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Recredenciamento
Portaria MEC 347, de 05.04.2012 - D.O.U. 10.04.2012.
Disciplina de Álgebra I
Unidade de Aprendizagem: A Lógica da Matemática,
Caminhos, Grafos e Algoritmos
Sentenças abertas com uma variável
Sentença aberta como uma variável em um conjunto A é uma
expressão p(x) tal que p(a) é falsa (F) ou verdadeira (V) para todo o
elemento de a  A . O conjunto A é chamado de conjunto universo (ou
domínio) da variável x e qualquer elemento a  A diz-se um valor da
variável x. Se a  A é tal que p(a) é uma proposição verdadeira, diz-se
que a satisfaz ou verifica p(x).
Uma sentença aberta como uma variável em A também pode ser
chamada de função proposicional em A. Por exemplo, são sentenças
abertas no conjunto dos inteiros não negativos ℤ+= {0, 1, 2, 3, ...}, as
expressões:
a) x + 3 > 10
b) x2 – 2x +1 = 0
c) x + 9 = 20
d) x é divisor de 21
e) x é par
f) x é múltiplo de 5
O conjunto verdade (ou conjunto solução) de uma sentença aberta
p(x) em um conjunto A é o conjunto de todos os elementos a  A que
satisfazem p(x), tal que p(a) é uma proposição verdadeira (V), Este
conjunto é representado por Vp e, simbolicamente, é dado por:
Vp = {x / x  A e p(x) é verdadeira}
De posse dessa linguagem, determine o conjunto verdade de cada
uma das sentenças abertas abaixo:
a) p(x): x + 5 < 10 em ℤ+.
Solução: Vp = {x / x  ℤ+ e x + 5 < 10 } = {0, 1, 2, 3, 4}
b) p(x): x + 2 < 1 em ℤ+.
c) p(x): x2 – 5x + 6 = 0 em ℤ.
Se p(x) é uma sentença aberta definida no conjunto A, três casos
podem ocorrer:
(1) p(x) é verdadeira para todo x  A , isto é, Vp = A, então p(x)
exprime uma condição universal ou uma propriedade universal
no conjunto A.
(2) p(x) é verdadeira somente para alguns x  A , isto é, Vp ⊂ A,
então p(x) exprime uma condição ou propriedade possível em
A.
(3) p(x) não é verdadeira para nenhum x  A , isto é, Vp = ∅, então
p(x) exprime uma condição impossível ou uma propriedade
impossível no conjunto A.
Determine se cada uma das sentenças abertas é uma condição
universal, possível ou impossível no conjunto dos números inteiros:
a) 2x + 3 = 17
Solução: resolvendo a equação, temos x = 7.
Vp = {x / x  ℤ+ e 2x + 3 = 17} = {7}, p(x) é verdadeira somente para
x = 7, exprimindo, então, uma condição possível nos inteiros.
b) x + 1 > x
c) x + 1 = x
d) x2 – 9 = 0
Ao estudarmos a lógica proposicional, muitas vezes ficamos
limitados quando surgem expressões que necessitam ser quantificadas. A
seguir, estudaremos dois símbolos que desempenham o papel de
“quantificar” expressões, quer sejam em linguagem natural ou linguagem
matemática.
Quantificador Universal
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto A e seja Vp o seu
conjunto verdade. Se Vp = A, isto é, todos os elementos do conjunto A
satisfazem p(x), podemos então dizer que para todo o elemento x de A,
p(x) é verdadeira. Simbolicamente indicamos esse fato das seguintes
maneiras: (x  A)( p( x)) ; x  A, p ( x ) ; x  A : p ( x ) ; (x)( p ( x))
; x , p ( x ) .
O símbolo  , referido à variável x, representa uma operação lógica
que transforma a sentença aberta numa proposição com valor V ou F,
conforme p(x) exprime ou não uma condição universal no conjunto A.
isto é, o valor lógico da sentença aberta p(x) com símbolo  antes dela é
a verdade (V) se Vp = A e falsidade (F) se Vp ≠ A. O valor verdade da
expressão (x  A)( p( x)) depende do conjunto A, isto é, do domínio de
definição da variável x na expressão.
A operação lógica representada pelo símbolo  é chamada de
quantificação universal e o símbolo  de quantificador universal.
Vamos ver qual é o valor verdade da expressão (x)( p ( x)) em cada uma
das seguintes interpretações:
a) p(x) é uma propriedade de que “x seja uma ave” e o domínio de
interpretação é conjunto de todas as pombas.
b) p(x) é uma propriedade de que “x seja amarelo” e o domínio de
interpretação é conjunto dos pássaros.
C o m p l e x o d e E n s i n o S u p e r i o r d e C a c h o e i r i n h a
Rua Silvério Manoel da Silva, 160 - CEP 94930000 - Cachoeirinha – RS - Tel/Fax. (51) 34418650 – www.cesuca.com.br – [email protected]
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Quantificador Existencial
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto A e seja Vp o seu
conjunto verdade, quando Vp não é vazio, pelo menos um elemento do
conjunto A satisfaz p(x) e podemos dizer que existe pelo menos um
x  A tal que p(x) é verdadeira, temos um fato indicado por uma das
seguintes maneiras: (x  A)( p ( x)) ; x  A, p ( x ) ; x  A : p ( x) ;
(x )( p ( x )) ; x, p ( x ) .
O símbolo  , referido à variável x, representa uma operação lógica
que transforma a sentença aberta numa proposição com valor V ou F,
conforme p(x) exprime ou não uma condição existencial no conjunto A.
isto é, o valor lógico da sentença aberta p(x) com símbolo  antes dela é
a verdade (V) se Vp ≠ ∅ e falsidade (F) se Vp = ∅. A operação lógica
representada pelo símbolo  é chamada de quantificação existencial e
o símbolo  de quantificador existencial. Vamos ver qual é o valor
verdade da expressão (x )( p ( x )) em cada uma das seguintes
interpretações:
a) (  y ∈ ℤ+)(y + 5 < 9)
Solução: o valor verdade da proposição (  y ∈ ℤ+)(y + 5 < 9) é verdadeira,
pois o conjunto verdade Vp = {y / y ∈ ℤ+ e y + 5 < 9} = {0, 1, 2, 3}.
b) (  x ∈ ℤ+)(x + 4 < 2)
OBS: assim como nas proposições, os quantificadores podem ser
precedidos do símbolo de negação (~). Por exemplo, no conjunto H dos
seres humanos, se negamos a expressão (x)( x fala inglês) , que se lê
“Toda
pessoa
fala
inglês”,
teremos,
simbolicamente,
que
equivale
a
~ [(x)( x fala inglês)]
(x)( x não fala inglês) , ou
ainda na linguagem corrente, “Existem pessoas que não falam inglês.
Temos então que:
~ [( x)( p ( x))]  (x)(~ p ( x))
~ [( x)( p ( x))]  (x)(~ p ( x))
Essas regras foram demonstradas por De Morgan.
2) Determine o conjunto verdade em ℤ+ para cada uma das sentenças
abertas:
a) x – 1 < 4
c) x2 – 5 = 0
b) x2 – 5x + 6 = 0
d) (x – 5) ∈ ℤ+
3) Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {1, 2, 3, 5, 7}, C = {1, 2, 3,
4, 5} e D = {2, 4, 6, 8}, complete o quadro abaixo com o valor lógico (V
ou F) de cada proposição, considerando como domínio cada um dos
conjunto acima e sabendo que p(x): x é par:
Proposição
(x)( p( x))
(x )( p ( x ))
~ [(x)( p( x))]
(x)(~ p( x))
~ [( x)( p( x))]
(x)(~ p ( x))
A
Domínio
B
C
D
4) Escreva na linguagem corrente a negação de cada uma das seguintes
proposições:
a) Todo o número primo não é par.
b) Existe ao menos algum aluno estudioso.
c) Existe pescador que não é mentiroso
Exercícios
d) Todo colorado é perdedor.
1) Determine o valor verdade para cada uma das seguintes proposições.
Considere o conjunto universo o conjunto dos números inteiros não
negativos.
5) Sendo A = {1, 2, 3} o conjunto universo da variável x, determine o
valor lógico de cada uma das seguintes proposições:
a) (x)( x 2  x)
a) (x)[( x  1) 2  x 2  1]
b) (x)( x  3  6)
b) (x )( x  1  x )
c) (x)( x  2  x)
c) (x)( x  3  6)
d) ~ [( x)( x 2  3x  1)]
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