Gravitação Universal

Gravitação Universal
Histórico
Desde os primórdios da historia da humanidade, existem registros de observações de corpos
celestes. O brilho e o movimento dos astros sempre despertaram a curiosidade dos homens.
A Astronomia, a mais antiga das ciências, sempre foi objeto de estudo e curiosidade para o
homem, devido à influência que os fenômenos celestes exerciam sobre a vida dos povos mais
antigos, utilizando-os para escolher épocas de plantio e colheita, orientando-se nas
navegações pelo movimento da Lua e das estrelas e até colocando seus deuses no céu
procurando explicar tais fenômenos como manifestações divinas.
O estudo dos astros e a conseqüente tentativa de explicar o movimento dos corpos celestes
iniciaram-se com os filósofos da Grécia antiga.
Aristóteles acreditava que o movimento dos corpos celestes era regido por leis especiais
diferentes daquelas verificadas para os movimentos na superfície da Terra, descrevendo o
cosmo como um enorme (porém finito) círculo onde existiam nove esferas concêntricas
girando em torno da Terra, que se mantinha imóvel no centro delas. Ele considera que os
corpos caem para chegar ao seu lugar natural. Na antiguidade, consideram-se elementos
primários a terra, a água, ar e fogo. Quanto mais pesado um corpo (mais terra) mais rápido cai
no chão. A água se espalha pelo chão porque seu lugar natural é a superfície da Terra. O lugar
natural do ar é uma espécie de capa em torno da Terra. O fogo fica em uma esfera acima de
nossas cabeças e por isso as chamas queimam para cima.
Pensando de modo diferente, o astrônomo grego Aristarco de Samos (310 -230 a.C.) foi o
primeiro a afirmar que todos os planetas giravam em torno do Sol, deste modo surgiu o
Heliocentrismo (Helio=Sol). Mas Aristarco não teve crédito, pois a sabedoria grega baseava-se
na idéia de que o homem ocupava o lugar central no universo, favorecida pelo geocentrismo
sistematizado pelo astrônomo grego Hiparco (sec. II a.C.).
Resumindo, para os gregos a Terra era concebida como sendo o centro geométrico do
Universo. Em torno da Terra giravam os astros então conhecidos, na seguinte ordem: Lua,
Mercúrio, Vênus, Sol, Júpiter, Saturno a as chamadas estrelas fixas. Cada um desses astros
deveria estar fixo numa esfera concêntrica com a Terra, estando as estrelas fixas na esfera
mais externa.
As esferas giravam ao redor da Terra com um período de revolução característico de cada
astro, sendo o período da esfera que continha as estrelas fixas igual a 24 horas, exatamente o
período que hoje sabemos é o período de revolução da Terra.
Essas hipóteses foram se tornando progressivamente insustentáveis face às observações astronômicas, sofrendo numerosas modificações e correções, e acabaram constituindo as bases da
teoria dos Epiciclo proposta por Ptolomeu, o astrônomo de Alexandria. Ptolomeu explicava o
movimento planetário considerando que:
1) cada planeta descrevia um movimento circular uniforme percorrendo trajetória de pequeno
raio, denominada Epiciclo;
2) por sua vez o centro desse círculo percorria outra circunferência de raio maior, concêntrica
com a Terra
Como resultado final, a órbita descrita por cada planeta era uma curva contínua denominada
Epiciclóide. Com estas considerações, Ptolomeu conseguiu explicar não só qualitativamente,
mas também quantitativamente os movimentos dos planetas.
A teoria proposta por Ptolomeu prevaleceu por cerca de 15 séculos até ser contestada pelo
monge polonês Nicolau Copérnico (1473 / 1543), no século XVI, graças aos seus estudos,a
teoria Heliocêntrica se afirmou.Copérnico registrou em sua obra "Sobre a revolução dos
corpos celestes"("De orbium coelestium revolutionibus"), publicada em 1542, prudentemente
no ano de sua morte, que causou grandes polêmicas e acabou sendo colocada na lista dos
livros proibidos pela Igreja, um sistema em que o Sol era considerado imóvel e a Terra passava
a ser um planeta em movimento com órbitas circulares, como qualquer um dos outros 6, até
então, conhecidos : Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno, nessa ordem.
Galileu Galilei (1564-1642) foi um ardente defensor das idéias copernicanas. Foi o primeiro a
utilizar instrumentos ópticos para observar os movimentos celestes, o que lhe permitiu obter
fortes evidências a favor do sistema planetário heliocêntrico de Copérnico, além de verificar
que a Lua era redonda e possuía crateras
Tycho Brahe (1546-1601) astrônomo dinamarquês registrou vários fenômenos celestes
durante 20 anos e catalogou milhares de estrelas concluindo que os planetas giravam em
torno do Sol e Lua em torno da Terra.
O alemão Johannes Kepler (1571 / 1630), contemporâneo de Galileu e aluno de Tycho Brahe,
herdou os registros das pacientes e precisas observações de seu mestre, que lhe permitiram
enunciar as três leis que explicam definitivamente como os planetas se movem em volta do
Sol.
Hoje sabemos que o Sistema Solar é constituído de 9 planetas : Mercúrio, Vênus, Terra, Marte,
Júpiter, Saturno, Urano, Netuno e Plutão que, nessa ordem, descrevem órbitas elípticas ao
redor do Sol.
As conclusões de Kepler e Galileu foram coroadas pelos estudos de Isaac Newton (1643 /
1727), autor da lei da gravitação universal, que explica a mecânica celeste.
Leis de Kepler
Jonas Kepler
1) Lei das órbitas: "Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol, que ocupa um
dos focos".
A região mais próxima do Sol é chamada periélio, e a mais afastada afélio
Afélio
Periélio
2)Lei das áreas: "0 raio vetor de qualquer planeta (segmento que une o centro do Sol ao
centro do planeta) varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais".
Conclusões:
1-Surge com essa lei um novo conceito de velocidade, a velocidade areolar
2-Se o planeta gasta para ir da posição C até a posição D o mesmo tempo para ir de A até B, já
que a distancia AB é maior que a distancia CD, a velocidade linear no trecho AB é maior que a
no trecho CD. Concluímos então que no periélio movimento do planeta é mais rápido do que
quando o planeta está no afélio. Ou seja, os planetas giram mais depressa quando estão mais
perto do Sol e mais lentamente quando estão mais longe.
Isto foi explicado mais tarde por Newton e acontece porque, quando um planeta se encontra
mais perto do Sol sofre uma força de atração maior do que quando se encontra mais longe.
3-Em trajetórias circulares, a velocidade linear é constante.
4-A energia cinética de translação aumenta do afélio para o periélio, e diminui em sentido
oposto. A energia potencial gravitacional varia de maneira oposta.
3)Lei dos períodos: "Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais
aos cubos dos semi-eixos maiores das respectivas órbitas".
Esta lei diz-nos que quanto mais afastado do Sol estiver o planeta mais tempo demora a dar
uma volta completa ao mesmo. Por exemplo, a terra que está a 1UA do Sol (1unidade
astronômica = distância media entre o Sol e a Terra = 150 x106Km) demora um ano a dar uma
volta completa ao Sol enquanto o planeta mais afastado do Sol (Plutão) demora 248 Anos
terrestres a dar uma volta completa ao Sol e o raio da sua órbita é de 39,4 UA.
T2 / R3 = K (constante)
Onde:
T: período de revolução do planeta
R: raio da órbita do planeta
Considere por exemplo, dois planetas como a Terra e Vênus. Esses dois planetas descrevem
trajetórias quase circulares em torno do Sol e completam uma volta em um intervalo de tempo
chamado ano do planeta, ou período de translação.
Para o caso particular da Terra e de Vênus, se aplicarmos a lei dos períodos, teremos a
seguinte relação matemática:
Obs. As três leis de Kepler são válidas para quaisquer sistemas em que corpos gravitam em
torno de um corpo central. Exemplos: planetas em torno de uma estrela, Lua em torno da
Terra, satélites artificiais em torno da Terra.
Exercício resolvido
Marte tem dois satélites: Fobos, que se move em órbita circular de raio 10000 km e período
3.104 s, e Deimos, que tem órbita circular de raio 24000 km. Determine o período de Deimos
2
Sabemos da Terceira Lei de Kepler que: T  k onde T é o período de translação do planeta
3
e r é a distância média do planeta ao Sol. r
Mas podemos generalizá-la para satélites que orbitam um planeta, desta forma podemos
escrever:
TF2
 K , onde TF é o período orbital de Fobos em torno de Marte e rF é a
rF3
distância média entre Marte e Fobos.
TD2
 K onde TD é o período orbital de Deimos em torno de
Também podemos escrever: ,
rD3
Marte e rD é a distância média entre Marte e Deimos.
TF2 TD2
 3 , portanto temos: , então:
Igualando as duas equações podemos escrever :
rD
rF3
.
TD 
3.10   2,4.10 
10 
4 2
4 3
4 3
 11,4.104 s  1,14.105 s
TF2 .rD3
T  3
rF
2
D
LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
(Isaac Newton)
Newton, apoiado nas idéias de Kepler, observou que os planetas deviam estar sujeitos a uma
força centrípeta, (força de atração para dentro ao contrário de força centrifuga que se exerce
para fora) pois não sendo assim, suas trajetórias não seriam curvas.
Logo Newton concluiu que essa força era devida à atração do Sol sobre os planetas, deduzindo
as Leis de Kepler, que antes disso eram baseadas apenas em observações.
A Lei da Gravitação Universal é uma expressão matemática baseada na força de atração do Sol
nos planetas cujo enunciado é:
“Dois corpos quaisquer se atraem com uma força proporcional ao produto das suas massas e
inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa ."
É expressa matematicamente por:
F = (Gm1m2) / d2
Esta equação foi publicada pela primeira vez em 1687 no seu tratado " Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica"
Onde:
F: força de atração
G: constante de gravitação universal
m1 e m2: massas dos corpos estudados
d: distância entre os corpos
Esta lei estabelece duas relações importantes:
1-Quanto maior a distância entre dois corpos, menor a força de atração, e vice-versa.
2-Quanto maior as massas dos corpos, maior a força de atração, e vice-versa.
A força F1 de atração que o Sol exerce sobre o planeta é maior que F2 porque a distância que o
planeta está do Sol na posição 1 é menor que a distância na posição 2.
Observações Importantes:
1ª) A força gravitacional é sempre de atração
2ª) A força gravitacional não depende do meio onde os corpos se encontram imersos.
3ª) A constante da gravitação universal G teve seu valor comprovado experimentalmente
por Henry Cavendish por meio de um instrumento denominado balança de torção.
Cavendish equilibrou duas esferas de massa m1 e m2 fixadas nas extremidades de uma barra
horizontal a qual foi suspensa por um fio. Ao aproximar das esferas dois outros corpos de
massa M1 e M2, também conhecidas, a barra horizontal girou devido à interação entre as
massas, torcendo o fio de sustentação. Com os dados obtidos, Cavendish confirmou o valor da
constante da gravitação universal.
Questões resolvidas
1- O planeta Marte está a uma distância média igual a 2,3 · 108 km do Sol. Sendo 6,4 · 1023 kg a
massa de Marte e 2,0 · 1030 kg a massa do Sol, determine a intensidade da força com que o Sol
atrai Marte. Dados: G = 6,67 · 10-11 Nm²/kg².
Dados:
d = 2,3 · 108 km,
m1 = 6,4 · 1023 kg
m2 = 2,0 · 1030 kg
Substituindo os dados na equação temos:
F=
F=
F
16,1 · 1020 N
F= 1,6·1021N
2- Dois corpos de massas iguais a m1 e m2, situados à distância D um do outro, atraem-se
mutuamente com força de intensidade F. Qual será a intensidade F' da nova força de interação
nas seguintes situações:
a) a massa m1 se torna 2 vezes maior
b) a massa m2 se torna 3 vezes menor
c) a distância entre os corpos quadriplica.
Primeiro, vamos representar a força F de atração
m1
F
F
m2
D
Depois vamos expressar a força F substituindo as massas m1, m2 e D na fórmula.
Então resolveremos as alternativas.
a)
2m1
F'
F'
m2
F'
m2
3
D
F' =
F' =2 ·
F' = 2F
b)
m1
F'
D
F' =
F' = 1/3 ·
F' = F/3
c)
F 1, 2
F 2, 1
m1
m2
4D
F' = F1,2 =
F' = 1/16
F' = F/16
3- Uma nave interplanetária parte da Terra e dirige-se à Lua numa trajetória retilínea
determinada por um segmento que une o centro da Terra ao Centro da Lua. Sabendo-se que a
massa da Terra MT é aproximadamente igual a 81 vezes a massa da Lua ML, determine o ponto
no qual é nula a intensidade da força gravitacional resultante que age na nave devido às ações
exclusivas da Lua e da Terra
Representaremos as forças sobre a nave
MT
F T FT
nave F
L
M
FL
ML
d-x
x
d
Vamos expressar as forças utilizando a equação de Newton
Como a nave está em equilíbrio temos
FT
=
FL
X² = 81(d - x)²
9(d-x) = x
x = 9d/10
9d - 9x = x
10x = 9d
4-Considere três asteróides situados no espaços, conforme as figuras a, b. Determine a força
resultante sobre o asteróide 2. Dados: G = 7,0 .10-11 N.m²/kg²; m1 = 2,8 .1024 kg;m2 = 2,0 .1024
kg; m3 = 2,1 .1024; d = 7,0 .105 km = 7,0 .108 m.
a)
m3
m2
m1
d
d
b)
m3
d
d
m1
m2
PROCEDIMENTO
1. Representar as forças
2e
2, sobre o asteróide 2.
2. Calcular a intensidade das forças
2e
2.
3 Calcular a fora resultante sobre o asteróide 2, utilizando a soma vetorial
a)
m1
F2,1
F1,2
d
F1,2 =
F2,3 =
FR = 2,0 1020 N
F3,2
F2,3
m3
d
=
m2
= 0,8 .1021 = 8,0 .1020 N
F1,2 =
F2,3 =
m2
=
FR
21
20
= 0,6 .10 = 6,0 .10 N
m2
b)
m3
F2,3
F3,2
FR
m2
F3,2
m1
F2,1
F1,2
F1,2
m2
F1,2 = 8,0 .1020 N
F3,2 = 6,0 .1020 N
FR² = F1,2² + F2,3
FR² = (8,0 .1020)² + (6,0 .1020)²
FR² = 64 .1040 + 36 .1040
FR² = 100 .1040 = 1042
FR² =
FR = 1,0 .1021 N
Campo gravitacional
Imagine uma cama elástica plana. Se colocarmos nesta cama uma bolinha de gude,
iremos notar uma deformação quase imperceptível na mesma. Se pusermos agora a
certa distancia da primeira bolinha outra bolinha idêntica, não notaremos nenhuma
interação entre elas. Porém, se colocarmos entre elas uma bola de basquete, notaremos
uma deformação maior na cama, e se a distancia for conveniente poderemos perceber
que as bolinhas de gude irão ser ”sugadas” pela deformação causada pela bola de
basquete , sendo atraídas pela mesma.
Bem, é mais ou menos assim que atua o campo gravitacional. Imagine por exemplo a
Terra como sendo a bola de basquete e duas pessoas como sendo as bolinhas de gude.
Da mesma forma que a bola de basquete deforma a cama, a massa da Terra deforma o
universo criando o que nós chamamos de campo gravitacional terrestre de forma que
nós somos atraídos por essa deformação
Ou seja, a Terra assim como todos os corpos celestes, exerce
uma força de atração gravitacional sobre os corpos localizados
em sua proximidade. Desprezando os efeitos rotacionais do
nosso planeta, podemos assimilar o campo gravitacional do
modo ao lado.Perceba que o vetor campo gravitacional é
sempre convergente.
A intensidade do campo gravitacional pode ser medida pela aceleração gravitacional
adquirida por um corpo de prova no interior do campo. Sua medida é feita utilizando-se
da Lei de Newton, em que a força gravitacional exercida pelo planeta é o próprio peso
do corpo na posição em que se encontra dentro do campo gravitacional.
Seja um corpo de massa m, dentro do campo gravitacional da Terra, cuja massa
chamaremos M e seu raio, R.
Como o peso do corpo é a força gravitacional com que ele é atraído pela Terra de massa
temos:
P = Fg
m.g = G m M / d2
onde :
g = G. M
d2
que é a equação genérica para o cálculo do campo gravitacional
Campo gravitacional na superfície da Terra
Em se tratando da determinação do campo gravitacional da superfície da Terra (g0), basta
fazemos d = R.Sendo assim a expressão obtida fica:
g0 = G. M
R2
Campo gravitacional em função da altura
A expressão obtida permite a determinação da intensidade do campo gravitacional
adquirida pelo corpo numa certa altura h da superfície da Terra.
g=G M
(R + h)2
Campo de gravidade para pontos internos a Terra
Imaginando a Terra homogênea e esférica, por causa das razões de simetria, veremos que o
campo gravitacional para pontos internos, a uma distância r do centro C da Terra, depende da
densidade do corpo e é diretamente proporcional a esta distancia r do centro.
Aplicando a equação para o cálculo da gravidade temos:
Uma conclusão importante, é que no centro de massa (aproximadamente centro da Terra), a
intensidade do campo gravitacional é nula. Sendo assim, podemos construir um gráfico da
gravidade em função da distancia em relação ao centro.
g
gsTerra = 9,8 m/s2
gs = G. M
R2
O
d
R
Pontos internos
Pontos externos
Observe que para os pontos internos, a gravidade é diretamente proporcional a distancia em
relação ao centro, de forma que o gráfico é uma reta crescente a partir da origem. Já para
pontos externos, a sua intensidade é inversamente proporcional ao quadrado desta distancia,
e para um ponto no infinito note que a curva tende a zero
Influencia do movimento de rotação da Terra na intensidade do campo gravitacional
Vamos determinar a aceleração da gravidade considerando o movimento de rotação da Terra
em torno do seu eixo .
A figura abaixo mostra um corpo de massa m suspenso a um dinamômetro fixo sobre a linha
do equador e visto a partir do Pólo Norte.
As forças que atuam sobre este corpo são:a força gravitacional F e a força elástica Fel , cujo
módulo coincide com o Peso do corpo.
Pelo fato de descrever um movimento circular uniforme, o corpo está sujeito a ação de uma
aceleração centrípeta, o que nos leva a conclusão de que as forças gravitacional e elástica não
se anulam.
Sendo assim temos a partir da mecânica :
Fc = m .V = m  .R
2
2
R
Força elástica
Força gravitacional
Sendo F – Fel = Fc temos :
F - Fel= m 2.R
G. M .m - m .gequador = m 2.R
R2
ou seja, gequador = G. M - 2.R
R2
No Pólo Norte, a rotação da Terra não tem influencia sobre a aceleração da gravidade pois, a
aceleração centrípeta é nula (2.R=0).Então a gravidade fica :
gpólo Norte = G. M
R2
Chegamos então a:
gequador = gpólo Norte -2.R
ANEXO:
Massa, raio, e campo gravitacional na superfície do Sol, dos planetas do Sistema Solar e da
Lua
Astro
Massa ( kg )
Raio ( m )
g ( m/s2 )
30
8
Sol
2,0 x 10
7,0 x 10
274
Mercúrio
3,3 x 1023
2,6 x 106
3,92
24
6
Vênus
4,8 x 10
6,3 x 10
8,82
Terra
6,0 x 1024
6,4 x 106
9,80
23
6
Marte
6,4 x 10
3,4 x 10
3,92
Júpiter
1,9 x 1027
7,2 x 107
26,5
26
7
Saturno
5,6 x 10
6,0 x 10
11,8
Urano
8,6 x 1025
2,7 x 107
9,80
26
7
Netuno
1,0 x 10
2,5 x 10
9,80
22
6
Lua
7,3 x 10
1,7 x 10
1,67
FONTE: Handbook of Chemistry and Physics, da Chemical R. Publishing.
Exercícios resolvidos
1.Um planeta tem o dobro do raio e o dobro da massa da Terra. Se a aceleração da gravidade
na superfície da Terra é g, na superfície do planeta considerado será:
a)g/2
b) 2 g
c) g2
d) g
e) n.d.a.
Sendo
(g)T a intensidade do campo gravitacional na superfície
da Terra,
(g)X a intensidade do campo gravitacional na superfície
do planeta X.
Temos:
gT = G. M
R2
gx = G. 2 M
(2R2)
então,
gx = G. 2 M
4R2
gx = G. M
(2R2)
Alternativa A
gx = gT
2
2. O campo gravitacional na superfície da Terra tem intensidade 10m/s2. Qual a intensidade do
campo gravitacional a uma altura 0,1R, sendo R o raio da Terra?
Sendo: (g)sup = G. M
a intensidade do campo gravitacional na superfície da terra
R2
gh = G M
a intensidade do campo gravitacional a uma altura h da superfície
(R + h)2
gh = G
M
(R + h)2
gh = G. M
1,21R2
gh = G M
(1,1R)2
gh = 0,83 gs gh = 8,3 m/s2
Corpos em órbitas circulares
1.Velocidade de translação do corpo
Para que um satélite de massa m fique em órbita circular de raio d ao redor de um planeta de
massa M é necessário que o satélite seja levado a uma região que prevaleça apenas o vácuo,
possibilitando que atue unicamente a força peso do satélite nessa região (resultado da
interação com o planeta). Sendo assim a força peso é a força resultante no satélite, o qual, por
ser sempre perpendicular à velocidade, age como resultante centrípeta.
Fc = P
2. Energia mecânica
Energia mecânica é a soma das energias cinética e potencial. Vamos agora determinar a
energia mecânica de um corpo em órbita circular. Primeiro vamos determinar a energia
potencial, e a seguir a cinética
A partir da figura vamos determinar a energia mecânica de um corpo de massa m em órbita
circular de raio r em torno de outro corpo de massa M calculando separadamente suas energia
potencial e cinética
m
r
M
Energia Potencial
Define-se como energia potencial gravitacional, a forma de energia que é associada a uma
posição relacionada com um referencial.
Vale lembrar, que a medida que o corpo se afasta a energia potencial aumenta e a cinética
diminui.Sendo assim , para um ponto no infinito, a cinética é mínima(considerada nula) e a
potencial é máxima.
Através da mecânica temos que a equação que permite determinar a intensidade da energia
potencial é dada por Epot = mgh
Sendo a gravidade no ponto determinada por G. M e considerando h = r temos:
r2
Epot = m. G. M .r de onde concluímos que Epot = G. M.m
r2
r
Porém, podemos perceber pela equação que quanto maior a distancia, a energia potencial
tende a zero. Mas,se no infinito a potencial é máxima, como ficamos?
A conclusão é que já que no infinito a potencial é máxima e tende a zero, o zero é o valor
máximo da energia potencial o que faz com que os outros valores sejam negativos em relação
ao infinito. Desta forma, a equação fica como:
Epot = - G. M.m
r
A energia potencial negativa significa que em qualquer ponto do campo, a energia potencial é
menor do que no infinito.
Podemos dizer também que para mover os corpos que se atraem onde a energia do campo é
zero, ou seja, para o infinito, é necessário que corpo externo do campo, proporcione energia
aos corpos.
Portanto se considerarmos a energia potencial do campo como -20J, consequentemente um
corpo externo irá proporcionar 20J da energia para levá-los para o infinito.
Energia cinética
Energia cinética é a energia associada a um corpo em movimento em relação a um referencial.
È determinada matematicamente por Ec = m.v2
2
Sendo assim , a energia mecânica associada a este corpo em órbita circular é dada por:
EM = m.v2 - G. M.m
2
r
Velocidade de escape
Ônibus espacial
É comum vermos nos noticiários, que a NASA colocou um satélite em órbita da Terra ou lançou
uma sonda para estudar os planetas do sistema solar. Para fazer com que objetos sejam
lançados no espaço, a NASA e outras agências espaciais trabalham com o consumo mínimo de
energia necessário para que tenham um menor custo no lançamento desses objetos.
Para isso é necessário saber qual a velocidade mínima para que um objeto, lançado a partir da
superfície da Terra, se livre da atração gravitacional.
A condição imposta para que a velocidade seja mínima é que o corpo atinja o infinito com
velocidade igual a zero (v = 0)
Desprezando as forças dissipativas, podemos aplicar a conservação da energia mecânica:
“a energia mecânica de um sistema permanece constante quando este se movimenta sob a
ação de forças conservativas e eventualmente de outras formas que realizam trabalho nulo”
Ou seja: EM = Ec + Ep
Para um corpo na superfície da Terra temos:
Ec = m.v2
e
Epot = - G. M.m
2
r
Onde:
m = massa do corpo
M = massa da Terra – M = 6,0x1024 kg
R = Raio da Terra – R = 6,4x106m
G = constante universal da gravitação – G = 6,67x10-11 N.m2/kg
Ec = energia cinética
Ep = Energia potencial Gravitacional
Para um corpo no infinito temos:
Ec = 0 e EPot = 0
Como a energia mecânica é conservada, ficamos com:
m.v2 - G. M.m = 0
2
r
m.v2 = G. M.m
2
r
Isolando a velocidade ao quadrado e simplificando as massas (m), temos:
Extraindo a raiz quadrada nos dois termos da equação, temos que
esc
Sabendo que a constante gravitacional G é igual a 6,67x10-11 N.m2/kg, que a massa (M) da
Terra é igual a 6,0x1024 kg e que o raio (R) da Terra é 6,4x106m, chegamos ao resultado:
Dividindo por 103, temos que a velocidade de escape é de:
v = 11,3 km/s
Essa é a velocidade necessária para que um corpo se livre do campo gravitacional da Terra.
Como vemos, a velocidade de escape de um corpo, lançado a partir da superfície da Terra, não
depende da massa (m) desse corpo.
Exercícios resolvidos
1.(FFP) Supondo a Terra perfeitamente esférica e desprovida de atmosfera, qual deverá ser a
velocidade de um corpo para que, lançado, horizontalmente, entre em órbita circular
rasante?(Dados: raio da Terra = R = 6400km.
g próximo à superfície: 10m/s2)
6,4.106.10
V= 8103m/s
v = 8 km/s
2. Um projétil é lançado, radialmente, a partir da superfície da Terra com velocidade inicial
igual à metade da velocidade de escape. Sabendo que o raio da Terra é R e desprezando-se sua
rotação, determine a altura radial, em relação à superfície da Terra, atingida pelo projétil.
a) 4/3 de R
b) 7/8 de R
c) R/3
d) 5/8 de R
e)2/3 de R
Vamos, primeiramente, calcular a velocidade de escape. Por definição, essa
velocidade é aquela mínima necessária para um objeto fugir do campo gravitacional
de outro corpo. No caso do planeta terra, segundo o teorema da energia cinética,
temos:
-GmM/R = ΔEc ⇔ -GmM/R = m(0²-v²)/2 ⇔ GM/R = v²/2 ⇔ v = √(2GM/R)
Sabendo que a velocidade de lançamento é igual à metade de v e que a velocidade do
projétil é nula no auge de sua trajetória, consoante o teorema da conservação da
energia mecânica, temos:
-GmM/R+m(v/2)²/2 = -GmM/(R+h) ⇔ -GmM/R+m(2GM/4R)/2 = -GmM/(R+h) ⇔
-GmM/R+GmM/4R = -GmM/(R+h) ⇔ -3GmM/4R = -GmM/(R+h) ⇔ R+h = 4R/3 ⇔
h = 4R/3-R = R/3
Alternativa C
Leitura Complementar I
Variação da aceleração gravitacional na Terra
Cientistas geofísicos também podem usar os dados da sonda para investigar o que ocorre nas
entranhas profundas da Terra, especialmente naqueles pontos susceptíveis a terremotos e
erupções vulcânicas.[Imagem: ESA/GOCE]
Cientistas fazem mapa da gravidade da Terra
Jonathan Amos/BBC - 29/06/2010
Variações na gravidade
Cientistas criaram um mapa da força da gravidade na superfície terrestre, mostrando as
diferentes influências desta força física ao redor do planeta.
O modelo, conhecido como geóide, define onde estão os níveis da gravidade na superfície
terrestre em relação a uma média, indicando onde ela é mais forte ou mais fraca.
Os cientistas afirmam que os dados podem ser usados em inúmeras aplicações, entre elas nos
estudos de mudança climática, para ajudar a entender como a grande massa de oceanos
movimenta o calor ao redor da Terra.
Embora comumente estabelecida em 9,8 metros por segundo ao quadrado (m/s2) a gravidade
terrestre na verdade varia entre 9,78 m/s2 no equador, até 9,83 m/s nos pólos.
Mapa da gravidade terrestre
O mapa da gravidade foi desenhado a partir de medições precisas realizadas pela sonda
espacial Goce, sigla formada a partir das iniciais da sonda exploradora de campo gravitacional
e equilíbrio estacionário.
A sonda Goce circula na órbita terrestre a uma altitude de pouco mais de 250 km da superfície
- a órbita mais baixa de um satélite de pesquisa em operação. Com um desenho futurístico, ela
é também uma das mais belas sondas espaciais já lançadas..
A Goce carrega três pares de blocos de platina dentro de seu gradiômetro - o aparelho que
mede o campo magnético da Terra - capazes de perceber acelerações leves da gravidade
sentida na superfície - 1 parte em 10.000.000.000.000.
Em dois meses de observação, o satélite mapeou diferenças quase imperceptíveis na força
exercida pela massa planetária em diferentes pontos do globo.
O mapa define, em um determinado ponto, a superfície horizontal na qual a força da
gravidade ocorre de maneira perpendicular a ele. Estas inclinações podem ser vistas em cores
que marcam como os níveis divergem da forma elíptica da Terra.
No Atlântico Norte, perto da Islândia, o nível se situa a cerca de 80 metros sobre a superfície
do elipsóide. No Oceano Índico, esse nível está 100 metros abaixo.
Os cientistas dizem que o mapa permitirá aos oceanógrafos definir como seria a forma dos
oceanos se não houvesses marés, ventos e correntes marítimas. Subtraindo a forma do
modelo, ficam evidentes estas outras influências.
Esta informação é crucial para criar modelos climáticos que levem em conta como os oceanos
transferem energia ao redor do planeta
veja www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=aquecimento-globalnao-vai-causar-era-gelo-europa&id=010125100330
A sonda Goce circula na órbita terrestre a uma altitude de pouco
mais de 250 km da superfície - a órbita mais baixa de um satélite
de pesquisa em operação. Com um desenho futurístico, ela é
também uma das mais belas sondas espaciais já lançadas.
[Imagem: ESA]
Geóide
Há outros usos para o geóide. O modelo fornece um sistema universal para comparar
altitudes em diferentes partes da Terra, à semelhança dos aparelhos de nivelamento que, na
construção, revelam aos engenheiros para onde um determinado fluido corre naturalmente
dentro de um tubo ou cano.
Cientistas geofísicos também podem usar os dados da sonda para investigar o que ocorre nas
entranhas profundas da Terra, especialmente naqueles pontos susceptíveis a terremotos e
erupções vulcânicas.
"Os dados da Goce estão mostrando novas informações no Himalaia, na África Central, nos
Andes e na Antártida", explica o coordenador da missão da ESA, Rune Floberghagen.
"São lugares bem inacessíveis. Não é fácil medir variações de alta frequência no campo
gravitacional da Antártida com um avião, porque há poucos campos aéreos a partir dos quais
operar."
Combustível
A altitude extremamente baixa da Goce deveria limitar a utilização da sonda por no máximo
mais dois anos. Entretanto, níveis relativamente baixos de atividade solar produziram
condições atmosféricas calmas, fazendo o satélite consumir menos combustível que o
estimado.
A equipe acredita que a sonda poderia ser utilizada até 2014, quando a falta de combustível
desaceleraria a missão, obrigando-a a sair de órbita, queimando-se na atmosfera.
O novo mapa foi apresentado em um simpósio sobre observação terrestre em Bergen, na
Noruega, onde também estão sendo apresentados dados recolhidos por outras missões da
Agência Espacial Europeia (ESA, na sigla em inglês).
Antes do fim da década, cerca de 20 missões da ESA, totalizando cerca de 8 bilhões de euros,
serão lançadas para observar o espaço através de sondas espaciais.
Fonte: http://www.inovacaotecnologica.com.br
Leitura Complementar II
Por que a água tem sentido de rotação horário no Hemisfério Sul e anti-horário no
Hemisfério Norte ao penetrar no ralo de uma pia?
Uma molécula de água A sofre os efeitos das forças Fg1 e Fc1 , deslocando-se conforme a
direção dessas forças.
Esses mesmos efeitos aparecem nas moléculas de ar nos movimentos dos tufões.
Influências Sobre as Correntes Marítimas nos Oceanos
Nos oceanos, as moléculas de água sofrem influência das forças:
- Força de Gravidade Fg1 no sentindo Oeste-Leste, sendo máximo no Equador;
- Força Centrífuga Fc2 sempre na direção do Equador;
- efeito de temperatura;
- efeito dos ventos nas moléculas da superfície; e
- maré.
As duas primeiras fazem com que as correntes tenham sempre um movimento horário no
Hemisfério Sul e anti-horário no Hemisfério Norte.
As forças Fg1 e Fc1 deverão ajudar bastante no estudo das correntes marítimas, principalmente
a primeira, por ser ainda desconhecida pela ciência atual. Para a ciência, são forças fictícias e
denominada Força de Coriolis
Leitura Complementar III
Imponderabilidade
É comum vermos astronautas e objetos nesse estado de "levitação" ou de "ausência de peso"
quando no espaço. Isso ocorre porque o conjunto nave e astronautas se encontra em órbita ao
redor da Terra, em constante queda livre
Na verdade, o termo "ausência de peso" é impreciso. A Lei da Gravitação Universal de Newton
declara que a força de atração gravitacional F entre a Terra e o conjunto (nave, astronautas e
equipamentos) continua a atuar e que a sua intensidade varia com o inverso do quadrado da
distância d entre a Terra e a nave, ou seja, F = k/d2. Isso significa que, com o aumento da
distância, o valor da força gravitacional (peso) sobre o astronauta diminui, mas não é nulo! Um
astronauta que pese 800 Newtons na superfície terrestre tem seu peso reduzido para,
aproximadamente, 720 Newtons quando em órbita na ISS(estação espacial internacional).
Descontados os efeitos da rotação terrestre, seu peso é diminuído somente em 10%. Portanto,
a sensação de "levitar" ocorre não por "ausência de peso", mas, sim, porque a nave e tudo o
que se encontra no seu interior caem com a mesma velocidade vetorial e estão submetidos à
mesma aceleração durante a queda.
Essa sensação pode ser experimentada, aqui na Terra, quando uma pessoa sentada no
carrinho de uma montanha-russa "despenca" de uma determinada altura. Durante aqueles
poucos segundos de queda, a pessoa continua sentindo o puxão gravitacional .Porém ela e o
assento estão submetidos à mesma aceleração gravitacional (g). Dessa forma, a pessoa não
exerce compressão sobre o assento e tem a sensação de estar "flutuando".
Vale a pena conferir o site www.marcospontes.net, em que o astronauta brasileiro descreveu
as experiências que foram realizadas na estação espacial internacional e responde a algumas
curiosidades, entre elas, como utilizar o banheiro e garantir que "nada" fique flutuando
indevidamente pela cabine devido à imponderabilidade no espaço!
Fonte : UOL educação
Exercícios
01. O cometa de Halley atingiu, em 1986, sua posição mais próxima do Sol (periélio) e, no ano
de 2023, atingirá sua posição mais afastada do Sol (afélio).
Assinale a opção correta:
a) Entre 1986 e 2023 o cometa terá movimento uniforme.
b) Entre 1986 e 2023 a força gravitacional que o Sol aplica no cometa será centrípeta.
c) Ao atingir o afélio, no ano de 2023, a energia potencial gravitacional do sistema Sol-cometa
será máxima.
d) A energia potencial gravitacional do sistema Sol-cometa foi máxima no ano de 1986.
e) No ano de 2041 a energia potencial do sistema Sol-cometa será máxima.
02. (FUND. CARLOS CHAGAS) um satélite da Terra move-se numa órbita circular, cujo raio é 4
vezes maior que o raio da órbita circular de outro satélite. Qual a relação T1/T2, entre os
períodos do primeiro e do segundo satélite?
a) 1/4
b) 4
c) 8
d) 64
e) não podemos calcular a razão T1/T2, por insuficiência de dados.
03. Os cientistas que se seguem deram importantes contribuições para nosso conhecimento
atual do movimento dos planetas:
1. Copérnico
2. Ptolomeu
3. Keple
Se os nomes desses homens forem arranjados em ordem do começo de suas contribuições,
com a primeira contribuição colocada antes, a ordem correta será:
a) 1, 2, 3
b) 2, 3, 1
c) 3, 1, 2
d) 1, 3, 2
e) 2, 1, 3
04. Considere uma estrela em torno da qual gravita um conjunto de planetas. De acordo com a
1ª lei de Kepler:
a) Todos os planetas gravitam em órbitas circulares.
b) Todos os planetas gravitam em órbitas elípticas em cujo centro está a estrela.
c) As órbitas são elípticas, ocupando a estrela um dos focos da elipse; eventualmente, a órbita
pode ser circular, ocupando a estrela o centro da circunferência.
d) A órbita dos planetas não pode ser circular.
e) A órbita dos planetas pode ter a forma de qualquer curva fechada.
05. (PUC - RJ) Um certo cometa se desloca ao redor do Sol. Levando-se em conta as Leis de
Kepler, pode-se com certeza afirmar que:
a) a trajetória do cometa é uma circunferência, cujo centro o Sol ocupa;
b) num mesmo intervalo de tempo Dt, o cometa descreve a maior área, entre duas posições e
o Sol, quando está mais próximo do Sol;
c) a razão entre o cubo do seu período e o cubo do raio médio da sua trajetória é uma
constante;
d) o cometa, por ter uma massa bem menor do que a do Sol, não á atraído pelo mesmo;
e) o raio vetor que liga o cometa ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais.
06. (CESGRANRIO) A força da atração gravitacional entre dois corpos celestes é proporcional
ao inverso do quadrado da distância entre os dois corpos. Assim é que, quando a distância
entre um cometa e o Sol diminui da metade, a força de atração exercida pelo Sol sobre o
cometa:
a) diminui da metade;
b) é multiplicada por 2;
c) é dividida por 4;
d) é multiplicada por 4;
e) permanece constante.
07. Considere um corpo A de massa 20kg. Para que este corpo atraia o planeta Terra com uma
força de 50N, sua distância à superfície terrestre deve ser aproximadamente igual:
a) ao raio da Terra;
b) ao dobro do raio da Terra;
c) ao quádruplo do raio da Terra;
d) à metade do raio da Terra;
e) a um quarto do raio da Terra.
08. Explorer 7 é um satélite artificial norte-americano em órbita elíptica, cuja distância ao
centro da Terra varia entre 4150 e 5500 milhas. Comparada com a velocidade à distância de
5500 milhas, sua velocidade à distância de 4150 milhas é:
a) maior, na razão 4150 para 1;
b) maior, na razão 5500 para 4150;
c) a mesma;
d) menor, na razão 4150 para 5500;
e) menor, na razão 1 para 5500.
09. (FEEPA) Se considerarmos que a órbita da Terra em torno do Sol seja uma circunferência
de raio R e que V e G sejam, respectivamente, o módulo da velocidade orbital da Terra e a
constante de gravitação universal, então a massa do Sol será dada por:
a) R V2 / G
b) G V2 / R
c) V2 / R G
d) R G / V2
e) V2 R G
10. Um satélite espacial encontra-se em órbita em torno da Terra e, no seu interior, existe uma
caneta flutuando.
Essa flutuação ocorre porque:
a) ambos, o satélite espacial e a caneta encontram-se em queda livre;
b) a aceleração da gravidade local é nula;
c) a aceleração da gravidade, mesmo não sendo nula, é desprezível;
d) há vácuo dentro do satélite;
e) a massa da caneta é desprezível, em comparação com a do satélite.
11. Um satélite (S) gira em torno de um planeta (P) numa órbita circular. Assinale, dentre as
opções abaixo, aquela que melhor representa a resultante das forças que atuam sobre o
satélite.
12. Baseando-se nas leis de Kepler pode-se dizer que a velocidade de um planeta:
a)
independe de sua posição relativamente ao sol;
b) aumenta quando está mais distante do sol;
c)
diminui quando está mais próximo do sol;
d) aumenta quando está mais próximo do sol;
e)
diminui no periélio.
Gabarito
01 - C
02 - C
03 - E
04 - C
05 - E
06 - D
07 - A
08 - B
09 - A
10 - A
11- B
12 - D