BINÔMIO DE NEWTON PROFESSOR: keyson Gondim Binômio de Newton Binômio de Newton Isaac Newton nasceu na pequena cidade inglesa de Lincolnshire em 4 de janeiro de 1643 e morreu em 31 de março de 1727. Ele foi um menino rebelde, mas você também seria se sua mãe o abandonasse em um colégio interno que ensinava gramática na maior parte do tempo... Essa não era a disciplina preferida do jovem Newton, que, como vamos ver, desenvolveu várias teorias que revolucionaram a matemática, física e astronomia. Em Cambridge, Isaac Newton foi o primeiro da classe. Formou-se em 1665 e teve que retornar a sua aldeia natal quando a universidade fechou devido ao surto de peste bubônica. Como a epidemia o impedia de sair de casa, o jovem se dedicou a rever tudo o que tinha aprendido na faculdade. A partir daí, ele não parou de pesquisar e realizar experimentos. Nessa época, Newton dava os primeiros passos rumo às descobertas mais importantes, como a decomposição da luz, o princípio da gravitação universal, desenvolvimentos matemáticos diversos e as chamadas três leis de Newton. Binômio de Newton 3.1- Definição Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b)n, sendo n um número natural, que é chamado de ordem do binômio. Expansão de alguns Binômios: (a + b)0 = 1 (a + b)1 = 1.a + 1.b (a + b)2 = 1.a2 + 2.a.b + 1.b2 (a + b)3 = 1.a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + 1.b3 (a + b)4 = 1.a4 + 4.a3.b + 6.a2.b2 + 4.a.b3 + 1.b4 (a + b)5 = 1.a5 + 5.a4.b + 10.a3.b2 + 10.a2.b3 + 5.a.b4 + 1.b5 (a + b)6 = 1.a6 + 6.a5.b + 15.a4.b2 + 20.a3.b3 + 15.a2.b4 + 6.a.b5 + 1.b6 Binômio de Newton Para expandir uma equação binomial, pode-se seguir os passos: 01. Todos os membros terão o termo a e, também, o b. (Ou seja, deve existir o termo a.b em todos os termos). 02. No primeiro termo atribui-se ao expoente de a o valor n e ao expoente de b o valor 0. A seguir diminui-se de 1 o valor do expoente de a e aumenta-se de 1 o valor do expoente de b. Continua-se até o último termo que deve ter o valor 0 no expoente de a e o valor n no expoente de b. 03. A soma dos expoentes de cada termo deve ser igual ao expoente do binômio. 04. Os valores numéricos em cada termo, são chamados de coeficientes binomiais, e são retirados do TRIÂNGULO DE PASCAL Binômio de Newton 3.2- Triângulo de Pascal Linha 0 1 Linha 1 1 1 Linha 2 1 2 1 Linha 3 1 3 3 1 Linha 4 1 4 6 4 1 Linha 5 1 5 10 10 5 1 Linha 6 1 6 15 20 15 6 1 Linha 7 1 7 21 35 35 21 7 1 Linha 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 Linha 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 Propriedades do triângulo de pascal P1: Em qualquer linha, dois números binomiais equidistantes dos extremos são iguais. Esses binomiais são complementares. Propriedades do triângulo de Pascal P2: Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é 2n. Propriedades do triângulo de Pascal P3: Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até qualquer outro é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo. Se n ≥ p, , sendo n e p naturais. No caso dos exemplos, temos: i) ii) Propriedades do triângulo de Pascal P4: Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de outra qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste. Se n ≥ p, sendo n e p naturais. No caso do exemplo, temos: 2 3 4 5 6 6 1 7 0 1 2 3 4 4 4 Binômio de Newton 3.3- Exemplos Qual é o termo em x5 no desenvolvimento de (x + 3)8 ? sendo ( x 3)8 temos X x a3 n8 Termo geral n p n p TP 1 .a .x p 8 Tp 1 .3 p.x8 p p 8 p 5 p3 8 3 5 8.7.6 T4 .3 .x .27.x5 56.27.x 5 1512 x 5 3! 3 Binômio de Newton 3.4- Fatorial O Fatorial de um número natural n (n!), é o produto de todos os números naturais decrescentes de n até 1. n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3) .... . 3 . 2 . 1 Exemplos: 1! = 1 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 . 1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 Binômio de Newton 3.5- Termo Geral do Binômio Um termo genérico do desenvolvimento de (a+b)n , sendo p um número natural, é dado por: n n p p Tp 1 . a . b p Onde: n n! Cn, p p! . (n p)! p é denominado Número Binomial Números binomiais Binomiais complementares: Números binomiais igualdades Números binomiais relação de StiFel Soma dos coeficientes de um Binômio de Newton Basta substituir qualquer variável por 1