CM046 – INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA NOTAS DE AULA 4 1

CM046 – INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA
NOTAS DE AULA 4
1. Sentenças abertas com uma variável e conjunto-verdade
2. Sentenças abertas com duas variáveis e conjunto-verdade
SENTENÇAS ABERTAS
Def: chama-se sentença aberta com uma variável em um conjunto A ou apenas sentença aberta em A, uma
expressão p(x) tal que p(a) é Verdadeira ou Falsa para todo x ∈ A.
O conjunto A recebe o nome de conjunto-universo (ou apenas domínio) da variável x e qualquer elemento
de a ∈ A diz-se um valor da variável x.
Exemplo 1: São sentenças abertas em N as seguintes expressões (a) x + 1 > 8; (b) x+5=9 (c) x é múltiplo
de 3.
Definição chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x) em um conjunto A, o conjunto de
todos os elementos a ∈A tais que p(a) é uma proposição verdadeira.
Podem ocorrer 3 situações:
(1) p(x) sempre verdade;
(2) p(x) verdade para alguns casos e
(3) p(x) sempre falsa.
No (1) temos uma condição universal; no (2) uma condição possível e no (3) uma condição impossível.
Def. chama-se sentença aberta com duas variáveis em AxB ou apenas sentença aberta em AxB, uma
expressão p(x,y) tal que p(a,b) é Verdadeira ou Falsa para todo x ∈ AxB.
O conjunto AxB recebe o nome de conjunto-universo (ou apenas domínio) das variáveis x e y e quaisquer
elementos (a,b) ∈ AxB diz-se um valor das variáveis (x,y).
Exemplo 1: Sejam os conjuntos A={1,2,3} e B={5,6} são sentenças abertas em AxB as seguintes
expressões (a) x + 1 < y ; (b) x é menor do que y (c) y é o dobro de x.
Definição chama-se conjunto-verdade de uma sentença aberta p(x,y) em um conjunto AxB, o conjunto de
todos os elementos (a,b) ∈ AxB tais que p(a,b) é uma proposição verdadeira.
Operações lógicas sobre sentenças abertas
Podemos combinar duas (ou mais) sentenças abertas utilizando os conectivos. De modo geral considere o
conjunto universo A.
Conjunção
Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um conjunto A para que p(a) ∧ q(a) seja verdadeira
devemos ter p(a) e q(a) verdadeiras, portanto o conjunto-verdade de Vp∧q= Vp ∩ Vq .
Disjunção
Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um conjunto A para que p(a) ∨ q(a) seja verdadeira basta
que p(a) ou q(a) seja verdadeira, portanto o conjunto-verdade de Vp∨q= Vp ∪ Vq .
Negação
Seja p(x) uma sentença aberta em um conjunto A, claro que se um elemento a ∈ A satisfaz a
sentença aberta p(x), vale que ~p(a) é falso. Portanto, o conjunto-verdade V~p é o complementar em
relação a A do conjunto-verdade Vp. Podemos escrever então V~p = A – Vp
Condicional
Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um conjunto A para que p(x) → q(x) seja verdadeira
utilizaremos o equivalente de p→q , ou seja, ~p∨q. Portanto o conjunto-verdade de Vp→q= V~p ∪ Vq .
Ou reescrevendo em termos do complementar Vp→q= (A-Vp) ∪ Vq .
Bicondicional
Sejam p(x) e q(x) sentenças abertas em um conjunto A para que p(x) ↔q(x) seja verdadeira
utilizaremos o equivalente de p↔ q , ou seja, (~p∨q) ∧ (~q∨p).
Portanto o conjunto-verdade de Vp↔q= V~p∨q ∩V~q∨p =((A-Vp) ∪ Vq ) ∩ ((A-Vq) ∪ Vp ).
Exercícios
Considere o conjunto A={0,1,2,3,4,5} encontre o conjunto verdade das seguintes sentenças abertas:
(a) x2 ≥16 ∨ x2-5x+6=0;
(b) x2 ≥ 12 → x2-6x+5=0;
(c) ~(x ≤ 3 ) ∨ x é primo.