
embaralhando a sua ordem.
A maneira mais fácil de construir
todas as possibilidades é pelo
“diagrama de árvores”. Observe:
l
a
z
u
l
a
u
z
l
Utilizando o princípio fundamental
da contagem, temos:
4  3  2  1 = 24 possibilidades
Concluímos que para n termos a
expressão ficaria:
Pn = n  (n – 1)  (n – 2)  ...  2  1 = n!
u
a
l
z
u
u
l
z
l
z
u
l
u
l
z
u
z
u
l
a
l
a
u
l
u
l
a
u
a
z
l
a
l
a
z
l
z
l
a
z
a
u
z
a
u
a
z
z
u
u
a
z
a
5
Permutação com repetição
É a permutação onde aparecem elementos repetidos. Se
trocarmos a ordem destes, não aparecerá mudanças na posição.
Exemplo: Os anagramas da palavra “matemática”.
Ao mudar as letras “m” com outra “m” aparentemente não houve
mudança. O mesmo com as letras “a” ou “t” .
Assim, seguimos o raciocínio:
Pn
10!
10  9  8  7  6  5  4  3!


 151200
P1  P2  P3 2! 3! 2!
2  3! 2
Onde Pn é a permutação das dez letras da palavra matemática,
P1 é o número de letras “m” que são repetidas, P2 é o número de
letras “a” repetidas e P3 é o número de letras “t” repetidas.
Generalizando:
,,
n
P
n!

 ! !  !
6
Arranjo simples
Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual
a ordem destes importa. Assim temos a relação:
A n,p
n!

(n  p)!
np
Exemplo: Com as letras da palavra “república”, quantas palavras,
com ou sem sentido, podemos formar utilizando 5 destas letras?
1º modo de resolver:
9
8

a 1a casa
como foi usado um
pode ter
termo na primeira
nove termos casa, sobraram oito
para escolher na
segunda casa
2º modo de resolver: A 9,5

7
6

dois termos
foram usados
foram usados,
3 termos dos
restando sete
nove, restando
para escolher
seis para esta
um para esta casa casa
9!
9  8  7  6  5  4!


 15120
(9  5)!
4!

5
 15120
quatro termos
usados. Restaram
cinco nesta casa
para selecionar
7
Combinações simples
Ocorre quando de n elementos desejamos pegar p, no qual
a ordem destes não importa. Assim temos a relação:
n
n!
   Cn,p 
p!(n  p)!
p
np
Exemplo: Em uma empresa com nove funcionários, cinco serão
chamados para uma reunião. De quantas formas diferentes poderá
ser formado o grupo para a reunião?
9
9!
9  8  7  6  5! 9  8  7  6


 126
   C9,5 
5!(9  5)!
5!4!
4  3  2 1
5
8
Números binomiais
Chama-se número binomial o número
n
 
p
com n
p
tal que,
n
n!
 
 p  p!(n  p)!
(n é o numerador e p é a classe do número binomial).
x5

9 9

ou
Números binomiais iguais: Se,      então: 
x  5  9  x  4
5  x

9
Triângulo de Pascal
É uma forma de dispor números binomiais. Observe a sequência:
0
 
0
 1   1
  
 0   1
 2 2 2
   
 0   1  2 
3333
    
 0   1  2   3 
ou
 4 4 4 4 4
     
 0  1 2 3  4
... ... ... ... ...
nnnn
n
        ...  
 0   1  2   3 
n
...
1
1 1
1
1 1
1 2 1
1 +2 1
1 3
3 1
1 4
6
onde
4 1
1 3
3 1
1 4
6+4 1
1 5 10 10 5 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 6 15 20 15 6 1
De modo geral:
 n  1  n  1  n 


 
 p  1  p   p 
10
Triângulo de Pascal
Observe a soma dos elementos de uma mesma linha no triângulo de Pascal:
0
0

1

2
 
0
 1   1
1


1

1

2

2
   
 0   1
 2  2  2
2



1

2

1

4

2
     
 0   1  2 
3 3 3 3
3




1

3

3

1

8

2
       
 0   1  2   3 
 4  4  4  4  4
4





1

4

6

4

1

16

2
         
 0   1  2  3   4
De modo geral, temos:
n n n n n
n
n

               ...     2
p 0  p 
 0   1  2   3 
n
p n
11
Triângulo de Pascal
0
 
0
 1   1
  
 0   1
Outras propriedades:
 p   p  1  p  2 
 


p  p   p 
+
 2 2 2
   
 0   1  2 
+
3333
    
 0   1  2   3 
 4 4 4 4 4
     
 0  1 2 3  4
... ... ... ... ...
nnnn
n
        ...  
 0   1  2   3 
n
 n   n  1
  

 p   p  1
1
1 1
+
1 2 1
+
...
1 3
3 1
1 4
6
4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
12
Triângulo de Pascal
0
 
0
 1   1
  
 0   1
Outras propriedades:
+
 n   n  1  n  2 
 


0  1   2 
 2 2 2
   
 0   1  2 
+
3333
    
 0   1  2   3 
 4 4 4 4 4
     
 0  1 2 3  4
... ... ... ... ...
nnnn
n
        ...  
 0   1  2   3 
n
 n  p   n  p  1



p
p

 

1
1 1
+
1 2 1
...
+
1 3
3 1
1 4
6
4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
13
Binômio de Newton
Toda potência da forma (x+y)n, sendo n um número natural, é conhecido como
binômio de Newton. Abaixo temos alguns casos comuns.
x  y  1
1
x  y  x  y
2
 x  y   x 2  2xy  y 2
3
 x  y   x3  3x 2 y  3xy 2  y 3
0
(x  y)4  x 4  4x 3 y  6x 2 y 2  4xy 3  y 4
Para desenvolver estes binômios, podemos generalizar como segue:
x  y
n
 n  n0 0  n  n1 1  n  n2 2
  x y  x y  x y 
0
1
 2
Exemplo:
5
5
(2x  3y 2 )5     2x  3y 2
0


0
5
4
    2x  3y 2
 1


1
5
3
    2x  3y 2
 2

 n  2 n2  n  1 n1  n  0 n

x y 
x y  x y
n  2
 n  1
 n

2
5
2
    2x  3y 2
3


3
5
1
    2x  3y 2
 4


4
5
0
    2x  3y 2
5


5
(2x  3y 2 )5  32x 5  240x 4 y 2  720x 3 y 4  1080x 2 y 6  810xy 8  243y10
14
Binômio de Newton
Termo geral do binômio de Newton é o desenvolvimento de
apenas um dos termos de todo o desenvolvimento. Assim...
...para (x  y)n , o desenvolvimento de apenas um dos
termos pode ser feito pelo termo geral a seguir...
 n  n p p
Tp1=   x y
p
15
• Em um país existem 8 deputados e 5 senadores de
um partido político. Este partido precisa escolher
uma equipe com 3 pessoas dentre os senadores e
deputados deste partido político para representar o
partido em um viagem internacional. O número de
maneiras de se formar essa equipe de modo que a
mesma não tenha mais do que dois senadores é
igual a:
16
17