Oscilações

Física
Física 2 - Oscilações
Física - Oscilações
O que é oscilação???
Oscilar é mover-se de um lado para o outro
do microscópico
Elétrons, átomos, estruturas cristalinas de sólidos...
ao macroscópico
Pontes, grandes prédios, pêndulos...
Física
As principais formas de oscilação podem ser reduzidas a sistemas
do tipo.
Massa-mola.
Ondas.
Ondas de superfície.
Pêndulos
Física
Oscilador massa-mola e MHS
F=-kx
m
x
0
Força restauradora
F = −kx
F = ma
logo...
k
a=− x
m
Física
Oscilador massa-mola e MHS
Essa é a função da aceleração de um corpo (ou de um ponto) em
movimento harmônico simples em relação a posição x.
k
a=−
x
m
Grandezas características MHS
Frequência (f)
Número de oscilações completas efetuadas na unidade de tempo
Período (T)
Intervalo de tempo de uma oscilação completa
T = 1/ f
Amplitude (A)
É a distância da origem a posição de deslocamento máximo.
Física
Funções horárias do Movimento Harmônico Simples
Chamamos um movimento de harmônico quando este pode ser descrito por
funções horárias harmônicas (seno ou cosseno), que são assim chamadas
devido à sua representação gráfica:
Função seno
Função cosseno
Física
MHS e movimento circular uniforme
Para que o estudo desse movimento seja simplificado, é possível analisá-lo
como uma projeção de um movimento circular uniforme sobre um eixo.
ω = 2π f
Física
Usando a relação trigonométrica do cosseno do ângulo para obter o valor de x:
se considerarmos que, no MCU, este ângulo varia com o tempo, podemos
escrever φ em função do tempo, usando a função horária do deslocamento
angular:
Física
Podemos substituir esta função na equação do MCU projetado no eixo x e
teremos a função horária da elongação, que calcula a posição da partícula que
descreve um MHS em um determinado instante t.
x = A.cos(ϕo + ω.t )
x = A.cos(ω.t + ϕo )
A função velocidade pode ser obtida derivando a função posição em relação ao
tempo:
v = −ω A.sen(ϕo + ω.t )
A função aceleração pode ser obtida derivando a função velocidade em relação
ao tempo:
a = −ω A.cos(ϕo + ω.t )
2
Física
Frequência e período de sistemas oscilantes.
Até aqui estudamos o MHS de um ponto material.
No entanto, se o MHS for executado em um sistema físico, teremos
características específicas para cada sistema.
...por exemplo
Sistema massa-mola
Nesse sistema a frequência e o período deste oscilador dependem da
constante elástica e da massa do corpo oscilante.
Pêndulo simples
O pêndulo, por sua vez, depende do comprimento do fio e da aceleração
da gravidade local.
Física
Sistema massa-mola
No sistema massa-mola o bloco de massa m oscila preso a uma mola
de constante elástica k.
Sabemos que a aceleração desse sistema pode ser dada por:
k
a=− x
m
ou
a = −ω x
de onde obtemos que
k
ω=
m
Dessas expressões, temos que
k
ω =
m
2
da expressão
ω = 2π f
e
T = 1/ f
podemos obter (faça em casa!!!)
1
f=
2π
k
m
m
T = 2π
k
Física
Pêndulo Simples
Vamos descrever o movimento de um pendulo simples em termos de
seu deslocamento angular θ,
s = Lθ
A componente tangencial da aceleração do corpo oscilante é
ds 2 dt 2
A componente tangencial da 2ª Lei de Newton é:
z
d 2s
∑ Ft = − mg sin θ = m dt 2
Assim, podemos escrever
d 2 (Lθ )
d 2θ
g
= − g sinθ ⇒ 2 = − sinθ
2
dt
dt
L
ω=
g
L
θ
L
d 2θ
2
Para θ pequenos, sinθ=θ e teremos:
=
−
ω
θ
2
dt
A solução para esta equação é:
θ = θ0 cos(ωt + φ)
m
s
mg
Física
Pêndulo Simples
z
ω=
1
f =
2π
g
L
θ
L
g
L
m
d
L
Τ = 2π
g
mg
Observe que a frequência e o período não dependem da
massa do pêndulo.
Física
Exemplo
Para determinar o valor da aceleração da gravidade num determinado local, um
grupo de estudantes construiu um pêndulo simples de 1,2 m de comprimento.
Com pequenas oscilações, o grupo verificou que o pêndulo gastou 43,8 s para
efetuar 20 oscilações completas.
Determine:
a) o período do movimento do pêndulo
b) a aceleração da gravidade no local
solução
a) Como o pêndulo gastou 43,8s para efetuar 20 oscilações completas, o período é:
T=
43,8
= 2,19 s
20
b) Sendo l=1,20 m e T=2,19s, determinamos g pela expressão do período
T = 2π
l
l
1,20
2
⇒ g = 4π 2 2 ⇒ 4.(3,14)2 .
⇒
g
=
9,87
m
/
s
g
T
2,192
Física
Energia Potencial Elástica
Força conservativa
F = − kx
Energia Potencial:
x
U ( x) = ∫ F ( x)dx
x0
x
U ( x) − U ( x0 ) = − ∫ (− k ) xdx
x0
Referência: U(x0 = 0) = 0
1 2
U ( x) = kx
2
Física
Conservação de energia mecânica
1 2 1 2
mv + kx = E
2
2
Observe que as energias variam, mas a soma das energias
(energia mecânica) permanece constante
Física
Conservação da Energia
Extremos: x=A e x=-A
1
1
1 2
2
2
E = m(0) + k ( A) = kA
2
2
2
Energia
Cinética
Energia
Potencial Elástica
energia
Energia Mecânica Total:
1 2 1 2
E = mv + kx = Constante
2
2
Energia Mecânica do OHS é
proporcional ao quadrado da Amplitude
No ponto de equilíbrio: x = 0
K
E
1
1
1 2
2
2
E = mv0 + k (0) = mv0
2
2
2
-A
Energia do OHS no ponto de
equilibrio é totalmente cinética
0
U
A
posição
Física
Exemplo
A constante elástica da mola de um oscilador massa-mola é k=200N/m e a
massa do bloco é 0,8 kg. Sabendo que ele é posto a oscilar com amplitude de
0,10m, determine:
a) A sua energia mecânica
b) As energias cinética e potencial na posição x=+0,050m
solução
a) Sendo k=200N/m e x=0,10 m, temos que
1 2 1 2
mv + kx =
2
2
1
Em = .200.0,10 2 ⇒ Em = 1, 0 J
2
Em =
b) Para x=+0,050 m, temos que
EPel =
1 2
1
kx ⇒ EPel = .200.0, 052 ⇒ EPel = 0, 25 J
2
2
Como a energia mecânica é constante, temos que a energia potencial é dada por
Ec = Em − EPel ⇒ Ec = 1, 0 − 0, 25 ⇒ Ec = 0, 75J
Física
Amortecimento
Até agora admitimos que a energia mecânica do sistema no MHS se conserva.
No entanto, sabemos que este sistema perde energia, devido a forças
dissipadoras, tais como
o atrito e a resistência do ar.
Como a energia está ligada a amplitude, as oscilações resultantes tem amplitudes
decrescentes, denominadas oscilações amortecidas.
É importante notar que, embora a amplitude destas oscilações diminua com o
tempo, sua frequência permanece a mesma.
Tipos de amortecimento
- Subcrítico
- Crítico
- Supercrítico
Física
Amortecimento Subcrítico
Chamamos de amortecimento subcrítico (ou subamortecido) a oscilação cuja
amplitude reduz-se de acordo com uma curva exponencial definida.
A
E = E0e−(b/ m).t
Energia para
amortecimento
Subcrítico
Física
Amortecimento Crítico
Chamamos de amortecimento Crítico (ou amortecido) a oscilação cuja amplitude
reduz-se até a posição de equilíbrio, antes de completar a primeira oscilação.
x
Física
Amortecimento Supercrítico
Chamamos de amortecimento supercrítico (ou superamortecido) a oscilação cuja
amplitude nem sequer chega atingir a posição de equilíbrio.
x
Física
Resumindo...
Física
Amortecimento
Física
Oscilações Forçadas
Força externa: F (t ) = F0 cos(ωext t )
Quando um sistema oscila
com a frequência causada
por uma força externa,
mesmo que esta seja
diferente da frequência
natural do sistema, essa
oscilação é chamada de
oscilação forçada.
Física
Oscilações Forçadas
Em geral, a frequência (ω) das oscilações forçadas é diferente da
frequência natural (ω0) do oscilador, ou seja, é definida por suas
características próprias, como a massa e a constante do oscilador
massa mola.
Um caso muito especial ocorre quando a frequência externa (de
excitação) for igual a frequência natural do sistema.
Neste caso, a energia absorvida pelo oscilador será máxima e essa
frequência será chamada de frequência de ressonância.
Na frequência de ressonância a Amplitude do sistema se torna
máxima, podendo aumentar indefinidamente e mesmo causar um
colapso do sistema.
Física
Ressonância
A amplitude de um sistema com força externa aplicada é dada por:
A 2 (ω) =
((
F02
m 2 ω 02 − ω 2
)
2
+ γ 2 ω2
)
Quando (ω) for igual a (ω0), a amplitude será máxima.
Física
Ressonância – Um exemplo famoso
Desastre na Tacoma Narrows Bridge, 1940