Aula 11 - Moodle@FCT
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Física I 2009/2010 Aula 11 Movimento Oscilatório II Sumário Capítulo 15: Oscilações 15-3 A Energia no Movimento Harmónico Simples 15-4 Um Oscilador Harmónico Simples Angular 15-5 O Pêndulo simples 15-7 O Movimento Harmónico Simples Amortecido 15-8 Oscilações Forçadas e Ressonância Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 2 Energia do Oscilador MHS Supomos que um sistema de uma massa e uma mola se move sobre uma superfície sem atrito A energia cinética é 1 2 1 Ec mv m 2 A2 sin 2 t 2 2 A energia potencial elástica é A energia total é 1 2 1 2 U el kx kA cos 2 t 2 2 1 2 E Ec U el kA sin 2 t cos 2 t 2 1 kA2 Constante 2 Concluímos que a energia total é constante Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 3 Energia do Oscilador MHS A energia potencial é 1 2 U kx 2 A energia mecânica total é constante 1 U kxmax 2 2 A energia mecânica total é proporcional ao quadrado da amplitude A x max Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 4 Energia do Oscilador MHS A energia mecânica total é constante EC= EC , U A energia está continuamente a ser transferida entre energia potencial acumulada na mola e energia cinética do bloco Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 5 Energia do Oscilador MHS Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 6 Energia do Oscilador MHS À medida que o movimento continua, a troca de energia também continua A energia pode ser utilizada para encontrar a velocidade EC EC , U k 2 v A x2 m 2 A2 x 2 Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 7 O Pêndulo Simples Um pêndulo simples também exibe movimento periódico O movimento ocorre no plano vertical e é provocado pela força gravítica O movimento é muito próximo de MHS se o ângulo é pequeno ( <10º) Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 8 O Pêndulo Simples A forças que actuam na mg esfera são TT e mg TT é a tensão da corda mg é a força gravítica mg A componente tangencial da força gravítica é uma força restauradora Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 9 O Pêndulo Simples Na direcção tangencial, d 2s Ft mg sin q m 2 dt O comprimento, L, do pêndulo é constante, e para valores pequenos de q d 2q g g sin q q 2 dt L L Isto confirma que o movimento é MHS Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 10 O Pêndulo Simples A função q t pode ser escrita na forma q q max cost A frequência angular é g L O período é 2 L T 2 g Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 11 O Pêndulo Simples, Sumário O período e a frequência de um pêndulo simples dependem apenas do comprimento da corda e da aceleração da gravidade O período é independente da massa Todos os pêndulos simples com o mesmo comprimento e no mesmo local oscilam com o mesmo período 2 L T 2 g Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 12 O Pêndulo Simples, Massas diferentes Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 13 O Pêndulo Simples, comprimento diferente (4:1) Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 14 O Movimento Harmónico Simples e o Movimento Angular Uniforme Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 15 Energia do Oscilador MHS, sumário EC Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 16 Oscilações Amortecidas Em muitos sistemas reais, estão presentes forças não conservativas - O sistema deixa de ser ideal - O atrito é uma força não conservativa comum Neste caso, a energia mecânica do sistema diminui com o tempo, diz-se que o movimento é amortecido Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 17 Movimento oscilatório harmónico amortecido posição Movimento oscilatório harmónico simples tempo Movimento oscilatório harmónico amortecido Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 18 Oscilações Amortecidas A amplitude diminui com o tempo A linha azul a tracejado é o envelope do movimento Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 19 Oscilações Amortecidas Exemplo: Um exemplo de movimento amortecido ocorre quando um corpo ligado a uma mola é imerso num líquido viscoso A força de amortecimento pode ser expressa como R = - b v em que b é uma constante b é denominado coeficiente de amortecimento Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 20 Oscilações Amortecidas A força restauradora é – kx Da Segunda Lei de Newton F x kx bvx max Quando a força amortecedora é pequena comparada com o valor máximo da força restauradora (ou seja, para pequenos valores de b), podemos obter uma expressão para x Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 21 Oscilações Amortecidas A posição é dada por x Ae b t 2m cos(t ) A frequência angular será k b m 2m 2 Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 22 Oscilações Amortecidas - Sumário Quando a força de amortecimento é pequena, o carácter oscilatório do movimento é preservado, mas a amplitude diminui exponencialmente com o tempo O movimento cessará eventualmente A frequência angular pode assumir outra forma b 2 0 2 m 2 em que 0 é a frequência angular na ausência da força amortecedora k 0 m Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 23 Tipos de Amortecimento k 0 m é também chamada a frequência natural do sistema Se Rmax = bvmax < kA, diz-se que o sistema é subamortecido Quando b atinge um valor crítico bc tal que bc /2 m = 0 , o sistema não oscilará. Diz-se que o sistema é criticamente amortecido Se Rmax = bvmax > kA e b/2m > 0, o sistema é sobreamortecido Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 24 Tipos de Amortecimento Gráficos da posição em função do tempo de (a) um oscilador subamortecido (b) um oscilador criticamente amortecido (c) um oscilador sobreamortecido Nos casos de amortecimento crítico ou sobre-amortecimento, não existe frequência angular Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 25 Oscilações Forçadas Podemos compensar a perda de energia num sistema amortecido, aplicando uma força exterior A amplitude do movimento manter-se-á constante se a energia fornecida por ciclo for exactamente igual à perda de energia mecânica resultante das forças resistivas Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 26 Oscilações Forçadas Após a força exterior começar a actuar, a amplitude das oscilações aumentará Após um intervalo de tempo suficientemente elevado, Efornecida = Etransformada em energia interna Eventualmente é atingido um estado estacionário e o movimento prosseguirá com amplitude constante Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 27 Oscilações Forçadas A amplitude das oscilações forçadas é F0 A 2 m 2 2 0 b m 2 em que 0 é a frequência natural do oscilador não amortecido Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 28 Ressonância Quando a frequência da força exterior está próxima da frequência natural do oscilador ( 0), ocorre um aumento da amplitude Este aumento dramático da amplitude é denominado ressonância A frequência natural, 0,é também denominada frequência de ressonância do sistema Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 29 Ressonância Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 30 Ressonância Na ressonância, a força aplicada está em fase com a velocidade e a potência transferida para o oscilador é máxima A força aplicada e a velocidade são ambas proporcionais a sin (t + ) A potência transferida é É máxima quando F v F e v estão em fase Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 31 Ressonância A Ressonância (o máximo do pico) ocorre quando a frequência da força aplicada é igual à frequência natural A amplitude aumenta quando o amortecimento diminui A curva alarga-se quando o amortecimento aumenta Não amortecido Pequeno valor de b Valor elevado de b A forma da curva de ressonância depende de b Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 32 Ressonância Física I 2009-10 - 1.º S - Aula 11 33
