Trigonometria no Triângulo Retângulo

Trigonometria no
Triângulo Retângulo
Relacionando lados e ângulos

A trigonometria tem sua origem, portanto, na
necessidade de relacionar lados e ângulos de um
triângulo.
B
 a hipotenusa BC = a
 o cateto AC = b
c
A
a
b
 o cateto AB = c
C
 A = 90º
 B + C = 90º
Relacionando lados e ângulos
B

c
a
a2 = b2 + c2
⍺
A
b
C
cateto oposto a ⍺
sen ⍺ =
hipotenusa
cos ⍺ =
=
c
a
cateto adjacente a ⍺
=
hipotenusa
b
a
Relacionando lados e ângulos
B

c
a
a2 = b2 + c2
⍺
A
tg ⍺ =
b
C
cateto oposto a ⍺
cateto adjacente a ⍺
=
c
b
 os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de
razões trigonométricas do ângulo ⍺.
Exemplos

O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter
as razões trigonométricas do ângulo B.
A
Teorema de Pitágoras
16
12
C
BC2 = AB2 + AC2
20
B
x2 = 162 + 122
x2 = 256 + 144
x2 = 400
x = 20
Exemplos

O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter
as razões trigonométricas de B.
A
16
12
C
sen B =
cos B =
20
cateto oposto a B
hipotenusa
cateto adjac. a B
hipotenusa
B
=
=
12
20
=
3
5
= 0,6
4
16
=
= 0,8
20
5
Exemplos

O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter
as razões trigonométricas de B.
A
16
12
C
20
tg B =
B
cateto oposto a B
cateto adjac. a B
=
12
16
=
3
= 0,75
4
Exemplos

Calcular os ângulos agudos de um triângulo
retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.
16
y
5 cm
x
⇒ x≈
40º
6 cm
tg y =
6
5
= 1,2
x + y = 90º
⇒ y≈
50º
Outras razões
trigonométricas
Outras razões trigonométricas
B

c
a
⍺
A
b
hipotenusa
cosec ⍺ =
cateto oposto a ⍺
sec ⍺ =
C
hipotenusa
cateto adjacente a ⍺
=
a
c
=
=
a
b
=
1
sen ⍺
1
cos ⍺
Outras razões trigonométricas
B

c
a
⍺
A
cotg ⍺ =
C
b
cateto adjacente a ⍺
cateto oposto a ⍺
=
b
=
c
1
tg ⍺
Seno, co-seno e tangente de
ângulos complementares
Ângulos complementares
B
⍺ +  = 90º

3
⇒
5
⍺
A
4
sen ⍺ =
3
5
sen  =
4
5
Os ângulos ⍺ e  são
complementares
C
cos ⍺ =
4
5
tg ⍺ =
3
4
cos  =
3
5
tg  =
4
3
Ângulos complementares
B

a
⇒
c
⍺ +  = 90º
⍺
A
b
Os ângulos ⍺ e  são
complementares
C
sen ⍺ = cos 
cos ⍺ = sen 
sec ⍺ = cosec 
cosec ⍺ = sec 
tg ⍺ =
1
tg 
cotg ⍺ = tg 
Exemplo

No triângulo retângulo da figura, temos:
I. sen t = ½
II. sec t =
III. tg t = 2
√5
2
1 cm
t
2 cm
A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):
a) I
b) II
c) III
d) II e III
e) I, II e III
Seno, co-seno e tangente
de 30º, 45º e 60º.
Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.
30º
45º
60º
sen
½
√2/2
√3/2
cos
√3/2
√2/2
½
tg
√3/3
1
√3
Exemplos

A partir dos dados apresentados na figura,
determinar as medidas indicadas por x e y.
16
x
30º
y
sen 30º =
cos 30º =
x
12
y
12
⇒
x = 12 . 1/2
⇒
x = 12 . √3/2 ⇒
⇒
x = 6 cm
x = 6 √3 cm
Exemplos

Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos
em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e
BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os
valores de x, y e z.
C
y
x
B
60º
z
30º
D
2 cm
A
Identidades
trigonométricas
Identidades trigonométricas

Ferramentas de
utilizadas para:
grande
aplicabilidade
sendo
 Obter uma razão trigonométrica, para um dado
ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja
conhecido.
 Simplificar expressões extensas envolvendo várias
relações trigonométricas para um mesmo ângulo.
Identidades trigonométricas

A partir do triângulo retângulo abaixo vamos
deduzir algumas dessas relações.
C

a
B
⍺
c
2
sen ⍺ +
b2 + c2 = a2 (: a2)
2
cos ⍺
b2
b
a2
A
b
a
=1
⇒
+
2
+
c2
a2
c
a
a2
=
a2
2
=1
sen2 x + cos2 x = 1
Identidades trigonométricas

A partir do triângulo retângulo abaixo vamos
deduzir algumas dessas relações.
C

a
B
b
⍺
cos ⍺
=
sen x
cos x
A
c
sen ⍺
tg x =
b/a
c/a
=
b
a
.
a
c
=
b
c
= tg ⍺
Identidades trigonométricas

A partir do triângulo retângulo abaixo vamos
deduzir algumas dessas relações.
C

a
B
b
⍺
sen ⍺
=
cos x
sen x
A
c
cos ⍺
cotg x =
c/a
b/a
=
c
a
.
a
b
=
c
b
= cotg ⍺
Identidades trigonométricas - Resumo
 Relação fundamental
1) sen2 x + cos2 x = 1
2) tg x =
sen x
cos x
cos x
3) cotg x =
4) sec x =
 (cos x ≠ 0)
sen x
1
cos x
5) cosec x =
1
sen x
=
1
tg x
 (sen x ≠ 0)
 (cos x ≠ 0)
 (sen x ≠ 0)
Exemplos

Demonstre que sec2 x = 1 + tg2 x.
sec x =
1
cos x
⇒ sec2 x =
⇒
sec2
x=
⇒ sec2 x =
⇒
1
cos2 x
sen2 x + cos2 x
cos2 x
sen2 x
cos2
x
+
sec2 x = tg2 x + 1
cos2 x
cos2 x
Exemplos

Demonstre que cosec2 x = 1 + cotg2 x.
cosec x =
1
sen x
⇒ cosec2 x =
⇒
cosec2
x=
⇒ cosec2 x =
⇒
1
sen2 x
sen2 x + cos2 x
sen2 x
sen2 x
sen2
x
+
sec2 x = 1 + cotg2 x
cos2 x
sen2 x
Exemplos

Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é
igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, cotangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sen2 x + cos2 x
⇒
⇒
3
5
9
25
2
+ cos2 x = 1
+ cos2 x = 1
⇒ cos2 x = 1 –
25 – 9
9
=
25
25
⇒ cos x = ± 4/5
=
⇒ cos x = 4/5
16
25
Exemplos

Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é
igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, cotangente, secante e a co-secante desse ângulo.
tg x =
sen x
cos x
cotg x =
1
tg x
=
=
3
5
4
5
1
3
4
3
=
4
4
=
3
Exemplos

Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é
igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, cotangente, secante e a co-secante desse ângulo.
sec x =
1
cos x
cosec x =
1
4
5
=
1
sen x
=
=
1
3
5
5
4
5
=
3
Exemplos

Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =
cotg x . sec x
cosec2 x
E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
sen x
E1 =
cos x
cos x
+
sen x
1
1
.
–
cos x
sen x
sen2 x + cos2 x – 1
E1 =
sen x . cos x
=
1–1
sen x . cos x
=0
Exemplos

Simplificar as expressões:
a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x
b) E2 =
E2 =
cotg x . sec x
cosec2 x
cotg x . sec x
cosec2 x
=
1
cos x .
sen x
cos x
2 x
1
sen
.
= sen x
E2 =
sen x
1
1
sen2 x
=
1
sen x
1
sen2 x
Ângulos e arcos na
circunferência
Circunferência
A
B
P
r
r
r
r
O
r
r
E
D
C
Elementos
A
A
O
O
B
Corda AB
Diâmetro AB
B
Elementos
B
Arco AB
Arco BA
A
Arcos e ângulos
A≡B
arco completo
A≡B
arco nulo
Arcos e ângulos
Arco AB
B
O
A
Arco BA
Arco de meia volta
Arco e ângulo central
C
B
 O 

D
E
A
F
 m(AB) =
⍺
 m(CD) =

 m(EF) =

O grau como unidade de medida
110o
100o
90o
80o
120o
70o
60o
130o
50o
140o
40o
150o
30o
160o
20o
170o
10o
180o
0o
190o
350o
200o
340o
210o
330o
220o
320o
230o
310o
240o
250o
300o
260o
270o 280o
290o
O grau como unidade de medida
110o
100o
90o
80o
120o
70o
60o
130o
50o
140o
40o
150o
30o
160o
20o
170o
10o
180o
0o
190o
350o
200o
340o
210o
330o
220o
320o
230o
310o
240o
250o
300o
260o
270o 280o
290o
O grau como unidade de medida
110o
100o
90o
80o
120o
70o
60o
130o
50o
140o
40o
150o
30o
160o
20o
170o
10o
1o
180o
0o
190o
350o
200o
340o
210o
330o
220o
320o
230o
310o
240o
250o
300o
260o
270o 280o
290o
1º =
1
360
Exemplos

Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a
circunferência em seis arcos congruentes.
Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE
e dos ângulos centrais correspondentes.
C
B
AB =

D

A
O
360º
6
CE = 2 . 60º = 120º
⍺ = 60º e
E
F
= 60º
 = 120º
Exemplos

A circunferência da figura tem 12 m de raio.
Supondo que o arco AB mede 2 m, calcular em
graus, a medida do arco e do ângulo central
correspondente.
Arco
(em graus)
A
O

2 m
Arco
(em metros)
24 m
360º
2 m
⍺
B
C = 2r
C = 2..12
C = 24
⍺=
360 . 2
24
= 30º
O radiano como unidade de medida
B
R

O
Comprimento do arco (AB) = R
R
R
A
⇓
m(AB) = 1 radiano
⇓
 = m(AB) = 1 rad
Exemplo
Comprimento do arco (AB) = 1,5 R
B
R
O
1,5R
⇓
m(AB) = 1,5 rad

R
A
⇓
 = m(AB) = 1,5 rad
comprimento
 = m(AB) =
R
Arco completo
=

O
R
A≡B
=
comprimento
R
2R
R
 = 2 rad
Exemplos
 A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o
comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm.
Calcular, em radianos, a medida de AB.
A
=
10,8 cm
O
B
=
comprimento
R
10,8 cm
9 cm
= 1,2 rad
Exemplos
 O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da
circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o
comprimento do arco AB.
ângulo
A
comprimento
2 R
x
360º
O
30º
30º
B
x=
2 .4.30
360
=
2
3
≈ 2, 1 cm
Exemplos
 Numa circunferência, o comprimento de um arco é
de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a
medida do raio da circunferência.
A
R
O
40 cm
=
comprimento
R

5=
R
B
40 cm
R
5R = 40
⇒
R = 8 cm
Arcos especiais
Representação
Arco
completo
O
Arco de
meia-volta
O
Arco de ¼ de
volta
O
Arco nulo
O
Medida
em graus
Medida em
radianos
360º
2
180º

90º
/2
0o
0
Transformando unidades
As medidas de um arco em graus e radianos são
proporcionais. Por isso podemos transformar uma
unidade em outra por uma regra de três.
180º correspondem a  rad
Exemplos
 Transformar 72º em radianos.
180º
 rad
72º
x
x=
72 . 
180
=
2
rad
5
Exemplos
 Exprimir
5
4
rad em graus.
 rad equivale a 180º.
x=
5.
4
=
5.180
4
= 225º