Gráficos de Funções Trigonométricas

1. Gráficos de funções trigonométricas
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Gráficos de Funções Trigonométricas
Na figura acima, note que o valor máximo de
sen x é 1 e o mínimo é -1. A amplitude da função seno
(ou da função cosseno) é definida como a metade da
diferença entre seus valores máximo e mínimo. Assim,
a amplitude de f(x) = sen x é 1.
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
4
Gráficos de Funções Trigonométricas
1. Gráficos de funções trigonométricas
1.Gráficos de funções trigonométricas
2.Limites de funções trigonométricas
3.Teorema do confronto
A natureza periódica da função seno torna-se
evidente se observarmos que, quando x cresce além de
2π, o gráfico passa a repetir-se indefinidamente,
oscilando continuamente em torno do eixo x. O período
de uma função é a distância (sobre o eixo x) entre
ciclos sucessivos. Assim, o período de f(x) = sen x é 2π.
5
1. Gráficos de funções trigonométricas
1. Gráficos de funções trigonométricas
Para traçar o gráfico de uma função
trigonométrica, construímos uma tabela de valores,
marcando os pontos resultantes e ligando-os por uma
curva suave.
x
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π
π/3
3π
π/4
5π
π/6
π
sen x
0,00
0,50
0,71
0,87
1,00
0,87
0,71
0,50
0,00
3
A figura acima mostra os gráficos de ao menos
um ciclo das funções trigonométricas sen x, cos x e
tg x.
6
1
1. Gráficos de funções trigonométricas
1. Gráficos de funções trigonométricas
Exemplo 2: Trace o gráfico de f(x) = 3 cos 2x.
A figura acima mostra os gráficos de ao menos
um ciclo das funções trigonométricas cossec x, sec x
e cotg x.
7
1. Gráficos de funções trigonométricas
O gráfico apresenta as seguintes características:
amplitude igual a 3 e período igual a 2π/2 = π. A figura
exibe quase três ciclos do gráfico, partindo do ponto de
10
máximo (0, 3).
1. Gráficos de funções trigonométricas
A familiaridade com os gráficos das seis
funções trigonométricas básicas permite-nos traçar
gráficos de funções mais gerais como
Exemplo 3: Trace o gráfico de f(x) = -2 tg 3x.
y = a sen bx e y = a cos bx.
Note que a função y = a sen bx oscila entre –a e
a e tem, assim, amplitude de |a|.
Alem disso, como bx = 0 quando x = 0 e bx = 2π
quando x = 2π/b, decorre que a função y = a sen bx
tem período de 2π/|b|.
8
1. Gráficos de funções trigonométricas
Exemplo 1: Trace o gráfico de f(x) = 4 sen x.
O gráfico tem as seguintes características:
amplitude igual a 4 e período igual a 2π. A figura exibe
9
três ciclos do gráfico, a começar do ponto (0, 0).
O gráfico desta função tem período π/3. As
assíntotas verticais desta função tangente ocorrem em
x = …, -π/6, π/6, π/2, 5π/6, …
11
1. Gráficos de funções trigonométricas
Exemplo 3: Trace o gráfico de f(x) = -2 tg 3x.
A figura acima exibe vários ciclos do gráfico, a
partir da assíntota vertical x = - π/6.
12
2
2. Limites de funções trigonométricas
3. Teorema do confronto
As funções seno e cosseno são contínuas em
toda a reta real. Assim, podemos aplicar a
substituição direta para calcular limites como:
Da trigonometria, temos:
0<x<
π
⇒ sen x < x < tg x ⇒
2
1
1
1
⇒
> >
(I )
sen x x tg x
lim sen x = sen 0 = 0
x →0
lim cos x = cos 0 = 1
x →0
−
π
< x < 0 ⇒ sen x > x > tg x ⇒
2
⇒
1
1
1
< <
sen x x tg x
(II )
13
2. Limites de funções trigonométricas
16
3. Teorema do confronto
Exemplo 4: Estime o valor de lim
x →0
sen x
.
x
Multiplicando as igualdades I e II por sen x,
resulta
X
-0,20
-0,15
-0,10
-0,05
0,05
0,10
0,15
0,20
sen x
x
0,9933
0,9963
0,9983
0,9996
0,9996
0,9983
0,9963
0,9933
Pela tabela, vemos que o limite tende a 1. Isto
é,
lim
x →0
sen x
=1
x
sen x > 0
π
2
sen x <0
<x<0
⇒
sen x sen x sen x
>
>
⇒
sen x
x
tg x
sen x
> cos x
x
14
17
3. Teorema do confronto
Pelo gráfico da função, vemos que ela se
aproxima de 1 quando a expressão tende a zero, tanto
pela esquerda quanto pela direita.
1.2
0.8
0.4
0.2
0.0
-2
para −
π
2
<x<
π
2
e x≠0
cos x <
sen x
<1
x
g ( x ) = cos x
sen x
f (x) =
x
h( x ) = 1
0.6
-4
Temos, portanto:
Considerando
1.0
-6
−
⇒ 1>
2. Limites de funções trigonométricas
-8
π
sen x sen x sen x
⇒
>
>
⇒
2
sen x
x
tg x
sen x
⇒ 1>
> cos x
x
0<x<
0
2
4
6
8
-0.2
-0.4
15
18
3
3. Teorema do confronto
e notando que
lim g ( x ) = lim cos x = cos 0 = 1
x →0
x →0
lim h( x ) = lim 1 = 1
x →0
x →0
pelo teorema do confronto, temos
lim
x →0
sen x
=1
x
19
3. Teorema do confronto
Exemplo 5: Determine o limite da expressão
lim
x →0
lim
x →0
sen 5 x
3x
sen 5 x
 5 x sen 5 x 
 5 x sen 5 x 
= lim 
⋅
= lim
⋅
x →0 5 x
3x
3 x  x →0  3 x
5 x 

5
 5x 
 sen 5 x 
5
 sen 5 x  5
lim 
 ⋅ lim 
 = lim   ⋅ lim 
 = ⋅1 = 3
x →0 3 x

 x →0  5 x  x →0  3  x →0  5 x  3
20
3. Teorema do confronto
Exemplo 6: Determine o limite da expressão lim
x →0
lim
x →0
1 − cos x
x
1 − cos x
(1 − cos x ) ⋅ (1 + cos x )
= lim
=
x →0
x
x ⋅ (1 + cos x )
sen 2 x
1 − cos2 x
= lim
=
x
→
0
x ⋅ (1 + cos x )
x ⋅ (1 + cos x )
sen x
sen x
0
= lim
.lim
= 1.
=0
x →0
x →0 1 + cos x
x
1+ 1
= lim
x →0
21
4