1.1. Sentença Aberta

LÓGICA
MÓDULO 14
Índice
1. Quantificações ......................................................... 3
1.1. Sentença Aberta.......................................................... 3
1.1.1. Sentença aberta com uma variável........................... 3
1.1.2. Conjunto-verdade de uma sentença aberta ............... 3
1.1.3. Sentenças abertas com duas variáveis ...................... 3
1.1.4. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas
variáveis .............................................................. 4
1.1.5. Sentenças abertas com n variáveis........................... 4
1.1.6. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com n
variáveis .............................................................. 4
2
Lógica - Módulo 14
1. QUANTIFICAÇÕES
O quantificador universal (∀) e o quantificador existencial (∃) são símbolos
lógicos.
3
[INT-∀]: uma quantificação universal é verdadeira se, e somente
se todas as suas instâncias forem verdadeiras. Se houver pelo
menos uma instância falsa, então a quantificação universal será
falsa.
3
[INT-∃]: uma quantificação existencial é verdadeira se, e
somente se houver pelo menos uma instância sua que seja
verdadeira. Se todas as suas instâncias forem falsas, então a
quantificação existencial será falsa.
1.1. SENTENÇA ABERTA
1.1.1. Sentença aberta com uma variável
É denominada uma sentença aberta com uma variável em um conjunto A
ou apenas sentença aberta em A, uma proposição p(x) tal que p(a) é falsa
(F) ou verdadeira (V) para todo a Є A.
Exemplos:
3
X + 1 > 10;
3
X é divisor de 12.
1.1.2. Conjunto-verdade de uma sentença aberta
O conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x) em um conjunto A é o
conjunto de todos os elementos a Є A tais que p(a) é uma proposição
verdadeira (V).
Simbolicamente, fica:
3
Vp = {(x Є A | p(x)}.
1.1.3. Sentenças abertas com duas variáveis
Compreendendo dois conjuntos A e B, entende-se por sentença aberta
com duas variáveis em A x B ou sentença aberta A x B, uma expressão p(x,
y) tal que p(a, b) é falsa (F) ou verdadeira (V) para todo par ordenado (a, b)
Є A x B.
3
Lógica - Módulo 14
Exemplos:
3
X é menor que y(x<y);
3
Y é divisor de y(x | y).
1.1.4. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas
variáveis
O conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x, y) em A x B é o
conjunto de todos os elementos (a, b) Є A x B tais que p(a, b) é uma
proposição verdadeira.
Simbolicamente, fica:
3
Vp = {(x, y) Є A x B | p(x, y)}
1.1.5. Sentenças abertas com n variáveis
Compreendendo n conjuntos A1, A2, A3,...An e o seu produto cartesiano
A1 x A2 x ... x An, entende-se por sentença aberta com n variáveis em A1 x
A2 x ... x An ou sentença aberta A1 x A2 x ... x An, uma expressão p(x1, x2,
..., xn) para toda n-upla (a1, a2, ..., na) Є A1 x A2 x ... x An.
Exemplos:
3
x + 4y + 2z < 22
1.1.6. Conjunto-verdade de uma sentença aberta com n
variáveis
O conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x1, x2, ..., xn) em A1 x A2
x ... x An, o conjunto de todas n-uplas upla (a1, a2, ..., na) Є A1 x A2 x ... Ax
tais que p(a1, a2, ..., an) é uma proposição verdadeira (V).
Simbolicamente, fica:
3
Vp = {(x1, x2, ..., xn) Є A1 x A2 x ... Ax | p(x1, x2, ..., xn)}
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