01416 BROWN - Variáveis Compl

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SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 NÚMEROS COMPLEXOS 1
Somas e produtos 1
Propriedades algébricas básicas 3
Mais propriedades algébricas 5
Vetores e módulo 8
Desigualdade triangular 11
Complexos conjugados 14
Forma exponencial 17
Produtos e potências em forma exponencial 20
Argumentos de produtos e quocientes 21
Raízes de números complexos 25
Exemplos 28
Regiões do plano complexo 32
CAPÍTULO 2 FUNÇÕES ANALÍTICAS 37
Funções e aplicações 37
A aplicação w = z2 40
Limites 44
Teoremas de limites 47
Limites envolvendo o ponto no infinito 49
Continuidade 52
Derivadas 55
Regras de derivação 59
Equações de Cauchy-Riemann 62
xiv
SUMÁRIO
Exemplos
64
Condições suficientes de derivabilidade 65
Coordenadas polares 68
Funções analíticas 72
Mais exemplos 74
Funções harmônicas 77
Unicidade de funções analíticas 80
Princípio da reflexão 82
CAPÍTULO 3 FUNÇÕES ELEMENTARES
87
A função exponencial 87
A função logaritmo 90
Exemplos
92
Ramos e derivadas de logaritmos 93
Algumas identidades envolvendo logaritmos 97
A função potência 100
Exemplos
101
As funções trigonométricas sen z e cos z
104
Zeros e singularidades de funções trigonométricas 106
Funções hiperbólicas 109
Funções trigonométricas e hiperbólicas inversas 112
CAPÍTULO 4 INTEGRAIS
115
Derivadas de funções w(t)
115
Integrais definidas de funções w(t)
Caminhos
117
120
Integrais curvilíneas 125
Alguns exemplos 128
Exemplos envolvendo cortes 131
Cotas superiores do módulo de integrais curvilíneas 135
Antiderivadas
140
Prova do teorema 145
Teorema de Cauchy-Goursat 148
Prova do teorema 150
Domínios simplesmente conexos 155
SUMÁRIO
Domínios multiplamente conexos 157
Fórmula integral de Cauchy 162
Uma extensão da fórmula integral de Cauchy 164
Verificação da extensão 167
Algumas consequências da extensão 168
Teorema de Liouville e o teorema fundamental da álgebra 172
Princípio do módulo máximo 174
CAPÍTULO 5 SÉRIES 179
Convergência de sequências 179
Convergência de séries 182
Séries de Taylor 186
Prova do teorema de Taylor 187
Exemplos 189
Potências negativas de (z − z0) 193
Séries de Laurent 197
Prova do teorema de Laurent 199
Exemplos 201
Convergência absoluta e uniforme de séries de potências 208
Continuidade da soma de séries de potências 211
Integração e derivação de séries de potências 213
Unicidade de representação em séries 216
Multiplicação e divisão de séries de potências 221
CAPÍTULO 6 RESÍDUOS E POLOS 227
Singularidades isoladas 227
Resíduos 229
Teorema dos resíduos de Cauchy 233
Resíduo no infinito 235
Os três tipos de singularidades isoladas 238
Exemplos 240
Resíduos em polos 242
Exemplos 244
Zeros de funções analíticas 247
Zeros e polos 250
Comportamento de funções perto de singularidades isoladas 255
xv
xvi
SUMÁRIO
CAPÍTULO 7 APLICAÇÕES DE RESÍDUOS 259
Cálculo de integrais impróprias 259
Exemplo 262
Integrais impróprias da análise de Fourier 267
Lema de Jordan 269
Um caminho indentado 274
Uma indentação em torno de um ponto de ramificação 278
Integração ao longo de um corte 280
Integrais definidas envolvendo senos e cossenos 284
Princípio do argumento 287
Teorema de Rouché 290
Transformada de Laplace inversa 295
CAPÍTULO 8 TRANSFORMAÇÕES POR FUNÇÕES
ELEMENTARES 299
Transformações lineares 299
A transformação w = 1/z 301
Transformações de 1/z 303
Transformações fracionárias lineares 307
Uma forma implícita 310
Transformações do semiplano superior 313
Exemplos 315
Transformações da função exponencial 319
Transformações de retas verticais por w = sen z 320
Transformações de segmentos de reta horizontais por w = sen z
Algumas transformações relacionadas 324
Transformações de z2 327
Transformações de ramos de z1/2 328
Raízes quadradas de polinômios 332
Superfícies de Riemann 338
Superfícies de funções relacionadas 341
CAPÍTULO 9 APLICAÇÕES CONFORMES 345
Preservação de ângulos e fatores de escala 345
Mais exemplos 348
322
SUMÁRIO
xvii
Inversas locais 350
Harmônicas conjugadas 353
Transformações de funções harmônicas 357
Transformações de condições de fronteira 360
CAPÍTULO 10 APLICAÇÕES DE TRANSFORMAÇÕES
CONFORMES 365
Temperaturas estacionárias 365
Temperaturas estacionárias em um semiplano 367
Um problema relacionado 369
Temperaturas em um quadrante 371
Potencial eletrostático 376
Exemplos
377
Escoamento de fluido bidimensional 382
A função corrente 384
Escoamento ao redor de um canto e de um cilindro 386
CAPÍTULO 11 A TRANSFORMAÇÃO DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL 393
Transformação do eixo real em um polígono 393
Transformação de Schwarz-Christoffel 395
Triângulos e retângulos 398
Polígonos degenerados 402
Escoamento de fluido em um canal através de uma fenda 407
Escoamento em um canal com estreitamento 409
Potencial eletrostático ao redor de um bordo de uma placa condutora 412
CAPÍTULO 12 FÓRMULAS INTEGRAIS DO TIPO POISSON
Fórmula integral de Poisson 417
Problema de Dirichlet de um disco 420
Exemplos
422
Problemas de valores de fronteira relacionados 426
Fórmula integral de Schwarz 428
Problema de Dirichlet de um semiplano 430
Problemas de Neumann 433
417
xviii
SUMÁRIO
APÊNDICE 1 BIBLIOGRAFIA 437
APÊNDICE 2 TABELA DE TRANSFORMAÇÕES DE REGIÕES
(Ver Capítulo 8) 441
ÍNDICE
451
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