Geometria plana

Geometria plana.
Resumo teórico e exercícios.
3º Colegial / Curso Extensivo.
Autor - Lucas Octavio de Souza
(Jeca)
Relação das aulas.
Página
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
Aula
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
-
Conceitos iniciais................................................................ 02
Pontos notáveis de um triângulo......................................... 18
Congruência de triângulos.................................................. 28
Quadriláteros notáveis........................................................ 38
Polígonos convexos............................................................ 48
Ângulos na circunferência................................................... 62
Segmentos proporcionais................................................... 74
Semelhança de triângulos................................................... 84
Relações métricas no triângulo retângulo........................... 98
Relações métricas num triângulo qualquer....................... 112
Circunferência e círculo..................................................... 126
Inscrição e circunscrição de polígonos regulares............. 136
Áreas das figuras planas................................................... 146
Considerações gerais.
Este estudo de Geometriade Plana tem como objetivo complementar o curso que
desenvolvo com os alunos de 3º Colegial e de curso pré-vestibular. Não tem a
pretensão de ser uma obra acabada e, muito menos, perfeita.
Autorizo o uso pelos cursinhos comunitários que se interessarem pelo material,
desde que mantenham a minha autoria e não tenham lucro financeiro com o
material. Peço, entretanto que me comuniquem sobre o uso. Essa comunicação
me dará a sensação de estar contribuindo para ajudar alguém.
Peço a todos, que perdoem eventuais erros de digitação ou de resolução e que me
comuniquem sobre esses erros, para que possa corrigí-los e melhorar este trabalho.
Meu e-mail - [email protected]
Um abraço.
Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Jeca 01
Geometria plana
Aula 01
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Reta, semirreta e segmento de reta.
Definições.
a) Segmentos congruentes.
Dois segmentos são congruentes se têm a mesma medida.
A
B
reta AB
A
B
semirreta AB
A
B
A
B
semirreta BA
b) Ponto médio de um segmento.
Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao
segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.
segmento AB
c) Mediatriz de um segmento.
É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio
II) Ângulo.
A
Definições.
a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de
mesma origem.
a
O
b) Ângulos congruentes.
Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma
medida.
B
OA - lado
OB - lado
O - vértice
ângulo AOB ou ângulo
c) Bissetriz de um ângulo.
É a semirreta de origem no vértice do ângulo que divide
esse ângulo em dois ângulos congruentes.
a
IIa) Unidades de medida de ângulo.
a) Grau.
A medida de uma volta completa é 360º.
b) Radiano.
A medida de uma volta completa é 2p radianos.
º - grau
' - minuto
" - segundo
1º = 60'
1' = 60"
Um radiano é a medida do ângulo central de uma
circunferência cuja medida do arco correspondente é
igual à medida do raio da circunferência.
IIb) Classificação dos ângulos.
Definições.
a) Ângulos complementares.
É o par de ângulos cuja soma das medidas é 90º.
a = 0º - ângulo nulo.
0º < a < 90º - ângulo agudo.
a = 90º - ângulo reto.
90º < a < 180º - ângulo obtuso.
a = 180º - ângulo raso.
b) Ângulos suplementares.
É o par de ângulos cuja soma das medidas é 180º.
IIc) Ângulos formados por duas retas paralelas
cortadas por uma reta transversal.
t
a
r
b
r // s
e
s
f
h
g
d
c
a) Ângulos correspondentes (mesma posição).
exemplo - b e f.
Propriedade - são congruentes.
b) Ângulos colaterais (mesmo lado).
exemplo de colaterais internos - h e c.
exemplo de colaterais externos - d e g.
Propriedade - são suplementares (soma = 180º)
c) Ângulos alternos (lados alternados).
exemplo de alternos internos - b e h.
exemplo de alternos externos - a e g.
Propriedade - são congruentes.
Jeca 02
III) Triângulos.
vértice
lado
e
i - ângulo interno
e - ângulo externo
i
Num mesmo
vértice, tem-se
O ângulo externo
de qualquer polígono
convexo é o ângulo
formado entre um
lado e o
prolongamento do
outro lado.
i + e = 180º
Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, a soma das
medidas dos 3 ângulos internos
é 180º.
b
a) quanto aos lados:
- triângulo equilátero.
- triângulo isósceles.
- triângulo escaleno.
b) quanto aos ângulos:
- triângulo retângulo.
- triângulo obtusângulo.
- triângulo acutângulo.
2) Em todo triângulo, a medida de
um ângulo externo é igual à soma
das medidas dos 2 ângulos
internos não adjacentes.
b
a
a + b + g = 180º
a
Classificação dos triângulos.
Ângulo externo.
e
e=a+b
g
e3
3) Em todo triângulo, a soma das
medidas dos 3 ângulos externos
é 360º.
e1
4) Em todo triângulo isósceles,
os ângulos da base são congruentes.
Observação - A base de um
triângulo isósceles é o seu lado
diferente.
e1 + e2 + e3 = 360º
e2
a
a
Exercícios.
01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.
a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42"
c) 90º - 61º 14' 44"
(GeoJeca)
e) 4 x (68º 23' 54")
(GeoJeca)
d) 136º 14' - 89º 26' 12"
(GeoJeca)
f) 3 x (71º 23' 52")
(GeoJeca)
(GeoJeca)
b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39"
(GeoJeca)
Jeca 03
III) Triângulos.
vértice
lado
e
O ângulo externo
de qualquer polígono
convexo é o ângulo
formado entre um
lado e o
prolongamento do
outro lado.
i - ângulo interno
e - ângulo externo
i
Num mesmo
vértice, tem-se
i + e = 180º
Propriedades dos triângulos.
1) Em todo triângulo, a soma das
medidas dos 3 ângulos internos
é 180º.
b
a) quanto aos lados:
- triângulo equilátero.
- triângulo isósceles.
- triângulo escaleno.
b) quanto aos ângulos:
- triângulo retângulo.
- triângulo obtusângulo.
- triângulo acutângulo.
2) Em todo triângulo, a medida de
um ângulo externo é igual à soma
das medidas dos 2 ângulos
internos não adjacentes.
b
a
a + b + g = 180º
a
Classificação dos triângulos.
Ângulo externo.
e
e=a+b
g
e3
3) Em todo triângulo, a soma das
medidas dos 3 ângulos externos
é 360º.
e1
4) Em todo triângulo isósceles,
os ângulos da base são congruentes.
Observação - A base de um
triângulo isósceles é o seu lado
diferente.
e1 + e2 + e3 = 360º
e2
a
a
Exercícios.
01) Efetue as operações com graus abaixo solicitadas.
a) 48º 27' 39" + 127º 51' 42"
c) 90º - 61º 14' 44"
(GeoJeca)
e) 4 x (68º 23' 54")
(GeoJeca)
(GeoJeca)
48º 27' 39"
127º 51' 42"
175º 78' 81"
= 4 x 68º 4 x 23' 4 x 54" =
89º 60'
175º 78' 81"
= 272º 92' 216" =
89º 59' 60"
- 61º 14' 44"
28º 45' 16"
175º 79' 21"
176º 19' 21"
4 x (68º 23' 54") =
90º
= 272º 95' 36" =
Resposta
Resposta
= 273º 35' 36"
b) 106º 18' 25" + 17º 46' 39"
d) 136º 14' - 89º 26' 12"
(GeoJeca)
Resposta
f) 3 x (71º 23' 52")
(GeoJeca)
3 x (71º 23' 52") =
136º 14'
- 89º 26' 12"
106º 18' 25"
17º 46' 39"
123º 64' 64"
= 3 x 71º 3 x 23' 3 x 52" =
= 213º 69' 156" =
135º 74'
- 89º 26' 12"
123º 64' 64"
= 213º 71' 36" =
123º 65' 04"
124º 05' 04"
Resposta
135º 73' 60"
- 89º 26' 12"
46º 47' 48"
= 214º 11' 36"
Resposta
Jeca 03
Resposta
(GeoJeca)
g) 125º 39' 46"
4
(GeoJeca)
h) 118º 14' 52"
3
i)
(GeoJeca)
j)
125º 12' 52"
5
90º
13
(GeoJeca)
(GeoJeca)
03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento
02) Determine o ângulo que é o dobro do seu complemento.
(GeoJeca) em 54º
(GeoJeca)
04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu
suplemento e o triplo do seu complemento é igual a
54º.
(GeoJeca)
05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o
complemento da quarta parte do maior. Determine as
medidas desses ângulos.
(GeoJeca)
06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Determine esses ângulos sabendo que o suplemento do
maior é igual ao complemento do menor.
(GeoJeca)
07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento
da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento.
(GeoJeca)
Jeca 04
2'
125º 12'' 52"
= 25º 02' 34"
5
j)
120"
52"
172" 5
-15
34"
22
-20
2" (resto)
12
0"
(GeoJeca)
90º
13
90º
-78
12º
13
0'
6º
72
º=
2
1
90º
= 06º 55' 23"
13
Resposta
120"
52"
172" 3
-15
57"
22
-21
1" (resto)
Resposta
720' 13
-65 55'
70
-65
05'
5'
0"
12
0'
12'
12' 5
-10 2'
2'
125º 5
-10
25º
25
-25
0º
118º 14' 52"
= 39º 24' 57"
3
(GeoJeca)
125º 12' 52"
5
60'
14'
74' 3
-6
24'
14
-12
2'
2'
=
180"
46"
226" 4
-20
56"
26
-24
2" (resto)
Resposta
=
i)
118º 3
-9
39º
'
28
60
=
-27
1º
1º
(GeoJeca)
0"
125º 39' 46"
= 31º 24' 56"
4
h) 118º 14' 52"
3
30
18
0"
60'
39'
99' 4
-8
24'
19
-16
3'
3'
=
125º 4
-12
31º
'
05
60
=
-4
1º
1º
(GeoJeca)
=
g) 125º 39' 46"
4
300" 13
-26
23"
40
-39
1" (resto)
Resposta
03) Determine o ângulo que excede o seu suplemento
02) Determine o ângulo que é o dobro do seu complemento.
(GeoJeca) em 54º
(GeoJeca)
x = 2.(90 - x)
x = (180 - x) + 54
x = 180 - 2x
x = 180 - x + 54
3x = 180
2x = 234
x = 60º (resp)
x = 117º (resp)
04) Determine o ângulo cuja diferença entre o seu
suplemento e o triplo do seu complemento é igual a
54º.
(GeoJeca)
05) Dois ângulos são suplementares. O menor é o
complemento da quarta parte do maior. Determine as
medidas desses ângulos.
(GeoJeca)
(180 - x) - 3.(90 - x) = 54º
x é o menor
180 - x - 270 + 3x = 54
(180 - x) é o maior
2x = 144
x = 90 - [(180 - x)/4]
x = 72º
x - 90 = -(180 - x)/4
Resposta
4x - 360 = -180 + x
3x = 180
x = 60º e (180 - x) = 120º (resp)
06) As medidas de dois ângulos somam 124º. Determine esses ângulos sabendo que o suplemento do
maior é igual ao complemento do menor.
(GeoJeca)
x + y = 124
07) Determine um ângulo sabendo que o suplemento
da sua quinta parte é igual ao triplo do seu complemento.
(GeoJeca)
(180 - x/5) = 3.(90 - x)
x - maior
180 - x/5 = 270 - 3x
y - menor
14x/5 = 90
(180 - x) = (90 - y)
x = 450/14 = (225/7)º
180 - (124 - y) = 90 - y
180 - 124 + y = 90 - y
2y = 34
y = 17º e x = 107º
Resposta
Jeca 04
Resposta
08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.
a)
(GeoJeca)
b)
(GeoJeca)
11
6
º
r
x
r // s
x
41º
s
c)
(GeoJeca)
d) (Tente fazer de outra maneira)
r
x
r
x
53º
53º
r // s
s
39º
(GeoJeca)
r // s
s
39º
e)
(GeoJeca)
f)
(GeoJeca)
r
r
35º
55º
x
62º
r // s
40º
x
s
38º
s
g)
47º
(GeoJeca)
r
h)
(GeoJeca)
28º
54º
x
r // s
88º
º
x
s
126
21º
i)
(GeoJeca)
j)
(GeoJeca)
AB = AC
B
x
73º
A
x
14
º
2
11
3º
C
k) AC = BC
l)
C
x
46º
158º
38º
67º
x
A
B
Jeca 05
08) Em cada figura abaixo, determine a medida do ângulo x.
a)
(GeoJeca)
b)
(GeoJeca)
11
6
º
41º
r
x
r // s
x
41º
s
11
6
º
x + 116 = 180
x = 64º (resp)
x = 41º (resp)
c)
(GeoJeca)
d) (Tente fazer de outra maneira)
r
x
(GeoJeca)
r
x
x
14º
14º
127º
x + 39 + 127 = 180
x = 14º (resp)
t
r // s
53º
39º
53º
r // s
39º
s
39º
r // s // t
x = 14º (resp)
e)
(GeoJeca)
s
39º
f)
(GeoJeca)
r
r
55º
x
93º
40º 87º
t
r // s // t
62º
x
38º
x + 62 + 47 + 35 = 180
x =36º (resp)
g)
(GeoJeca)
r
62º
x
r // s
s
55º
s
35º
x + 93 + 40 = 180
x = 47º (resp)
47º
h)
(GeoJeca)
28º
t
28º
54º
26º
26º
88º
62º
x
r // s // t //u
u
s
x + 126 + 21 = 180
x = 33º (resp)
x
º
126
21º
x = 62º (resp)
i)
(GeoJeca)
j)
(GeoJeca)
AB = AC
B
x
x + 68 + 37 = 180
x = 75º (resp)
73º
A
º
2
11
68º
k) AC = BC
37º
14
3º
46 + y + y = 180
2y = 134
y = 67
x + y = 180
x = 180 - 67
x = 113º (resp)
46º
y
A
73º
x + 73 + 73 = 180
x = 34º (resp)
C
l)
C
x
x
y = 67 + 38
y = 105º
x
y
158º
38º
x + y = 158
x = 158 - 105
x = 53º (resp)
67º
y
B
Jeca 05
10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo
09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus ?
(GeoJeca) equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas
dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.
(GeoJeca)
x
y
x
y
11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.
(GeoJeca)
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das
medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
(GeoJeca)
30º
y
x
x
t
y
z
z
u
t
13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em
m.
(GeoJeca) graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da
figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é
(GeoJeca)
igual a:
x
F
a)
b)
c)
d)
e)
4m
3m
120º
150º
180º
210º
240º
C
D
m
E
B
A
15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retânguuma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e
(GeoJeca)
o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente.
E
A
D
coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triângulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo
ABC.
(GeoJeca)
A
x
F
R
T
Q
25º
B
P
C
Jeca 06
C
B
10) Na figura abaixo, estão representados um triângulo
09) A figura abaixo mostra dois quadrados sobrepostos. Qual é o valor de x + y, em graus ?
(GeoJeca) equilátero e um retângulo. Sendo x e y as medidas
dos ângulos assinalados, determine a soma x + y.
120º
r // s // t
x + y + 90 = 360
120 + x + y = 360
x
(GeoJeca)
60º
x + y = 360 - 120
x + y = 270º (resp)
x + y = 240º (resp)
r
y
x
x
y
y
s
t
11) Na figura abaixo, determinar x + y + z + t.
x + y + z + t + 150 = 360
(GeoJeca)
12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das
medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
(GeoJeca)
150º
y
x + y + z + t = 210º (resp)
x
30º
x+
y
u + x + z + y + t = 180º
z+t
x
(resp)
z
y+t
t
x+z
y
u
z
t
13) Na figura abaixo, calcule o valor de x em função de 14) (IBMEC-SP) Sejam a, b, g, l e q as medidas em
m.
(GeoJeca) graus dos ângulos BAC, ABC, CDF, CEF e DFE da
figura, respectivamente. A soma a + b + g + l + q é
(GeoJeca)
igual
a:
3m = m + y
x
F
y = 2m
a)
b)
c)
d)
e)
y
4m
4m = x + y
4m = x + 2m
y
3m
x = 2m (resp)
120º
150º
180º
210º
240º
q
g
C
l
D
m
E
g
a+g
a
A
l+b
l
b
B
a + b + g + q + l = 180º (resp)
15) (ITA-SP) Em um triângulo de papel ABC fazemos 16) Determine x, sabendo-se que ABCD é um retânguuma dobra PT de modo que o vértice C coincida com lo e que F e E são pontos médios dos lados AB e
(GeoJeca)
o vértice A, e uma dobra PQ de modo que o vértice B AD, respectivamente.
E
A
D
coincida com o ponto R de AP. Sabemos que o triângulo AQR formado é isósceles com ARQ = 100º; calcule as medidas dos ângulos internos do triângulo Se M é ponto médio,
ABC.
(GeoJeca)
A
então MB // DF
40º
100º
x = 25º (resp)
A = 70º
B = 80º
C = 30º (resp)
30º
R
x
T
40º 80º
Q
70º
70º
B
80º
F
M
30º 60º
60º
30º
P
25º
30º
C
Jeca 06
C
25º
B
Geometria plana
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
Exercícios complementares da aula 01.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
(GeoJeca)
a)
(GeoJeca)
b)
57º
r
r
43º
r // s
r //s
x
x
s
s
c)
(GeoJeca)
d)
(GeoJeca)
r
r
45º
45º
r // s
x
62º
r // s
x
62º
s
s
(Resolver de forma diferente da letra c))
(GeoJeca)
e)
(GeoJeca)
f)
r
x
147º
r // s
82º
126º
r
s
r // s
x
80º
g)
(GeoJeca)
s
h)
r
(Resolver de forma diferente da letra g))
(GeoJeca)
r
140º
140º
65º
r // s
65º
r // s
x
x
s
s
150º
150º
i)
(GeoJeca)
42º
j)
(GeoJeca)
r
48º
r
º
40
r // s
5x
-
º
12
r // s
x
s
43º
k)
(GeoJeca)
s
l)
55º
85º
r
135º
x
Jeca 07
(GeoJeca)
s
r // s
x
Geometria plana
Conceitos iniciais de Geometria Plana.
Exercícios complementares da aula 01.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
(GeoJeca)
a)
x
(GeoJeca)
b)
57º
r
r
43º
x + 57 = 180
r // s
r //s
x = 123º (resp)
x
x
57º
s
s
x = 43º (resp)
c)
(GeoJeca)
d)
(GeoJeca)
r
r
45º
45º
t
x
62º
62º
45º
r // s // t
x = 45 + 62
x = 107º
(resp)
r // s
x é ângulo externo
x = 62 + 45
r // s
x
x = 107º (resp)
62º 45º
s
s
(Resolver de forma diferente da letra c))
(GeoJeca)
e)
(GeoJeca)
f)
r
33º
r // s // t
33º
82º
49º
s
126º é ângulo externo
x
147º
t
x + 80 = 126
x = 49º (resp)
x = 46º (resp)
126º
80º
r
49º
r // s
x
80º
g)
(GeoJeca)
s
h)
r
(Resolver de forma diferente da letra g))
(GeoJeca)
r
40º
140º
t
40º
65º
r // s // t // u
25º
y
s
30º
150º
150º
i)
(GeoJeca)
r
j)
-
42º
s
y = 43 + 48
48º
5x - 12 + 42 = 180
r // s
x = 30º (resp)
(GeoJeca)
y
r // s
x + y + 40 = 180
x
x + 91 + 40 = 180
48º
43º
s
l)
x = 49º (resp)
(GeoJeca)
s
r // s
y + 55 + 90 = 180
y = 35º
x + y + 90 = 180
x = 55º (resp)
y = 91º
º
0
y4
5x = 150
k)
(GeoJeca)
r
5x + 30 = 180
5x
x = y + 30
x = 25 + 30
x = 55º (resp)
x
30º
º
12
y + 40 = 65
y = 25
65º
r // s
30º
42º
y
140º
x = 55º (resp)
u
25º
x
s
40º
x = 30 + 25
55º
85º
r
x = 45 + 85
x = 130º (resp)
45º
x
Jeca 07
135º
85º
45º x
m)
(GeoJeca)
r // s
t // u
r
n)
x
r // s
t // u
r
(GeoJeca)
s
43º
t
58º
s
x
u
t
u
o)
(GeoJeca)
p)
(GeoJeca)
52º
62º
79º
x
x
q)
(GeoJeca)
67º
r)
(GeoJeca)
52º
21x
x
18x
15x
81º
s)
(Triângulo isósceles)
AB = AC
A
(GeoJeca)
t)
A
(Triângulo isósceles)
AB = AC
(GeoJeca)
x
38º
138º
B
C
x
C
B
u)
AB = AC
A
(GeoJeca)
v)
(GeoJeca)
152º
y
y
98º
62º
x
x
B
C
x)
AB = BC = CD
(GeoJeca)
z)
(GeoJeca)
AB = BD = DE
D
D
98º
B
E
x
A
x
C
A
Jeca 08
y
B
y
C
m)
(GeoJeca)
r // s
t // u
r
n)
x
r // s
t // u
r
(GeoJeca)
x + 58 = 180
x = 43º (resp)
s
x = 122º (resp)
43º
t
43º
x
58º
x
s
x
o)
(GeoJeca)
p)
(GeoJeca)
52º
x + 62 + 79 = 180
62º
u
t
u
x = 180 - 141
x = 52 + 67
x = 39º (resp)
x = 119º (resp)
79º
x
x
q)
(GeoJeca)
67º
r)
(GeoJeca)
x = 81 + 52
52º
21x + 18x + 15x = 180
21x
x = 133º (resp)
54x = 180
x = 180/54 = (10/3)º (resp)
81º
x
18x
15x
81º
s)
(Triângulo isósceles)
AB = AC
A
(GeoJeca)
t)
A
(Triângulo isósceles)
AB = AC
(GeoJeca)
x
2x + 38 = 180
38º
2x = 142
138º
x = 71º (resp)
42º
42º
B
C
x + 42 + 42 = 180
x = 96º (resp)
x
x
C
B
u)
AB = AC
A
(GeoJeca)
v)
(GeoJeca)
152º
y + 82 + 62 = 180
x + x + 152 = 360
2x = 208
y
y = 36º
y
x = 104º (resp)
62 + 2y + x = 180
62º 82º
x
98º
x = 46º (resp)
x
x
C
B
x)
AB = BC = CD
(GeoJeca)
z)
(GeoJeca)
AB = BD = DE
D
D
98º
=
x = 123º (resp)
16º
41º
E
x
x
C
z
A
Jeca 08
=
41º
82º
=
=
A
z
x + 41 + 16 = 180
=
B
82º
=
y
y
B
y
C
y é ângulo externo
do triângulo ABD
y = z + z = 2z
z = y/2
No triângulo BDE
y + y + z = 180
y + y + y/2 = 180
y = 72º
x + y = 180
x = 108º (resp)
02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)
(GeoJeca)
b)
(GeoJeca)
37
73º
º
116º
x
24º
148º
x
31º
c)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
º
34
x
d)
x
triz
se
bis
1º
128º
10
36º
38º
D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f)
e)
AD e BD são bissetrizes.
A
(GeoJeca)
(GeoJeca)
º
40º
72
D
x
x
D
(GeoJeca)
g)
68º
r
42º
C
B
h)
(GeoJeca)
x
60º
r // s
5y
s
2x
3y
º
x + 30
i)
(GeoJeca)
j)
(GeoJeca)
43º
9x
x
12x
60º
62º
6x
k)
A
B
ABCD é um quadrado.
l)
(GeoJeca)
(GeoJeca)
30º
x
x
11
8
º
D
C
Jeca 09
02) Nas figuras abaixo, determinar o valor de x.
a)
(GeoJeca)
b)
(GeoJeca)
37
73º
º
79º
64º 101º
148 = y + 24
x + 101 + 31 = 180
x = 180 - 132 = 48º
(resp)
116º
y = 124º
y = x + 73
y
x
124 = x + 73
24º
148º
x = 51º (resp)
x
31º
c)
(GeoJeca)
d)
(GeoJeca)
y + 128 + 36 = 180
º
34
x
x + 34 + 79 + 38 = 180
y = 16º
x
x = 180 - 151
52º
x = 29º (resp)
iz
etr
iss
1º
10
38º
79º
b
y
y + 52 + x = 180
128º
16 + 52 + x = 180
x = 112º (resp)
y
36º
38º
D é o ponto de encontro das 3 bissetrizes. f)
e)
z
72
x
x
D
x
42º
C
y
32º
32º
y
(GeoJeca)
g)
(GeoJeca)
2.z + 2.y + 42 = 180
2(y + z) = 180 - 42
2(y + z) = 138
y + z = 69º
D
x
108º
68º
r
z
x = 18º (resp)
º
40º
2 . 32 + 2 . x + 80 = 180
40º
AD e BD são bissetrizes.
A
(GeoJeca)
x + y + z = 180
x + 69 = 180
x = 111º (resp)
B
h)
(GeoJeca)
120º
x = 3y
68º
x + 30 + 2x + 120 = 360
60º
3y + 5y + 68 = 180
3x = 210
8y = 112
r // s
x = 70º (resp)
y = 14º
5y
s
2x
x = 3y = 42º (resp)
3y
º
x + 30
i)
(GeoJeca)
j)
(GeoJeca)
y = 43 + 62
43º
9x
6x + 9x + 12x = 360
y
27x = 360
y = 105º
x
x = 360/27
12x
y = 60 + x
60º
x = (40/3)º (resp)
6x
k)
A
B
ABCD é um quadrado.
l)
(GeoJeca)
x + 75 + 62 = 180
x = 43º (resp)
30º
x + 45 + 45 = 180
x
x = 45º
(GeoJeca)
45º
x = 90º (resp)
45º
x
75º 75º
D
x = y - 60
62º
C
Jeca 09
62º
62º
11
8
º
m)
(GeoJeca)
AC = CD
n)
AB = BC = CD = DE
e
(GeoJeca)
AD = AE
A
D
38
B
º
x
A
x
C
B
o)
E
D
C
AB = BC = CD = DE = EF
e
AE = AF
(GeoJeca)
p)
AB = AC , BD = BE e CE = CF.
(GeoJeca)
B
D
D
F
B
A
x
A
x
44º
E
C
F
E
C
q)
ABC é um triângulo equilátero
e DEFG é um quadrado.
A
r)
BCD é um triângulo equilátero
e ABDE é um quadrado.
B
A
(GeoJeca)
(GeoJeca)
F
G
C
x
x
B
D
E
C
E
s)
CDE é um triângulo equilátero t)
e ABCD é um quadrado.
A
(GeoJeca)
B
E
x
D
BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são
quadrados.
C
A
(GeoJeca)
B
x
D
G
D
A
v)
ACE e BDF são triângulos
equiláteros.
(GeoJeca)
C
B
E
F
C
u)
AB = AC e DE = DF.
(GeoJeca)
A
D
x
70º
x
65º
F
D
E
x)
B
AB = AD = BD = DC e AC = BC.
(GeoJeca)
C
E
z)
A
A
D
F
(GeoJeca)
AB = AC
AD é bissetriz de BÂC
AE é bissetriz de BÂD.
C
x
x
B
B
Jeca 10
38º
E
D
C
m)
(GeoJeca)
AC = CD
n)
AB = BC = CD = DE
e
(GeoJeca)
AD = AE
A
D
x + 38 + 38 + 90 = 180
x = 180 - 166 = 14º (resp)
38
B
x
= =
=
A
x
C
o)
AB = BC = CD = DE = EF
e
AE = AF
(GeoJeca)
p)
x = (180/7)º
E
D
C
7x = 180
(resp)
3x 3x
38º
B
x + 3x + 3x = 180
x
2x
=
º
x
2x
AB = AC , BD = BE e CE = CF.
(GeoJeca)
B
D
A
x
3x
x + 4x + 4x = 180
9x = 180
x = 20º (resp)
44º
F
ABC é um triângulo equilátero
e DEFG é um quadrado.
r)
BCD é um triângulo equilátero
e ABDE é um quadrado.
B
A
(GeoJeca)
x + 60 + 90 = 180
C
x
x = 30º (resp)
E
C
E
s)
CDE é um triângulo equilátero t)
e ABCD é um quadrado.
(GeoJeca)
B
E
60º
=
x
60º
=
x
x + x + 90 + 60 = 180
x = 15º (resp)
D
BFE é um triângulo equilátero, ABFG e BCDE são
quadrados.
C
A
(GeoJeca)
x
B
x + x + 30 = 180
=
x = 75º (resp)
=
D
60º
30º
60º
=
60º
A
v)
ACE e BDF são triângulos
equiláteros.
(GeoJeca)
C
B
E
F
C
u)
AB = AC e DE = DF.
(GeoJeca)
A
D
60º
30º
x
x + 30 + 30 = 180
x
x = 60º
(resp)
x
G
D
y
C
F
A
z + z + y = 180
z = 56º
z + z + x = 180
x = 68º (resp)
=
z
(GeoJeca)
D
E
z
E
A
x
x
3x
C
q)
B
y + y + 44 = 180
y = 68º
z
2x
x
G
y
z
2x
x
A
D
F
=
B
4x
x + 55 + 65 = 180
70º
x = 60º (resp)
x = 120º (resp)
x
x
30º
65º
60º
F
D
E
x)
B
AB = AD = BD = DC e AC = BC.
A
(GeoJeca)
55º
65º
55º
z)
A
x + x + 60 = 360
x
y
=
=
60º
C
2y
y
x
B
4y + 38 + 38 = 180
y = 26º
x + y + 38 = 180
x = 116º (resp)
=
60º
(GeoJeca)
AB = AC
AD é bissetriz de BÂC
AE é bissetriz de BÂD.
x = 150º (resp)
=
60º
F
C
E
38º
B
Jeca 10
x
38º
E
D
C
03) Na figura abaixo, determine x, y e z.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
4x
x
x
37º
2y
z
y
z
05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.
(GeoJeca)
06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo
CBE, determinar x + y.
(GeoJeca)
E
D
z
t
40º
2x
4x
y
y
4x
x
B
A
07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
(GeoJeca)
C
08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x,
sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz
de AOD e OB é bissetriz de AOC.
(GeoJeca)
D
C
E
x
57º
B
A
28º
x
O
F
09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os
mesmos formam uma progressão aritmética de razão
z.
(GeoJeca) 10º.
(GeoJeca)
z + 26º
y
2x
y
2z - 84º
z
Jeca 11
x
03) Na figura abaixo, determine x, y e z.
(GeoJeca)
(GeoJeca)
04) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
4x
x
x
37º
2y
z
y
z
x + 4x = 180
x = 36º
2y = x = 36º
y = 18º
4x = z = 144º
x + 37 = 180
Portanto x = 180 - 37 = 143º
y = 37º (OPV)
z = x = 143º (OPV)
(resp)
(resp)
05) Na figura abaixo, determinar x, y, z e t.
(GeoJeca)
06) Na figura abaixo, sendo BD a bissetriz do ângulo
CBE, determinar x + y.
(GeoJeca)
E
D
z
t
40º
2x
4x
y = 4x
y
4x
x
2x = 40
x = 20º
4x = z = 80º
y + 2x + z = 180
y = 60º
t = y = 60º
(resp)
B
A
C
4x + 4x + x = 180
x = 20º
y = 80º
x + y = 100º
(resp)
07) Na figura abaixo, determinar o valor de x.
(GeoJeca)
08) Na figura abaixo, determinar o valor do ângulo x,
sabendo-se que OD é bissetriz de AOE, OC é bissetriz
de AOD e OB é bissetriz de AOC.
(GeoJeca)
D
57 + x = 90
x = 33º (resp)
C
E
x
57º
B
x
A
2x
4x
x
x
28º
O
F
8x + 28 = 180
x = 19º (resp)
09) Na figura abaixo, determine os valores de x, y e 10) Determinar os valores de x, y e z, sabendo que os
mesmos formam uma progressão aritmética de razão
z.
(GeoJeca) 10º.
(GeoJeca)
z + 26º
y
2x
y
2z - 84º
z
y = x + 10
z = x + 20
x + y + z = 180
x + x + 10 + x + 20 = 180
3x = 150
x = 50º
y = 60º
z = 70º (resp)
z + 26 = 2.z - 84
z = 26 + 84 = 110º
2x + 110 + 26 = 180
x = 22º
y = 2x = 44º (resp)
Jeca 11
x
11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma
(GeoJeca) x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo
(GeoJeca)
inscrito no quadrado ABCD.
E
A
x
t
y
t // s
s
B
z
x
F
v
120º
t
140º
u
D
C
13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz
valor de x.
(GeoJeca) do ângulo BAD. Determine o valor de x.
(GeoJeca)
A
A
x
2x
C
B
D
E
x
B
D
C
15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y
em função de y.
(GeoJeca) em função de x.
5y
(GeoJeca)
D
y
x
y
2y
x
A
17) Na figura abaixo mostre que vale a relação :
a + b = c + d.
r
a
c
C
B
18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles
mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo
formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos
internos.
(GeoJeca)
r // s
b
d
s
(GeoJeca)
19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de
externos de um triângulo é 360º.
(GeoJeca)
(GeoJeca) z.
e2
r
x
y
r // s
e1
z
e3
Jeca 12
s
11) (FUVEST) Na figura abaixo, determine o valor de x. 12) Na figura abaixo, determinar o valor da soma
(GeoJeca) x + y + z + t + u + v, sabendo-se que CEF é um triângulo
x + 20 + 90 = 180
(GeoJeca)
inscrito no quadrado ABCD.
x = 70º (resp)
x
t
s
120º
20º
40º
140º
E
A
x + y = 90
z + t = 90
u + v = 90
x + y + z + t + u + v = 3 . 90
x + y + z + t + u + v = 270º
(resp)
t // s
B
y
z
x
F
v
t
140º
u
D
C
13) Na figura abaixo, AB = AC = BC = CD. Determine o 14) Na figura abaixo, AD = AC = BC e AC é a bissetriz
valor de x.
(GeoJeca) do ângulo BAD. Determine o valor de x.
(GeoJeca)
A
A
x
5x = 180
6x
C
3x
2x
D
=
x = 36º (resp)
=
E
6x = 60º
2x
x
=
B
x x
x + 2x + 2x = 180
=
=
60º
60º 3x
=
=
No triângulo ACD, tem-se
B
x = 10º (resp)
2x
D
C
15) Na figura abaixo, determine a medida do ângulo x 16) (FUVEST) Na figura, AB = BD = CD. Determine y
em função de y.
(GeoJeca) em função de x.
y é ângulo externo
5y
(GeoJeca)
D
y
y = A + C = x + 2x
x
y = 3x (resp)
=
z
2y
x
z = 2y + 5y = 7y
x = y + z = y + 7y
x = 8y (resp)
A
17) Na figura abaixo mostre que vale a relação :
a + b = c + d.
r
a
a
c-a c
b-d
bd
t
r // s // t // u
s
Ângulos alternos internos
c-a=b-d
a + b = c + d (CQD)
C
B
18) Um dos ângulos internos de um triângulo isósceles
mede 100º. Determinar a medida do ângulo agudo
formado pelas bissetrizes dos outros dois ângulos
internos.
(GeoJeca)
u
d
2x
2x
=
x
y
=
(GeoJeca)
100 + 2x + 2x = 180
x = 20º
x + x + y = 180
y = 140º
z é o ângulo agudo
z + y = 180
z = 40º (resp)
100º
x
x
z
y
x
x
19) Mostre que a soma das medidas dos ângulos 20) Na figura abaixo, determinar x em função de y e de
externos de um triângulo é 360º.
(GeoJeca)
(GeoJeca) z.
e
2
e + x = 180
r
1
y
e2 + y = 180
e3 + z = 180
e1
x
t
x
e1 + e2 + e3 + x + y + z = 540
Mas x + y + z = 180
Portanto e1 + e2 + e3 = 540 - 180 = 360º (CQD)
y
y=x+z
x
x = y - z (resp)
z
r // s // t
z
z
e3
Jeca 12
s
21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das
duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
(GeoJeca)
x e y podemos afirmar que :
(GeoJeca)
a) x = y
y
r
b) x = -y
z
s
c) x + y = 90º
A
B
x
x
d) x - y = 90º
e) x + y = 180º
y
t
C
D
u
23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor
de z e t o sêxtuplo de z.
(GeoJeca)
(GeoJeca) em graus de x + y ?
z
40º
y
x
x
y
t
80º
25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD
demonstre que vale a relação z - y = x - t.
(GeoJeca) é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do
ângulo CBF é :
D
(GeoJeca)
A
a) 38º
A
b) 27º
c) 18º
d) 19º
e) 71º
z
y
x
B
t
C
D
C
E
B
F
27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que
soma das medidas dos ângulos x, y e z.
(GeoJeca) os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o
(GeoJeca)
triângulo BCE é equilátero.
A
B
A
x
y
x
C
E
z
E
D
B
Jeca 13
C
D
21) Na figura abaixo, o quadrado ABCD é cortado por 22) Na figura abaixo, determinar o valor da soma das
duas retas paralelas, r e s. Com relação aos ângulos medidas dos ângulos x, y, z, t e u.
(GeoJeca)
x e y podemos afirmar que :
(GeoJeca)
a) x = y
y
r
O polígono pode ser
b) x = -y
dividido em 3 triânguz
s
c) x + y = 90º
A
B
los.
x
x
x
d) x - y = 90º
y
S = 3 . 180 = 540
e) x + y = 180º
x + y + z + t + u = 540º
(resp)
y
r // s // t
x + y = 90º
(resp)
t
t
C
D
u
23) Na figura abaixo, calcule o ângulo x, sendo y o triplo 24) (FUVEST-SP) No retângulo abaixo, qual o valor
de z e t o sêxtuplo de z.
(GeoJeca)
(GeoJeca) em graus de x + y ?
180 - z
180 - 3z
x
90 - x + 40 + 90 - y = 90
t = 6.z
u
-x
100º
80º
y
90
x
y = 3.z
90 - y
40º
100 + 180 - z + 180 - 3z = 360
4.z = 100
z = 25º
t = 150º
u = 30º
z
x + y = 130º (resp)
x + u + 100 = 180
x = 50º (resp)
25) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo Â, 26) Na figura abaixo, o ângulo EAB mede 38º, ABCD
demonstre que vale a relação z - y = x - t.
(GeoJeca) é um retângulo e AB é congruente a AE. A medida do
ângulo CBF é :
D
(GeoJeca)
A
a) 38º
A
b) 27º
a a
c) 18º
38º
d) 19º
e) 71º
z
y
x
B
t
C
D
a = 180 - x - y
a = 180 - z - t
Portanto 180 - x - y = 180 - z - t
Então z - y = x - t (CQD)
y + y + 38 = 180
y = 71º
y
y + 90 + x = 180
x = 180 - 90 - 71
x = 19º (resp)
C
y
E
x
B
F
27) Na figura abaixo, sendo AB // DE, determinar a 28) Determinar a medida do ângulo x, sabendo-se que
soma das medidas dos ângulos x, y e z.
(GeoJeca) os triângulos ABE e CDE são isósceles e que o
(GeoJeca)
triângulo BCE é equilátero.
A
B
y
x
C
=
A
x
a
x + x + 90 = 180
E
D
=
=
x
a + b = 180º (ângulos colaterais internos
a + b + x + y + z = 540º
x + y + z = 540 - 180
x + y + z = 360º (resp)
60º
B
Jeca 13
60º
x = 45º (resp)
12
0º
C
30º
=
E
2x = 90
60º 30º
=
b
90º
z
D
29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas
dos ângulos x, y, z, t, u e v.
dos ângulos x, y, z e t.
x
r
v
x
y
y
u
r // s
z
s
t
t
z
31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o
vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura.
dos ângulos x, y, z e t.
Sendo EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x,
y
conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.
A’
z
x
140º
E
A
B
t
D’
x
D
F
C
33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’
medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma
interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é
dobra
de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB
A
x
y
em
relação
a AD, determine a medida do ângulo ADB.
.
igual a
2
A
N
M
x
P
y
B
C
B
C
D
B’
35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE
congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE,
sabendo-se que BAD = 48º.
A
E
B
D
C
Jeca 14
29) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 30) Na figura abaixo, determine a soma das medidas
dos ângulos x, y, z, t, u e v.
dos ângulos x, y, z e t.
x
r
v
x
x+y
y
y
u
r // s // u
t
x
u+v
z
z+t
soma dos ângulos externos
x + y + z + t + u + v = 360º
(resp)
u
s
t
t
x + y + z + t = 180º (resp)
z
31) Na figura abaixo, determine a soma das medidas 32) Um retângulo de papel é dobrado de forma que o
vértice D pertença ao lado BC, conforme a figura.
dos ângulos x, y, z e t.
Sendo
EF a dobra feita, calcule a medida do ângulo x,
y
y-a
conhecendo a medida de 140º do ângulo assinalado.
a
A’
x + x + 50 = 180
x = 65º (resp)
z
b
x
t
140º
E
A
B
40º
50º
t-b
D’
40º
x+y+z+t=x+y-a+a+t-b+b+z
x + y + z + t = (x + y - a + t - b) + (z + a + b)
x
x
x + y + z + t = 360 + 180 = 540 (resp)
50º
D
C
F
33) Na figura, AM = AN, x > y e as reta MN e BC 34) Na figura abaixo, os ângulos ABC, ACB e CAB’
medem respectivamente 30º, 80º e 30º. Sendo AD uma
interceptam-se em P. Mostre que o ângulo MPB é
dobra
de tal forma que o lado AB’ é simétrico do lado AB
A
x
y
em
relação
a AD, determine a medida do ângulo ADB.
.
igual a
2
q
A
q + a + a = 180
q + x + y = 180
Então 2a = x + y
30 + 80 + 30 + 2y = 180
=
=
a
2a = x + y
2x - 2z = x + y
2z = x - y
y
M
a=x-z
2a = 2x - 2z
30 + x + y = 180
30 + x + 20 = 180
a
x
z
y
x = 130º (resp)
C
B
B
30º
x
D
80º
x
30º
z = (x - y)/2 (CQD)
B’
35) Na figura, sendo AB congruente a AC, AE
congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE,
sabendo-se que BAD = 48º.
A
x + y + x é ângulo externo
do triângulo ABD
48º
x + y + x = y + 48
x+
x+
y
B
30º
y
a
a
P
y = 20º
N
y
x
D
2x = 48
y
x = 24º
E
(resp)
y
C
Jeca 14
C
Jeca 15
Respostas dos exercícios da Aula 01
01)
a) 176º 19' 21"
c) 28º 45' 16"
e) 273º 35' 36"
g) 31º 24' 56"
i) 25º 02' 34"
b) 124º 05' 04"
d) 46º 47' 48"
f) 214º 11' 36"
h) 39º 24' 57"
j) 06º 55' 23"
02) 60º
03) 117º
04) 72º
05) 60º e 120º
06) 17º e 107º
07) 225º / 7
08)
a) 41º
f) 36º
k) 113º
b) 64º
g) 62º
l) 53º
c) 14º
h) 33º
d) 14º
i ) 75º
e) 47º
j) 34º
09) 270º
10) 240º
11) 210º
12) 180º
13) 2m
14) c
15) 70º, 80º e 30º
16) 25º
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 16
Respostas dos exercícios complementares da Aula 01
01)
a) 43º
f) 46º
k) 55º
p) 119º
u) 104º
21) c
b) 123º
g) 55º
l) 130º
q) 133º
v) 46º
c) 107º
h) 55º
m) 43º
r) 10º/3
x) 123º
d) 107º
i) 30º
n) 122º
s) 71º
z) 108º
e) 49º
j) 49º
o) 39º
t) 96º
22) 540º
23) 50º
24) 130º
02)
a) 48º
f) 111º
k) 90º
p) 68º
u) 120º
b) 51º
g) 42º
l) 43º
q) 30º
v) 60º
c) 29º
h) 70º
m) 14º
r) 15º
x) 150º
d) 112º
i) 40º/3
n) 180º/7
s) 75º
z) 116º
e) 18º
j) 45º
o) 20º
t) 60º
25) demonstração
26) d
27) 360º
03) 143º, 37º e 143º
28) 45º
04) 36º, 18º e 144º
29) 360º
05) 20º, 60º, 80º e 60º
30) 180º
06) 100º
31) 540º
07) 33º
32) 65º
08) 19º
33) demonstração
09) 22º, 44º e 110º
34) 130º
10) 50º, 60º e 70º
35) 24º
11) 70º
12) 270º
13) 10º
14) 36º
15) x = 8y
16) y = 3x
17) demonstração
18) 40º
19) demonstração
20) x = y - z
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 17
Geometria plana
Aula 02
Pontos notáveis de um triângulo.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
Segmentos notáveis do triângulo.
Mediana - É o segmento que une o vértice ao ponto
médio do lado oposto.
mediana
altura
Mediatriz - É a reta perpendicular ao lado do triângulo
pelo seu ponto médio.
mediatriz
Bissetriz - É a semi-reta de origem no vértice que
divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
M
Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte
do lado oposto.
bissetriz
ponto médio
Todo triângulo tem:
3 medianas
3 bissetrizes
3 mediatrizes
3 alturas
Pontos notáveis do triângulo
B - baricentro
I - incentro
C - circuncentro
O - ortocentro
Baricentro (G).
É o ponto de encontro das 3 medianas do triângulo.
Incentro (I).
É o ponto de encontro das 3 bissetrizes do triângulo.
Propriedade.
Propriedade.
O baricentro divide cada mediana em 2 segmentos.
O incentro é o centro da circunferência inscrita (interO segmento que contém o vértice é o dobro do segmen- na) no triângulo.
to que contém o ponto médio do lado oposto.
O incentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3
(razão 2 : 1)
lados do triângulo.
Observação - As três medianas dividem o triângulo
original em seis triângulos de mesma área.
A
2x
S
S
P
G
x
B
Área de cada triângulo
N
AG = 2.GM
BG = 2.GN
CG = 2.GP
g
g
I
b
S
S
S
S
b
r
a
a
S
r - raio da circunferência inscrita.
C
M
Circuncentro (C).
É o ponto de encontro das 3 mediatrizes do triângulo.
Ortocentro (O).
É o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.
A
Propriedade.
Propriedade.
O circuncentro é o centro da circunferência circunsNão tem.
crita (externa) ao triângulo.
A
O circuncentro é o ponto do plano eqüidistante dos 3
vértices do triângulo.
mediatriz
hA
hB
O
B
h
B
hA
C
B
ponto médio
C
C
hA
hC
R
R - raio da circunferência
circunscrita.
hC
A
hB
O
O
ortocentro
Jeca 18
B
hC
C
3) Num triângulo isósceles, os quatro
ponto notáveis (BICO: baricentro, in1) O baricentro e o incentro sempre centro, circuncentro e ortocentro) esestão localizados no interior do tão alinhados.
mediana
triângulo.
mediatriz
Observações.
bissetriz
altura
2) O circuncentro e o ortocentro
podem estar localizados no exterior
do triângulo.
4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.
ortocentro
circuncentro
mediatriz
C
mediana
G
bissetriz
R
R
C
I
hipotenusa
O
altura
Triângulo eqüilátero.
(importante)
Em todo triângulo eqüilátero, os
quatro pontos notáveis (baricentro,
incentro, circuncentro e ortocentro)
estão localizados num único ponto.
r
l
BICO
R
l
r
r
- lado do triângulo eqüilátero.
r - raio da circunferência inscrita.
R - raio da circunferência circunscrita.
h - altura do triângulo.
l
R = 2r
e
h = 3r
h
r
l
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o que o ponto O é do triângulo.
R
l
l
O
h
r
l
02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está
inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC
mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.
medida do ângulo AOC.
A
A
O
B
O
C
Jeca 19
B
C
3) Num triângulo isósceles, os quatro
ponto notáveis (BICO: baricentro, in1) O baricentro e o incentro sempre centro, circuncentro e ortocentro) esestão localizados no interior do tão alinhados.
mediana
triângulo.
mediatriz
Observações.
4) No triângulo retângulo, o ortocentro é o vértice do ângulo reto e o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa.
ortocentro
bissetriz
altura
2) O circuncentro e o ortocentro
podem estar localizados no exterior
do triângulo.
circuncentro
mediatriz
C
mediana
G
bissetriz
R
R
C
I
hipotenusa
O
altura
Triângulo eqüilátero.
(importante)
r
Em todo triângulo eqüilátero, os
quatro pontos notáveis (baricentro,
incentro, circuncentro e ortocentro)
estão localizados num único ponto.
l
BICO
R
l
r
r
- lado do triângulo eqüilátero.
r - raio da circunferência inscrita.
R - raio da circunferência circunscrita.
h - altura do triângulo.
l
r
l
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é 10 cm, determinar :
a) a altura do triângulo.
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
d) o que o ponto O é do triângulo.
3
2
=
10
cm
R
l
h
O
r
60º
h
co
=
hip
10
a) sen 60º =
R = 2r
e
h = 3r
h
b) r = h/3 = 5 3 / 3 cm
h
10
l
c) R = 2.r = 10 3 / 3 cm
d) O ponto O é o "BICO"
h = 5 3 cm
Baricentro
Incentro
Circuncentro
Ortocentro
02) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está 03) Na figura abaixo, a circunferência de centro O está
inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BAO inscrita no triângulo ABC. Sabendo que o ângulo BOC
mede 33º e que o ângulo ABC mede 56º, determine a mede 126º , encontre a medida do ângulo BAC.
medida do ângulo AOC.
a + q + 126 = 180
2y + 66 + 56 = 180
y = 29º
x + 33 + 29 = 180
x = 180 - 62 = 118º
(resp)
A
A
a + q = 54º
b b
33º 33º
2a + 2q + 2b = 180
2(a + q) + 2b = 180
x
2 . 54 + 2b = 180
O
O
2b = 72º (resp)
28º
28º
B
126º
a
y
a
y
C
Jeca 19
B
q
q
C
04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as
três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do
triângulo.
A
I
C
B
05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
c) o lado do triângulo.
R
l
l
h
r
l
06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos
médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x,
AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n,
determine o perímetro do triângulo BDG, em função de
x, y, z, w, k e n.
A
07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC.
Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os
ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º
e 70º.
A
E
F
E
F
D
B
G
C
Jeca 20
B
D
C
04) Na figura abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo. Utilizando o quadriculado, traçar as três medianas, as
três mediatrizes, as três bissetrizes e as três alturas e determinar o baricentro, o circuncentro e o ortocentro do
triângulo.
A
C
G
I
O
C
B
05) Sabendo-se que a altura de um triângulo equilátero é 3 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo.
b) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
c) o lado do triângulo.
R
a) r = h/3 = 3/3 = 1 cm
3
2
=
co
=
hip
3
h
r
b) R = 2.r = 2 . 1 = 2 cm
c) sen 60º =
l
l
60º
l
h
l
l
l . 3=6
l = 6 3 /3 = 2
3 cm
06) Na figura abaixo, os pontos E, F e G são os pontos
médios dos lados do triângulo ABC. Se AB = 2x,
AC = 2y, BC = 2z, AG = 3w, BE = 3k e FC = 3n,
determine o perímetro do triângulo BDG, em função de
x, y, z, w, k e n.
A
Per = 2p = z + w + 2k (resp)
x
B
D
w
2k
z
G
E
E
k
n
A
58º
y = 52º
2w
F
Ortocentro - encontro das alturas
y + 58 + 70 = 180
y
x
07) Na figura abaixo, F é o ortocentro do triângulo ABC.
Determine a medida do ângulo DFE sabendo que os
ângulos BAC e BCA medem, respectivamente, 58º
e 70º.
y + 90 + x + 90 = 360
y
2n
z
C
Jeca 20
F
x
x = 128º (resp)
70º
y
B
D
C
08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo
equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em
função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e
AE.
C
09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o
mapa da localização faz menção a três grandes árvores
do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de
um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o
segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é
possível localizar o tesouro no local ?
Sibipiruna
Peroba
E
Jatobá
A
B
D
2
10) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos
Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do
ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:
afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) a área do triângulo ABC;
A
b) a área do triângulo AFG;
c) a área do quadrilátero BCAG.
F
A
G
B
D
E
C
E
F
G
( ) G é o baricentro do triângulo ABC.
2
( ) A área do triângulo AEC é 40 cm .
B
2
C
D
( ) A área do triângulo BFG é 40 cm .
12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas
casas, sendo que as casa não são colineares e estão
localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um
poço de modo que ele fique à mesma distância das
três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com
seus conhecimentos de geometria, que sugestão
poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.
13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na
praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa
estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá
ficar a uma mesma distância das três ruas que
determinam a praça.
1
Ru
a3
Rua
Ru
a2
Jeca 21
08) Na figura abaixo, E é o ortocentro do triângulo
equilátero ABC. Sabendo que CD = k, determine, em
função de k, as medidas dos segmentos CE, ED e
AE.
C
09) Um tesouro foi enterrado num campo aberto e o
mapa da localização faz menção a três grandes árvores
do local. O tesouro foi enterrado no terceiro vértice de
um triângulo, onde o jatobá é o primeiro, a sibipiruna é o
segundo e a peroba é o ortocentro do triângulo. Como é
possível localizar o tesouro no local ?
Triângulo equilátero
BICO
S
ED = CD/3 = k/3
CE = AE = 2.ED = 2k/3
(resp)
E
Peroba
P
hS
Jatobá
A
O ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das 3 alturas do triângulo.
hJ
Sibipiruna
T Tesouro
J
JS é um lado do triângulo (J e S são vértices)
A altura hS obrigatoriamente passa por S e pelo ortocentro P.
A altura hS obrigatoriamente faz 90º com o lado oposto a S.
A altura hJ passa por P e faz 90º com o lado oposto a J.
O terceiro vértice do triângulo será o ponto de intersecção das
retas ST e JT.
B
D
2
10) O triângulo ABC da figura tem área 120 cm . 11) No triângulo ABC abaixo, F, D e E são os pontos
Sendo BD = DE = EC e AF = FG = GE, avalie se as médios dos respectivos lados. Sendo 30º a medida do
ângulo BCA, BC = 14 cm e AC = 12 cm, determine:
afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) a área do triângulo ABC;
A
b) a área do triângulo AFG;
c) a área do quadrilátero BCAG.
80/3 F
A
80/3 G
80/3
F
40
2
cm
B
40 G
2
cm
D
Propriedade - Em todo triângulo, as
três medianas dividem o triângulo
original em 6 triângulos menores
de mesma área
A
B
40
D
2
7 cm
G
2
E
2
7 cm
7 cm
2
cm
E
2
F 7 cm
C
E
2
2
7 cm
7 cm
C
B
D
2
a) SABC = (1/2).a.b.sen a = (1/2) . 14 . 12 . (1/2) = 42 cm
C
( F) G é o baricentro do triângulo ABC.
(AE não é mediana)
2
b) SAFG = SABC / 6 = 42/6 = 7 cm
2
2
( V) A área do triângulo AEC é 40 cm .
c) SBCAG = 4 . 7 = 28 cm
(resp)
2
( F) A área do triângulo BFG é 40 cm .
12) Joel, Pedro e Manoel moram em suas respectivas
casas, sendo que as casa não são colineares e estão
localizadas na mesma fazenda. Eles desejam abrir um
poço de modo que ele fique à mesma distância das
três casas. Supondo que a fazenda é “plana”, com
seus conhecimentos de geometria, que sugestão
poderia dar a eles ? Justifique o seu raciocínio.
13) A prefeitura de uma cidade mandou colocar, na
praça central, uma estátua em homenagem a Tiradentes. Descubra, na planta a seguir, em que local essa
estátua deve ser colocada, sabendo que ela deverá
ficar a uma mesma distância das três ruas que
determinam a praça.
mediatriz
Rua
R
1
R
Poço
Ru
a2
r
a3
r
r
Ru
P
O poço deve ser construído no J
circuncentro do triângulo formado
pelas três casas.
O circuncentro é o ponto de encontro das três mediatrizes do triângulo.
O circuncentro é o ponto do plano
equidistante dos três vértices do triângulo.
R
M
A estátua deve ser colocada no incentro do triângulo.
O incentro é o ponto de encontro das três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo.
O incentro é o ponto do plano equidistante dos três lados do triângulo.
Jeca 21
Geometria plana
Pontos notáveis de um triângulo.
Exercícios complementares da aula 02.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;
d) o que o ponto O é do triângulo.
R
k
k
O
h
r
k
02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo
eqüilátero mede 5 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
b) a altura do triângulo;
c) o lado do triângulo;
d) o perímetro do triângulo;
e) o que o ponto O é do triângulo.
03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três
ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, dividem o ângulo ACB em três ângulos congruentes.
Assinale a alternativa correta.
R
l
l
O
04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e
centro O consideram-se, como na figura, os triângulos
equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine
a razão entre a altura de T2 e a altura de T1.
D
R
C
a)
b)
c)
d)
e)
G
T2
P
E
Q
T1
F
r
l
A
S
h
B
P é incentro de algum triângulo construído na figura.
Q é incentro de algum triângulo construído na figura.
R é incentro de algum triângulo construído na figura.
S é incentro de algum triângulo construído na figura.
Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
Jeca 22
O
R
Geometria plana
Pontos notáveis de um triângulo.
Exercícios complementares da aula 02.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Sabendo-se que o lado de um triângulo equilátero é k, determinar :
a) a altura do triângulo;
b) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
c) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo;
d) o que o ponto O é do triângulo.
R
k
k
O
r
60º
a) sen 60º = h/k
Portanto h = k 3 /2
h
k
b) r = h/3 = k 3 / 6
c) R = 2r = k 3 / 3
d)
B - baricentro
I - incentro
C - circuncentro
O - ortocentro
02) Sabendo-se que o raio da circunferência circunscrita de um triângulo
eqüilátero mede 5 cm, determinar :
a) o raio da circunferência inscrita no triângulo;
b) a altura do triângulo;
c) o lado do triângulo;
d) o perímetro do triângulo;
e) o que o ponto O é do triângulo.
a) sen 30º = co =
hip
1
r
=
5
2
r
5
h
c) sen 60º = co =
hip
3
2
=
15
2
b) h = 3.r = 3 . 5/2
h = 15/2 cm
l =5
3 cm
q
C
a)
b)
c)
d)
e)
R
AR é uma bissetriz
CP é uma bissetriz
S é incentro do D ACQ.
(resp. d)
E
P
r
l
l
h2 = 3R
h1 = 3R/2
h2 / h1 = 3R / 3R/2
R T2
h2 / h1 = 2 (resp)
T1
F
r
04) (Unifesp) Numa circunferência de raio R > 0 e
centro O consideram-se, como na figura, os triângulos
equiláteros T1, inscrito, e T2, circunscrito. Determine
a razão entre a altura de T2 e a altura de T1.
Q
q
q
G
5
30º
h
Baricentro
Incentro
Circuncentro
Ortocentro
A
D
l
O
e) O ponto O é o "BICO".
03) Na figura, AG e AF, dividem o ângulo BAC em três
ângulos congruentes. Da mesma forma, CD e CE, dividem o ângulo ACB em três ângulos congruentes.
Assinale a alternativa correta.
a a a
l
Per = 2p = 15 3 cm
l
l 3 = 15
l = 15 3 /3
r = 5/2 cm
S
d) Per = 2p = 3 .
l
R
B
P é incentro de algum triângulo construído na figura.
Q é incentro de algum triângulo construído na figura.
R é incentro de algum triângulo construído na figura.
S é incentro de algum triângulo construído na figura.
Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
R
O
R
O ponto O é o "BICO" dos dois triângulos.
Jeca 22
05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfedos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a
BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do
do triângulo ABC e que BG = 2.GN.
triângulo
ADE.
A
A
N
M
G
I
D
B
E
C
P
C
B
07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os
ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD
das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.
A
C
D
E
B
B
D
A
C
M
RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em
uma semi-circunferência.
09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º. 10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do laDetermine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine
a medida do ângulo BFC.
ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.
A
A
40º
O
D
E
C
B
B
F
C
11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º
inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a mee B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas
dida do ângulo ADC.
alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?
a) 30º
A
b) 45º
c) 60º
d) 90º
e) 120º
D
B
C
Jeca 23
05) Na figura abaixo, os pontos M, N e P são médios 06) Na figura abaixo, o ponto I é o centro da circunfedos lados a que pertencem. Provar que G é o baricentro rência inscrita no triângulo ABC. Sendo DE paralelo a
BC, AB = 8 cm e AC = 11 cm, determinar o perímetro do
do triângulo ABC e que BG = 2.GN.
triângulo
ADE.
A
Se
M,
N
e
P
são
pontos
méA
dios, então AP, BN e CM são
medianas.
Portanto G é baricentro
Seja R o ponto médio
do segmento BG e S o
ponto médio de GC.
MN // BC // RS
MN = RS = BC/2
N
M
G
R
B
S
AB = AD + DB = AD + DI
AD + DI = 8
AC = AE + EC = AE + EI
AE + EI = 11
D
x
x
a
y
I
q
E
y
a
a
C
P
MNSR é um paralelogramo.
BR = RG = GN
Portanto BG = 2.GN (CQD)
11 - y
8-x
q
q
B
C
Per = AD + DI + AE + EI = 8 + 11 = 19 cm (resp)
07) No triângulo ABC da figura, BC = 10 cm e M é o 08) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em C, os
ponto médio de BC. Sabendo que D e E são os pés segmentos AD e DB são congruentes e o ângulo CAD
das alturas BD e CE, determine o valor de EM + DM. mede 65º. Determine a medida do ângulo BDC.
A
C
BM = MC = ME = MD = R = 5
D
R
65º
x = 65 + 65
R
x
65º
R
R
A
R
B
x é ângulo externo
ME + MD = 10 cm
(resp)
E
R
D
R
B
x = 130º (resp)
C
M
RESOLUÇÃO - Todo triângulo retângulo pode ser inscrito em
uma semi-circunferência.
09) No triângulo ABC abaixo, ABC = 70º e ACB = 40º. 10) No triângulo ABC abaixo, D é ponto médio do laDetermine a medida do ângulo BOC, sabendo-se que o do AC e CE é a bissetriz do ângulo ACB. Determine
a medida do ângulo BFC.
ponto O é o ortocentro do triângulo ABC.
A
y + 70 + 40 = 180
y
A
2a + 90 + 40 = 180
y = 70º
E
ADOE é um quadrilátero
D
70º
a = 25º
40º
y + 90 + x + 90 = 360
x
O
x
x = 360 - 250 = 110º (resp)
D
40º
E
C
B
R
F
40º
x
50º
a + x + 50 = 180
25 + x + 50 = 180
R
x = 105º (resp)
a
a
B
C
11) Na figura abaixo, D é o centro da circunferência 12) (Fuvest) Um triângulo ABC, tem ângulos A = 40º
inscrita no triângulo retângulo ABC. Determine a mee B = 50º. Qual é a medida do ângulo formado pelas
dida do ângulo ADC.
alturas relativas aos vértices A e B desse triângulo ?
a) 30º
2a + 2q + 90 = 180
A
A
b) 45º
2(a + q) = 180 - 90
c) 60º
aa
a + q = 45º
d) 90º
e) 120º
h
x
A
x + a + q = 180
D
q
q
B
x = 90º (resp d)
x = 135º (resp)
C
x
Num triângulo retângulo, os dois
C
catetos são duas das três alturas do
triângulo.
Jeca 23
hB
B
13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas
AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que
afirmativa falsa.
A
BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.
A
E
D
F
B
a)
b)
c)
d)
e)
E
C
F é o ortocentro do DABC.
A é o ortocentro do DFBC.
Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.
BF = 2.FE.
O DABC é acutângulo.
B
C
D
15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no
ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do
70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores triângulo.
A
circulares S1, S2 e S3, em função de S.
12
S3
110º
0º
B
D
130º
S1
B
S2
A
C
C
A
O
º
12
0
13
0º
17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 18) Na figura, a circunferência de centro O está
triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen- inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e
tro do triângulo.
ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circunA
ferência.
B
D
110º
B
C
19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os
triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a
mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida
do segmento AD.
A
C
20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for
o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC
é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo
ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a
razão entre x e y.
A
A
D
B
C
P
P
B
Jeca 24
C
B
C
13) Considere o triângulo ABC da figura e assinale a 14) No triângulo ABC da figura abaixo, as medianas
AD e BE são perpendiculares entre si. Sabendo que
afirmativa falsa.
A
BC = 6 e AC = 8, determine a medida de AB.
A alternativa d) é falsa
pois F não é o baricentro e
BE não é uma mediana.
Pitágoras
A
E
2
2
D
F
2
E
F
B
2
2
2
Portanto
2
2
x +y =5
4
2
C
3
D
2
x + 4y = 9
x
3
2
2
5x + 5y = 25
2
x + 4y = 9
y
2y
2
x + (2y) = 3
C
F é o ortocentro do DABC.
A é o ortocentro do DFBC.
Os circuncentros do DBDC e do DBEC coincidem.
BF = 2.FE.
O DABC é acutângulo.
2
2
2
2
4x + y = 16
2
4x + y = 16
4
2x
w
B
a)
b)
c)
d)
e)
2
2
(2x) + y = 4
2
2
2
2
w = (2x) + (2y) = 4x + 4y = 4(x + y ) = 4 . 5 = 20
w = 20 = 2 5
(resp)
15) Na figura abaixo, o círculo inscrito no triângulo 16) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no
ABC tem área S e os ângulos A e B medem 50º e triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o incentro do
70º, respectivamente. Determine as áreas dos setores triângulo.
A
circulares S1, S2 e S3, em função de S.
a + b = 180 - 120
a + b = 60
35º 35º
S3
b
I
a
x
x
C
b
12
2a + 2b + 2q = 180
2(a + b) + 2q = 180
2q = 60
q = 30º
a = 20º
b = 40º
A = 2b = 80º
B = 2a = 40º
C = 2q = 60º
(resp)
S1
S2 q
b
0º
B
110º
I é o incentro do triângulo
(ponto de encontro das bissetrizes)
2x + 50 + 70 = 180
x = 30º
a + 35 + 30 = 180
a = 115º
b + 35 + 25 = 180
b = 120º
q = 125º
25º
S1 = 115 S = 23 S
72
360
25º
A
125
25
S2 =
S=
S
72
360
S3 = 120 S = 1 S
3
360
D
130º
a
a
q
q
B
C
17) Determine as medidas dos ângulos A, B e C, no 18) Na figura, a circunferência de centro O está
triângulo ABC abaixo, sabendo que D é o circuncen- inscrita no setor circular de centro A, raio AB = 15 cm e
ângulo central BAC = 60º. Determine o raio da circuntro do triângulo.
A
ferência.
B
A = 55º
sen 30º =
B = 65º
30º 25º
R
C = 60º
D
110º
R
30º
35º
B
º
12
0º
0
13
(resp)
1
2
D é baricentro
(2 : 1)
B
AE = BE = CE = R
AE = 9 cm
AD = 6 cm (resp)
R
R
15 - R
A
2r = 15 - R
R 25º
30º
15 - R
3R = 15
O
R
15
R = 5 cm (resp)
35º
C
19) O triângulo ABC da figura é retângulo em A e os
triângulos ABD, BCD e ACD são equivalentes (têm a
mesma área). Sendo BC = 18 cm, determine a medida
do segmento AD.
A
Se os triângulos têm
a mesma área, então
AE, BF e CH são medianas.
=
co
R
=
hip
15 - R
S
H
S
S
a + q = 65º
x = 115º
S
S
S
9 cm
20) No triângulo ABC da figura, BAC = 50º. Se P for
o incentro do triângulo ABC, a medida do ângulo BPC
é x; no entanto, se P for o ortocentro do triângulo
ABC, a medida do ângulo BPC é y. Determine a
razão entre x e y.
P é incentro
(bissetrizes)
F
D
C
E
9 cm
A
P é ortocentro
(alturas)
A
50º
y = 130º
25º 25º
90º
C
y 90º
P
P
B
Jeca 24
a
a
x
y
q
q
C
B
C
x/y = 115/130 = 23/26 (resp)
21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e
dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a
a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razão AC / BC.
A
M
A
D
P
B
D
C
C
B
23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos
médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm
e AR = 10 cm, determinar :
a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o
triângulo ABC.
b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.
c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.
24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência
inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo
m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a,
b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o
ângulo ACB.
A
q
A
O
g
N
M
R
B
B
a
C
C
P
25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encontram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os
pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o
triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o
que é a reta FD.
A
F
E
D
B
b
G
C
26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um
segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto
médio do segmento de reta AB e é perpendicular a
esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.
a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância
de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto
B.
b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um
triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângulo.
c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à
reta r não equidista dos extremos do segmento AB.
d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem
se interceptar em três pontos distintos.
e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta
AB em a.
Jeca 25
21) Na figura, ABCD é um retângulo, M é ponto mé- 22) (UFMG) Na figura abaixo, AD = BD, ACD = 60º e
dio de AD e o triângulo BMC é equilátero. Determine o ângulo DAC é o dobro do ângulo DBA. Determine a
a medida do segmento PM, sabendo que BC = 12 cm. razão AC / BC.
A
M
A
D
a
4a + 60 = 180
a = 30º
Portanto
B
2a = 60º
O triângulo ADC é isósceles.
AD = DC = BC
AC / BC = 1/2 (resp)
E
C
B
a
2a
60º
=
P
=
D
C
No triângulo ABD, BM é uma mediana.
Como E é ponto médio de BD, AE também
é uma mediana.
P é o baricentro (encontro das medianas)
BC = BM = 12 cm.
PM = BM / 3 = 12 / 3 = 4 cm (resp)
23) No triângulo ABC ao lado, sendo M, N e P pontos
médios dos respectivos lados e MR = 7 cm, NR = 6 cm
e AR = 10 cm, determinar :
a) O que são os segmentos AP, BN e CM para o
triângulo ABC.
b) Que ponto notável do triângulo é o ponto R.
c) Quais as medidas dos segmentos CR, BR e PR.
24) Na figura ao lado, O é o centro da circunferência
inscrita no triângulo ABC que é retângulo em B. Sendo
m(ACB) = 30º, determinar as medidas dos ângulos a,
b, g e q e dizer o que a semirreta CO significa para o
ângulo ACB.
A
O é o incentro.
Ponto de encontro das bissetrizes.
q
A
10
N
M
7
12
B
6
R
5
30º
a) medianas
b) baricentro
c) CR = 14 cm
BR = 12 cm
PR = 5 cm
(resp)
30º
O
45º
B
b
g
45º
15º
15º a
C
a = 15º
b = 45º
g = 120º
q = 30º
CO é bissetriz
(resp)
14
C
P
25) Na figura abaixo, as retas FD, ED e GD encontram-se no ponto D, e os pontos E, F e G são os
pontos médios dos lados do triângulo ABC. Para o
triângulo ABC, dizer como se denomina o ponto D e o
que é a reta FD.
A
F
E
D
B
G
D é o circuncentro do triângulo.
FD é a mediatriz do lado AB do triângulo. (resp)
C
26) (UEM-PR) Em um plano a, a mediatriz de um
segmeno de reta AB é a reta r que passa pelo ponto
médio do segmento de reta AB e é perpendicular a
esse segmento. Assinale a alternativa incorreta.
a) Tomando um ponto P qualquer em r, a distância
de P ao ponto A é igual à distância de P ao ponto
B.
b) A intersecção das mediatrizes de dois lados de um
triângulo qualquer em a é o circuncentro do triângulo.
c) Qualquer ponto do plano a que não pertença à
reta r não equidista dos extremos do segmento AB.
d) As mediatrizes dos lados de um triângulo podem
se interceptar em três pontos distintos.
e) A reta r é a única mediatriz do segmento de reta
AB em a.
d é incorreta.
As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se no
mesmo ponto, que é denominado circuncentro do triângulo.
(resp)
Jeca 25
Respostas dos exercícios da Aula 02.
01)
a) (5 3 ) cm
b) (5 3 / 3) cm
c) (10 3 / 3) cm
d) Baricentro, Incentro, Circuncentro e Ortocentro.
04)
A
02) 118º
03) 72º
G
I
04) Desenho ao lado.
C
O
05)
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 2 3 cm
C
B
06) 2k + w + z
07) 128º
08) 2k / 3 , k / 3 e 2k / 3
09)
09) Desenho ao lado.
Sibipiruna
Peroba
10) F , V e F
O
11)
2
a) 42 cm
2
b) 7 cm
2
c) 28 cm
Jatobá
tesouro
12) O poço deve localizar-se no circuncentro do
triângulo cujos vértices são as três casas.
13) A estátua deve ser colocada no incentro do
triângulo formado pelas três ruas.
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 26
Respostas dos exercícios complementares da Aula 02.
01)
a) k 3 / 2
b) k 3 / 6
c) k 3 / 3
d) BICO
17) 55º, 65º e 60º
18) 5 cm
19) 6 cm
02)
a) (5 / 2) cm
b) (15 / 2) cm
c) 5 3 cm
d) 15 3 cm
e) BICO
20) 23 / 26
21) 4 cm
22) 1 / 2
23)
a) medianas
b) baricentro
c) 14 cm, 12 cm e 5 cm
03) d
04) 2
05)
A
N
M
S é ponto médio de BG
R é ponto médio de CG
MNRS é um paralelogramo
Portando, SG = GN = BS
Razão 2 : 1
24) 15º, 45º, 120º, 30º e bissetriz
25) circuncentro e mediatriz
26) d
G
S
R
B
C
P
06) 19 cm
07) 10 cm
08) 130º
09) 110º
10) 105º
11) 135º
12) d
13) d
14) 2 5
15) 25 S / 72,
23 S / 72
e
S/3
16) 80º, 40º e 60º
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 27
Geometria plana
Aula 03
Congruência de triângulos.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
A
Dois triângulos são congruentes se têm os lados
dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes.
D
DABC
B
C
Casos de congruência.
1) L.A.L.
2) A.L.A.
3)L.L.L.
4) L.A.AO
5) Caso especial (CE)
Onde:
L - lado.
A - ângulo junto ao lado.
AO - ângulo oposto ao lado.
F
A
D
B
E
C
F
AB
DE
AC
DF
BC
EF
DDEF
E
Caso especial (CE).
Observação.
Dois triângulos retângulos são
A posição de cada elemento do
congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no desecongruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteritriângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência.
do outro triângulo
L.A.L. - dois lados e o ângulo entre
eles.
A.L.A. - dois ângulos e o lado entre
eles.
01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD
são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.
A
D
B
C
02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângulo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.
A
D
B
C
03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmentos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.
A
D
B
C
Jeca 28
Geometria plana
Aula 03
Congruência de triângulos.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
A
Dois triângulos são congruentes se têm os lados
dois a dois ordenadamente congruentes e os ângulos dois a dois ordenadamente congruentes.
D
DABC
B
C
F
Casos de congruência.
1) L.A.L.
2) A.L.A.
3)L.L.L.
4) L.A.AO
5) Caso especial (CE)
A
D
B
E
C
F
AB
DE
AC
DF
BC
EF
DDEF
E
Caso especial (CE).
Observação.
Dois triângulos retângulos são
A posição de cada elemento do
congruentes se têm as hipotenusas triângulo (lado ou ângulo) no desecongruentes e um cateto de um nho é muito importante na caracteritriângulo é congruente a um cateto zação do caso de congruência.
do outro triângulo
L.A.L. - dois lados e o ângulo entre
eles.
A.L.A. - dois ângulos e o lado entre
eles.
Onde:
L - lado.
A - ângulo junto ao lado.
AO - ângulo oposto ao lado.
01) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e os segmentos AD e CD
são congruentes. Prove que os triângulos ABD e CBD são congruentes.
=
A = C = 90º (A) dado do exercício
AD CD (L) dado do exercício
BD BD (L) lado comum
A
D
B
Pelo caso especial (HC), tem-se:
DABD DCBD (CQD)
C
02) Na figura ao lado, A e C são ângulos retos e BD é a bissetriz do ângulo ADC. Prove que os segmentos AB e CB são congruentes.
A
A = C = 90º (A) dado do exercício
ADB CDB (A) BD é bissetriz
BD BD (L) lado comum
D
B
Pelo caso L.A.AO , tem-se:
DABD
DCBD
AB
CB (CQD)
C
03) Na figura ao lado, os segmentos AB e BC são congruentes e os segmentos AD e CD também. Prove que os ângulos A e C são congruentes.
AB
AD
BD
=
BC (L) - dado do enunciado
CD (L) - dado do enunciado
BD (L) - lado comum
Pelo caso L.L.L., tem-se:
D ABD D CBD
A
C
A
D
B
(CQD)
C
Jeca 28
04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é
perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.
A
C
M
D
B
05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e
mediatriz.
A
B
C
H
06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio,
provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.
P
A
B
M
mediatriz
07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os
pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do
segmento AB.
r
O
M
P
s
Jeca 29
04) (importante) Na figura abaixo, AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é
perpendicular à corda AB, então M é ponto médio de AB.
BC = AC = R (L) raio
BMC AMC = 90º (A) perpendicular
CM CM (L) lado comum
Pelo caso especial, tem-se
DBMC
DAMC
Portanto BM AM.
Então M é ponto médio de AB. (CQD)
A
C
M
D
B
05) (Importante) Provar que em todo triângulo isósceles a altura relativa à base também é bissetriz, mediana e
mediatriz.
A
AB AC (L) - triângulo isósceles
AH AH (L) - lado comum
BHA CHA = 90º (A) - AH é altura
Pelo caso especial, tem-se
D ABH D ACH
a) Se D ABH D ACH, então
BH CH
Portanto H é ponto médio
Então AH é mediana
B
C
H
b) Se D ABH D ACH, então
BAH CAH
Portanto AH é bissetriz
c) Se H é ponto médio e
AHB = 90º , então AH é mediatriz de BC.
Observação
Ao provar que os triângulos ABH e ACH são congruentes, prova-se também que em todo triângulo isósceles os
ângulos da base são congruentes. (B C)
06) Sabendo-se que a mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio,
provar que qualquer ponto da mediatriz é eqüidistante das extremidades A e B do segmento.
AMP BMP (A) - da definição de mediatriz
AM MB )L) - da definição de mediatriz
MP MP (L) - lado comum
P
Pelo caso L.A.L., tem-se
D AMP D BMP
AP
A
BP (CQD)
B
M
mediatriz
07) Dadas as retas r e s, e os pontos O, M e P, tal que M seja ponto médio do segmento OP, determine os
pontos, A pertencente a r, e B pertencente a s, de modo que o ponto M também seja ponto médio do
segmento AB.
Seja t // r (por construção)
r
t
A
O
OM MP (L) - dado do enunciado
PBM OAM (A) - ângulos alternos internos
AMO BMP (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.AO , tem-se
M
P
B
D OAM
D PBM
Portanto AM MB
Então M é ponto médio de AB (CQD)
s
Jeca 29
08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são
congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é
isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e
DC são congruentes.
A
09) (UFMG) Observe a figura:
r
A
D
P
B
q
E
O
R
s
B
C
C
Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além
disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR
é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo
interno AOC do quadrilátero AOCB.
10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os
segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os
segmentos DE e FB são congruentes e paralelos
entre si.
11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito
no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH,
BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.
A
A
E
E
B
B
F
H
D
F
C
D
C
G
12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e
segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das
segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC.
são congruentes entre si.
A
A
B
F
E
D
E
D
B
C
Jeca 30
C
08) Na figura abaixo, os segmentos AE e DE são
congruentes. Sabendo-se que o triângulo BCE é
isósceles de base BC, prove que os segmentos AB e
DC são congruentes.
A
09) (UFMG) Observe a figura:
r
AP = PB (L) P é médio
APO = BPO = 90º (A) dado
do exercício
PO = PO (L) lado comum
Pelo caso L.A.L. , tem-se
DAPO = DBPO
A
D
P
a
B
a
E
O
b
AE DE
BE EC
Se AC = AE + EC
B
DB = DE + EB
Pode-se concluir que
AC BD (L) - conclusão acima apresentada
EBC ECB (A) - o triângulo BEC é isósceles
BC BC (L) - lado comum
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABC D CBD
AB
Analogamente, tem-se
DCRO = DBRO
q b
se q = a + b
então 2a + 2b = 2q
s
(resp)
R
C
C
Nessa figura, os segmentos AB e BC são perpendiculares, respectivamente, às retas r e s. Além
disso, AP = PB, BR = CR e a medida do ângulo POR
é q. Determine, em função de q, a medida do ângulo
interno AOC do quadrilátero AOCB.
DC (CQD)
10) Na figura, ABCD é um paralelogramo e os
segmentos AE e CF são congruentes. Prove que os
segmentos DE e FB são congruentes e paralelos
entre si.
11) Na figura abaixo, o quadrado EFGH está inscrito
no quadrado ABCD. Prove que os triângulos AEH,
BFE, CGF e GDH são congruentes entre si.
E
A
A
E
B
90
B
a
-a
90
-a
a
F
H
D
F
AE CF (L) - dado do enunciado
A C (A) - ABCD é um paralelogramo
AD BC (L) - ABCD é um paralelogramo
Pelo caso L.A.L. , tem-se
Portanto DE BF
D ADE
a
C
D
G
HE EF (L) - EFGH é um quadrado
AHE BEF (A) - Propriedade dos triângulos
AEH BFE (A) - Propriedade dos triângulos
D BCF
C
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D BFE
Se AED CFB , então DEB BFD
Portanto DEBF também é um paralelogramo
Então DE é paralelo a BF (CQD)
D AHE
Analogamente, tem-se
(CQD)
DAEH
D BFE
D FCG
D GDH
12) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os 13) Provar que se ABCD é um paralelogramo e AC e
segmentos AE e CF são perpendiculares ao BD são as diagonais, então o ponto de intersecção das
segmento BD. Prove que os segmentos DE e BF diagonais é o ponto médio da diagonal AC.
são congruentes entre si.
A
A
B
F
E
D
E
D
AED CFB = 90º (A) - dado do enunciado
ADE CBF (A) - ângulos alternos internos
AD BC (L) - ABCD é um retângulo
C
D BCF
DE
C
AD BC (L) - ABCD é um paralelogramo
ADB CBD (A) - ângulos alternos internos
AED BEC (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.AO. , tem-se
Pelo caso L.A.AO. , tem-se
D ADE
B
D ADE D BCD
Portanto, AE EC , então o ponto E é médio de AC
e DE EB , então E o ponto E é médio de DB (CQD)
BF (CQD)
Jeca 30
Teorema do ponto exterior.
Consequência do Teorema do ponto exterior.
Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferênDada uma circunferência l e um ponto P, P
exterior a l, se A e B são os pontos de tangência cia a soma das medidas dos lados opostos é
constante.
A
das retas tangentes a l por P, então PA = PB.
B
A
P
l
l
D
PA = PB
C
B
AB + CD = AD + BC
14) Prove o Teorema do ponto exterior.
15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no
triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Determine a medida do segmento CT.
A
P
l
A
S
R
B
B
C
T
16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên- 17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendocia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e
que a distância PB mede 17 cm.
BC = 3x + 1.
A
A
B
C
P
l
D
D
C
E
B
18) Determinar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos
desse trapézio medem 15 cm cada.
A
D
19) Determine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm,
15 cm e 17 cm.
B
C
Jeca 31
Teorema do ponto exterior.
Consequência do Teorema do ponto exterior.
Em todo quadrilátero circunscrito numa circunferênDada uma circunferência l e um ponto P, P
exterior a l, se A e B são os pontos de tangência cia a soma das medidas dos lados opostos é
constante.
A
das retas tangentes a l por P, então PA = PB.
B
A
P
l
l
D
PA = PB
C
B
AB + CD = AD + BC
14) Prove o Teorema do ponto exterior.
15) Na figura abaixo, a circunferência está inscrita no
triângulo ABC, AB = 10, AC = 12 e BC = 14. Determine a medida do segmento CT.
A
P
l
A
14 - x + 12 - x = 10
2x = 16
x=8
CT = x = 8 (resp)
AC = BC = R (L) raio
CAP = CBP = 90º (A) tangente
CP = CP (L) lado comum
R
B
Pelo caso especial, tem-se
DACP = DBCP
Portanto PA = PB (CQD)
12
S
x
-x
B
10
14
Teorema do ponto exterior
12
-
x
C
C
x
T
14 - x
14
16) Na figura abaixo, A, B e D são pontos de tangên- 17) Determine o valor de x na figura abaixo, sabendocia. Determinar o perímetro do triângulo CEP, sabendo se que AB = 2x + 2, CD = 4x - 3, AD = 3x - 2 e
que a distância PB mede 17 cm.
BC = 3x + 1.
A
A
17 cm
x
B
C
l
P
AB + CD = AD + BC
2x + 2 + 4x - 3 = 3x - 2 + 3x + 1
Teorema do
ponto exterior
6x - 1 = 6x - 1
Para qualquer x real
x
D
y
y E
B
AP = BP = 17
AP = AC + CP = DC + CP = 17
BP = BE + EP = DE + EP = 17
D
Analisando a condição de existência
4x - 3 = 0
Então x > 3/4
S = {x R | x > 3/4} (resp)
C
Per = 2p = DC + CP + DE + EP = 17 + 17 = 34 cm
(resp)
18) Determinar a medida da base média de um trapézio isósceles sabendo-se que os lados não paralelos
desse trapézio medem 15 cm cada.
x
B
17
15
M
15
N
Teorema do
ponto exterior
15 -
x
Teorema do
ponto exterior
x
x
A
19) Determine a medida do raio da circunferência inscrita no triângulo retângulo cujos lados medem 8 cm,
15 cm e 17 cm.
Base média de trapézio
D
15 - x
MN = AB + CD = x + x + 15 - x + 15 - x
2
2
30
MN =
= 15 cm (resp)
2
15 - x
C
15 - R + 8 - R = 17
2R = 6
R = 3 cm (resp)
Jeca 31
8-
R
8-R
-R
R
R
15 - R
R
R
Geometria plana
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
Congruência de triângulos.
Exercícios complementares da aula 03.
(São João da Boa Vista - SP)
01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo
CDM.
A
D
M
B
C
02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M
também é ponto médio do segmento BD.
A
D
M
B
C
03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os
segmentos AB e CD são congruentes.
A
D
M
B
C
04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.
A
D
M
B
C
05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os
segmentos AC e AD são congruentes.
C
A
B
D
Jeca 32
Geometria plana
Congruência de triângulos.
Exercícios complementares da aula 03.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Na figura abaixo, M é ponto médio de AC e de BD. Provar que o triângulo ABM é congruente ao triângulo
CDM.
A
D
M
B
AM MC (L) M é ponto médio
BM MD (L) M é ponto médio
AMB CMD (A) OPV
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABM D CDM (CQD)
C
02) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento AC e os ângulos A e C são congruentes. Provar que M
também é ponto médio do segmento BD.
A
D
M
B
AM MC (L) - dado do enunciado
A C (A) - dado do enunciado
AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABM D CDM
BM MD
Portanto M é ponto médio de BD (CQD)
C
03) Na figura abaixo, M é ponto médio do segmento BD e os ângulos A e C são congruentes. Provar que os
segmentos AB e CD são congruentes.
A
D
M
BM MD (L) - dado do enunciado
A C (A) - dado do enunciado
AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
Pelo caso L.A.AO. , tem-se
B
C
D ABM
D CDM
AB
CD (CQD)
04) Na figura abaixo, M é ponto médio dos segmentos AC e BD. Provar que as retas AB e CD são paralelas.
A
D
AM MC (L) - M é ponto médio de AC
BM MD (L) - M é ponto médio de BD
AMB CMD (A) - ângulos opostos pelo vértice
M
B
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABM D CDM
B D
Se B e D são ângulos alternos internos, então AB // CD (CQD)
C
05) Na figura abaixo, AB é bissetriz do ângulo CAD e os ângulos ACB e ADB são congruentes. Prove que os
segmentos AC e AD são congruentes.
C
CAB DAB (A) - AB é bissetriz
ACB ADB (A) - dado do enunciado
AB AB (L) - lado comum
A
B
Pelo caso L.A.AO. , tem-se
D ABC
D
D ABD
Jeca 32
AC
AD (CQD)
06) Na figura abaixo, AC
FD e BD
CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.
F
A
G
B
D
C
E
07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD
também é um triângulo isósceles.
CE, provar que ABC
A
B
E
D
C
08) Na figura abaixo, DAC
tes.
BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruenC
D
A
B
E
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC,
respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é
eqüilátero.
A
F
D
B
E
C
Jeca 33
06) Na figura abaixo, AC
FD e BD
CE. Provar que o triângulo DCG é isósceles.
F
A
BD = CE do enunciado
Portanto BD + DC = CE + DC
BC = ED (L) conclusão acima
AC = FD (L) do enunciado
B = E = 90º (A) da figura
G
B
D
C
Pelo caso especial, tem-se
DABC = DFED
Os ângulos ACB e EDF são congruentes
Então o triângulo DCG é isósceles (CQD)
E
07) Na figura abaixo, ADE é um triângulo isósceles de base DE. Sabendo-se que BD
também é um triângulo isósceles.
CE, provar que ABC
A
AD AE (L) - triângulo isósceles
BD CE (L) - dado do enunciado
BDA CEA (A) - o triângulo ADE é isósceles
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D ABD D ACE
AB AC
Portanto o triângulo ABC é isósceles (CQD)
B
E
D
C
08) Na figura abaixo, DAC
tes.
BAE, ADE ABC e AD AB. Provar que os triângulos ABC e ADE são congruenC
D
DAC
A
BAE
BAC
DAE (Têm o mesmo incremento DAB)
BAC DAE (A) - Resultado da análise acima
ABC ADE (A) - dado do enunciado
AB AD - dado do enunciado
B
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABC D ADE (CQD)
E
09) Na figura abaixo, ABC é um triângulo eqüilátero e os pontos D, E e F pertencem aos lados AB, BC e AC,
respectivamente. Sabendo-se que os segmentos AF, BD e CE são congruentes, provar que o triângulo DEF é
eqüilátero.
Se AF
A
F
BD , então AD
CF
BE = (AC - AF)
AF BD CE (L) - dado do enunciado
AD CF BE (L) - Resultado da análise acima
A B C = 60º (A) - o triângulo ABC é equilátero
Pelo caso L.A.L. , tem-se
D AFD D CEF D BDE
FE ED DF
Portanto o triângulo DEF é equilátero (CQD)
D
B
CE
E
C
Jeca 33
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos
desse losango.
B
k
k
M
A
C
k
k
D
11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do
outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.
A
B
F
L
E
J
G
D
K
C
M
H
12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado
e vale a metade desse terceiro lado.
A
E
D
B
C
13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às
bases e vale a semi-soma dessas bases.
A
E
D
B
F
C
Jeca 34
10) Provar que em todo losango as diagonais são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos
desse losango.
B
k
Nos triângulos ABM e ADM, tem-se
AB AD (L) losango
AM AM (L) lado comum
BM MD (L) o losango é um paralelogramo
k
M
A
C
k
Pelo caso L.L.L. , tem-se
D ABM
D ADM
Se os ângulos BAM e DAM são congruentes, então AM é bissetriz.
Se AMB AMD e BMD = 180º, então AMB = AMD = 90º (CQD)
k
D
11) Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. O centro do quadrado ABCD localiza-se no vértice E do
outro quadrado. Prove que os triângulos EJL e EKM são congruentes.
A
B
F
LEJ MEK (A) - propriedade dos triângulos
EJ EK (l) - dado do enunciado
EJL EKM = 90º (A) - dado da figura
L
a
E
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D EJL D EKM (CQD)
J
90 - a
a
D
K
G
C
M
H
12) Provar que em todo triângulo, o segmento que une os pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado
e vale a metade desse terceiro lado.
Seja FC // AB
A
Sejam D, E e F pontos colineares
AE EC (L) - E é ponto médio de AC
ADE CFE (A) - ângulos alternos internos
AED CEF (A) - ângulos opostos pelo vértice
F
E
D
Pelo caso A.L.AO. , tem-se
D ADE
B
D CFE
CF
AD e DE
EF
Mas, AD DB porque D é ponto médio.
Então AD BD CF
Se CF BD e CF // BD , então BCFD é um paralelogramo.
C
BC
DF e DE
EF , entãoDE // BC e DE = BC / 2 (CQD)
13) Provar que em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos é paralelo às
bases e vale a semi-soma dessas bases.
A
B
BF FC (L) - F é ponto médio de BC
ABF GCF (A) - ângulos alternos internos
AFB CFG (A) - ângulos opostos pelo vértice
E
F
Pelo caso A.L.A. , tem-se
D ABF D GCF
AB
G
D
C
CG e AF
FC (F é ponto médio de BC).
Então EF é base média do triângulo ADG.
Portanto, pela propriedade da base média do triângulo (exercício anterior)
tem-se
EF // DC // AB e EF = DC + CG = AB + DC (CQD)
2
2
Jeca 34
Jeca 35
Respostas dos exercícios da Aula 03.
Observação - Dependendo dos dados, um exercício
pode ser provado por mais de um caso de
congruência. Levando em conta essa possibilidade
nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi
considerado o caso de congruência mais evidente.
07)
Resolução
Seja BP // OA
r
OM = MP (L) - por hipótese
OMA = PMB (A) - OPV
01) Caso especial (CE)
A
02) L.A.AO.
O
AOM = BPM (A) - alternos
internos
P
M
Pelo caso A.L.A., temos
DOAM = DPBM
03) L.L.L.
B
04) Caso especial
Portanto AM = MB
CQD
s
05) É possível provar por vários casos.
06) L.A.L.
07) Demonstração ao lado.
08) L.A.L.
09) Pelo caso L.A.L. prova-se que os triângulos
APO e BPO são congruentes.
Pelo mesmo caso, prova-se que os triângulos
BRO e CRO também são congruentes.
AOP = BOP = a e COR = BOR = b
Portanto AOC = 2q
10) L.A.L.
11) A.L.A.
12) L.A.AO.
13) L.A.AO.
14) Caso especial (Una o ponto P ao centro)
15) 8
16) 34 cm
A
17) S = {
x
R
x>3/4}
18) 15 cm
19) 3 cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 36
Respostas dos exercícios complementares da Aula 03.
Observação
Dependendo dos dados, um
exercício pode ser provado por mais de um caso de
congruência. Levando em conta essa possibilidade
nas respostas aqui registradas, em cada caso, foi
considerado o caso de congruência mais evidente.
Demonstração do exercício nº 13.
A
B
F
E
01) LAL
D
02) ALA
C
A
B
03) LAAO
F
E
04) LAL
D
05) LAAO
G
C
AFB
CFG (A) (opostos pelo vértice)
BF
FC (L) (F é ponto médio de BC)
BAF
CGF (A) (alternos internos)
06) Caso especial
07) LAL
Pelo caso LAAO, temos:
e AB
CG
08) ALA
DABF
DCGF
> AF
Considerando apenas o triângulo ADG, temos:
09) LAL
A
10) LLL
11) ALA
F
E
Demonstração do exercício nº 12.
A
A
G
D
E
D
E
D
B
C
F
DG = DC + CG = DC + AB
Pelo teorema demonstrado no exercício 12, temos:
C
B
EF // AB // CD
Seja CF // AB (por construção)
>
DAE
FCE (alternos internos)
> AE CE (E é ponto médio)
AED
CEF (opostos pelo vértice)
Pelo caso ALA, temos: DADE
Mas D é ponto médio de AB
Se BD //CF e BD
Mas DE
EF
> CF
e
EF = AB + CD
2
(CQD)
> CF
AD
AD
DB
> BCFD é um paralelogramo
CF
> DF // BC e DF
DCFE
C
>
BC
BC
> DE = 2
e
DE // BC
(CQD)
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 37
FG
Geometria plana
Aula 04
Quadriláteros notáveis.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Trapézio.
É o quadrilátero que tem
dois lados paralelos.
a + b = 180º
base menor
base maior
A altura de um trapézio é
a distância entre as retas
suporte de suas bases.
b
b
b
a
a
Trapézio
retângulo
II) Paralelogramo.
É o quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
A
B
b
A
h
D
B
b
a
C
b
B
h
IV) Losango.
É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
a
Trapézio
escaleno
III) Retângulo.
É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos
congruentes e iguais a 90º.
C
A
a
a
Trapézio
isósceles
AB // CD
e
AD //BC
D
b
h
AB // CD
e
AD // BC
C
b
V) Quadrado.
É o quadrilátero que tem
os lados congruentes e
todos os ângulos internos
congruentes (90º).
45º
D
Propriedades dos quadriláteros notáveis.
1) Em todo paralelogramo as diagonais cortam-se nos 2) Em todo losango as diagonais são:
respectivos pontos médios.
a) perpendiculares entre si;
b) bissetrizes dos ângulos internos.
A
B
B
M
y y
D
A
C
x
x
x
x
C
y y
M é ponto médio de AC
e
M é ponto médio de BD.
D
3) Base média de trapézio.
4) Base média de triângulo.
Em todo trapézio, o segmento que une os pontos
Em todo triângulo, o segmento que une os pontos
médios dos dois lados não paralelos, é paralelo às médios de dois lados é paralelo ao 3º lado e vale a
bases e vale a média aritmética dessas bases.
metade desse 3º lado.
A
A
B
MN // AB // CD
e
MN = AB + CD
2
N
M
MN // BC
e
MN = BC
2
M
base média
D
N
base média
C
B
Jeca 38
C
01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x
e a medida da diagonal BD.
A
A
B
7
2x
cm
cm
B
2x
k
+
1
7
cm
12
02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x
e a medida da diagonal BD.
D
C
x
+
k
5
D
C
03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o 04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a
valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos
ângulos a, b, c e d.
a medida da diagonal BD.
B
d
B
A
x
a
A
-4
C
b
c
2 cm
1
58º
7
3y
D
D
cm
C
05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon- 06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero
ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.
sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.
A
A
D
B
D
B
N
M
N
M
P
L
P
L
C
C
07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo
interno de um paralelogramo sabendo-se que dois
ângulos internos consecutivos desse paralelogramo
estão na razão 1 : 3.
08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com
medidas iguais, então todos os seus ângulos internos
têm medidas iguais.
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se
usar como exemplo a figura denominada:
a) triângulo equilátero;
b) losango;
c) trapézio;
d) retângulo;
e) quadrado.
Jeca 39
01) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x
e a medida da diagonal BD.
A
A
B
7
x + 5 = 2x + 1
2x
cm
2x
k
x = 4 (resp)
cm
B
+
1
7
cm
12
02) No paralelogramo abaixo, determinar o valor de x
e a medida da diagonal BD.
D
C
x
"Em todo paralelogramo as diagonais
cortam-se nos respectivos pontos médios."
2x = 12
Portanto x = 6 cm e BD = 24 cm (resp)
+
5
k
D
C
03) No paralelogramo ABCD abaixo, determinar o 04) No losango ABCD abaixo, conhecendo-se a
valor de x, o valor de y, a medida da diagonal AC e medida do ângulo BDC, determinar as medidas dos
ângulos a, b, c e d.
a medida da diagonal BD.
B
x-4=7
x = 11 cm
B
A
x
2 cm
-4
d
3y = 12
y = 4 cm
a
A
b
1
7
3y
AC = 2 . 7
AC = 14 cm
cm
D
BD = 2 . 12
BD = 24 cm
C
C
c
58º
a + 58 + 90 = 180
a = 32º
b = 2a = 64º
c = 90º
d = 2 . 58 = 116º
D
05) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pon- 06) Na figura, L, M, N e P são, respectivamente, os pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero tos médios dos lados AB, BC, CD e DA do quadrilátero
ABCD. Determinar o perímetro do quadrilátero LMNP ABCD. Provar que LMNP é um paralelogramo.
A
sabendo-se que AC = 6 cm e BD = 10 cm.
A
P
L
P
L
B
C
C
LP é a base média do triângulo ABD
MN é a base média do triângulo BCD
Portanto LP = MN = BD/2 = 10/2 = 5 cm
LM é a base média do triângulo ABC
PN é a base média do triângulo ACD
Portanto LM = PN = AC/2 = 6/2 = 3 cm
Per = 2 . 3 + 2 . 5
Per = 16 cm
(resp)
07) (Unifesp) Determine a medida do menor ângulo
interno de um paralelogramo sabendo-se que dois
ângulos internos consecutivos desse paralelogramo
estão na razão 1 : 3.
3x
x
N
M
N
M
D
B
D
LP é a base média do triângulo ABD.
MN é a base média do triângulo BCD.
Portanto LP // MN e LP = MN = BD/2
LM é a base média do triângulo ABC.
PN é a base média do triângulo ACD.
Portanto LM //PN e LM = PN = AC/2
Portanto LMNP é um paralelogramo (CQD)
08) (UERJ) Se um polígono tem todos os lados com
medidas iguais, então todos os seus ângulos internos
têm medidas iguais.
Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se
usar como exemplo a figura denominada:
a) triângulo equilátero;
b) losango;
c) trapézio;
d) retângulo;
e) quadrado.
x + 3x = 180º - ângulos colaterais internos
4x = 180
x = 180/4
x = 45º (resp)
b) Losango
O losango tem todos os lados com medidas iguais mas os seus
ângulos internos não necessariamente têm medidas iguais.
Portanto, o losango contraria a afirmação acima. (resp)
Jeca 39
09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e
BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados
AB e AC, respectivamente, determine a medida do perímetro do trapézio BCED.
10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm
e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos
lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as
medidas dos segmentos DE, DF e EF.
A
A
D
E
D
B
11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.
Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e
BC, respectivamente, determinar o perímetro do quadrilátero BDEF.
C
E
C
B
F
12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede
8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F
são os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determine a medida da base média EF.
A
B
A
E
F
E
D
C
D
B
C
F
13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor 14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede
AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a
BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, medida da base menor AB.
respectivamente, determinar os perímetros dos trapéB
A
zios ABFE e CDEF.
B
A
F
E
F
E
D
C
C
D
15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm. 16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm
Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e
medidas da base menor AB e da base maior CD.
BC, respectivamente. Determinar as medidas dos segmentos
EH, EF, GH e FG.
B
A
B
A
E
G
D
F
E
H
F
G
H
C
D
Jeca 40
C
09) No triângulo ABC abaixo, AB = 8 cm, AC = 12 cm e
BC = 10 cm. Sendo D e E pontos médios dos lados
AB e AC, respectivamente, determine a medida do perímetro do trapézio BCED.
10) No triângulo ABC abaixo, AB = 16 cm, AC = 14 cm
e BC = 18 cm. Sendo D, E e F os pontos médios dos
lados AB, BC e AC, respectivamente, determinar as
medidas dos segmentos DE, DF e EF.
A
A
BD = AB / 2 = 8 / 2 = 4 cm
EC = AC / 2 = 12 / 2 = 6 cm
DE = BC / 2 = 10 / 2 = 5 cm
E
D
Base média de triângulo.
DE = AC/2 = 14/2 = 7 cm
D
F
DF = BC/2 = 18/2 = 9 cm
EF = AB/2 = 16/2 = 8 cm
(resp)
B
C
E
C
B
2p = 4 + 5 + 6 + 10 = 25 cm (resp)
11) No triângulo ABC abaixo, AB = x, AC = y e BC = z.
Sendo D, E e F os pontos médios dos lados AB, AC e
BC, respectivamente, determinar o perímetro do quadrilátero BDEF.
12) No trapézio ABCD abaixo, a base menor AB mede
8 cm, a base maior CD mede 20 cm e os pontos E e F
são os pontos médios dos lados AD e BC, respectivamente. Determine a medida da base média EF.
A
A
8
B
Per = 2p = 2 . (x/2) + 2 . (z/2)
y/2
x/2
EF // AB // CD
2p = x + z (resp)
E
EF = AB + CD = 8 + 20
2
2
EF = 14 cm (resp)
F
E
D
z/2
y/2
x/2
D
x/2
z/2
B
C
z/2
F
C
20 cm
13) No trapézio retângulo ABCD abaixo, a base menor 14) No trapézio ABCD abaixo, a base média EF mede
AB mede 12 cm e a base maior CD mede 18 cm. Sendo 17 cm e a base maior CD mede 22 cm. Determine a
BC = 10 cm, E e F os pontos médios dos lados AD e BC, medida da base menor AB.
respectivamente, determinar os perímetros dos trapéB
x
A
zios ABFE e CDEF.
12
A
Pitágoras
B
2
17 =
2
EF = (12 + 18)/2 = 15 cm
F
E
4
12
17 cm
E
F
x = 12 cm
PerABFE = 12 + 5 + 15 + 4
PerABFE = 36 cm
5
x + 22
2
x + 22 = 34
5
4
D
2
10 = 6 + (AD)
AD = 8 cm
AB = 12 cm (resp)
22 cm
D
C
PerEFCD = 15 + 5 + 18 + 4
C PerEFCD = 42 cm
6
18 cm
15) No trapézio ABCD abaixo, EF = 8 cm e GH = 11 cm. 16) No trapézio ABCD abaixo, AB = 12 cm, CD = 26 cm
Sendo AE = EG = GD e BF = FH = HC, determine as e os pontos E e H são pontos médios dos lados AD e
medidas da base menor AB e da base maior CD.
BC, respectivamente. Determinar as medidas dos segmentos
EH, EF, GH e FG.
B
A
x
8 = x + 11
2
E
G
8 cm
11 cm
A
16 = x + 11
F
x = 5 cm
AB = 5 cm (resp)
H
E
y+8
2
22 = y + 8
G
F
11 =
y
D
EH é base média do trapézio
EH = (AB + CD)/2
EH = (12 + 26)/2 = 19 cm
12 cm B
H
EF e GH são bases médias
dos triângulos ABD e ABC.
EF = GH = AB/2 = 12/2
EF = GH = 6 cm
C
D
y = 14
CD = 14 cm (resp)
Jeca 40
26 cm
C
FG = EH - EF - GH
FG = 19 - 6 - 6
FG = 7 cm
17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são
os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Determine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se
que ML = 14 cm e NP = 8 cm.
18) Determine as medidas dos ângulos internos de um
paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos
opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.
M
F
C
P
E
N
D
L
19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos
médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do
triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :
a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.
b) a medida do perímetro do triângulo BCF.
20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro,
AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o
perímetro do quadrilátero AEFD.
A
A
D
E
E
D
F
F
B
C
C
B
21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos
médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y,
AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo
GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.
22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um
paralelogramo é um ângulo reto.
A
E
G
D
C
F
B
23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a
diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.
A
D
B
C
Jeca 41
17) Na figura, MNLP é um quadrilátero, C, D, E e F são
os pontos médios dos lados MN, NL, LP e PM. Determine o perímetro do quadrilátero CDEF sabendo-se
que ML = 14 cm e NP = 8 cm.
18) Determine as medidas dos ângulos internos de um
paralelogramo sabendo-se que dois ângulos internos
opostos medem 3x - 18º e 2x + 27º.
a = 3x - 18
Base média de triângulo.
CF = DE = NP/2 = 8/2 = 4 cm
CD = EF = ML/2 = 14/2 = 7 cm
b
a
M
a = 2x + 27
3x - 18 = 2x + 27
a
b
x = 45º
F
Portanto a = 117º
2p = 4 + 7 + 4 + 7 = 22 cm
(resp)
C
a + b = 180º - ângulos colaterais internos
P
117 + b = 180
E
N
b = 63º
L
D
19) No triângulo ABC abaixo, D e E são os pontos
médios dos respectivos lados. Sendo o perímetro do
triângulo DEF igual a 23 cm, determinar :
a) o que é o ponto F para o triângulo ABC.
b) a medida do perímetro do triângulo BCF.
A
20) No triângulo ABC abaixo, sendo F o baricentro,
AC = x, AB = y, BC = z, CF = t e DF = w, determinar o
perímetro do quadrilátero AEFD.
A
x/2
a) BE e CD são medianas.
Portanto F é baricentro.
y/2
x
D
E
DE é base média.
Portanto BC = 2.DE = 2x
z
y
F
2y
2z
C
B
PerBCF = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) = 2 . 23 = 46 cm (resp)
21) No triângulo ABC abaixo, E e G são os pontos
médios dos respectivos lados. Sendo AB = x, BC = y,
AC = z e GD = k, determinar o perímetro do triângulo
GEC e dizer o que o ponto D é do triângulo ABC.
Se F é baricentro, então E
e D são pontos médios e,
BD e CD são medianas.
EF = FC/2 = t/2
x/2
F
2w
y/2
t
B
z
C
22) Demonstre que o ângulo formado pelas bissetrizes de dois ângulos internos consecutivos de um
paralelogramo é um ângulo reto.
a
Se E e G são pontos médios, então EB
e CG são medianas. Além disso, EG é a
base média do triângulo ABC.
x/2
D
w
PerAEFD = x/2 + y/2 + t/2 + w = (x + y + t + 2w)/2 (resp)
A
z/2
t/2
E
b) x + y + z = 23
a
b
b
EG = BC/2 = y/2
E
G
z/2
D
PerGEC = (y + z + 6k)/2 (resp)
x/2
a + b + 90 = 180
Portanto a + b = 90º (CQD)
D é o baricentro do triângulo ABC.
2k
C
2a + 2b = 180º - ângulos colaterais internos
a + b = 90º
PerGEC = y/2 + z/2 + 3k
k
y/2 F y/2
B
23) (Fuvest) Em um trapézio isósceles, a medida da altura é igual à da base média. Determine o ângulo que a
diagonal do trapézio forma com uma das bases do trapézio.
A
h
B
x
M
y-x
+ x =
2
y+x
d=
=h
2
MN é base média
d=
h
N
y - x + 2x
2
h
a
h
y-x
2
D
x
MN = (y + x)/2 = h
y-x
2
a = 45º (resp)
C
d
tg a = h/h = 1
y
Jeca 41
Geometria plana
Quadriláteros notáveis.
Exercícios complementares da aula 04.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º,
determine as medidas dos ângulos assinalados.
B
02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm
e M é o ponto médio do lado CD. Determine o
perímetro de ABCD.
A
138º
60º
t
A
z
B
60º
C
x
E
y
D
C
M
D
03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as
diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.
A
B
04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede
4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado
desse losango.
B
y
2q
x
A
32º
C
D
E
B
06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposições.
I. Todo quadrado é um losango.
II. Todo quadrado é um retângulo.
III. Todo retângulo é um paralelogramo.
IV. Todo triângulo equilátero é isósceles.
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) todas são verdadeiras.
c) só uma é falsa.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas.
e) todas são falsas.
F
D
C
D
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é
um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao
lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do retângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o
lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do
segmento FC.
A
q
C
Jeca 42
Geometria plana
Quadriláteros notáveis.
Exercícios complementares da aula 04.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Dado o losango ABCD abaixo e o ângulo de 138º,
determine as medidas dos ângulos assinalados.
B
138º
t
A
z
C
x
y
02) (J) No paralelogramo ABCD abaixo, AE = 5 cm
e M é o ponto médio do lado CD. Determine o
perímetro de ABCD.
F é ponto médio de AC
No triangulo ACD
AM é mediana
DF é mediana
E é baricentro
A
60º
B
60º
F
E
EM = AE/2
D
C
M
EM = 5/2
Portanto AM = 5 + 5/2 = 15/2 cm
Se DAB = 120º, então ADM = 60º - ângulos colaterais internos
ADM é um triângulo equilátero de lado 15/2 cm
Portanto AD = 15/2 e AB = 15
D
"Em todo losango, as diagonais são:
a) perpendiculares entre si.
b) bissetrizes dos ângulos internos."
y = 138/2 = 69º
t = 90º
x + t + y = 180º
x + 90 + 69 = 180
x = 21º
z = 2x = 42º
PerABCD = 15/2 + 15 + 15/2 + 15 = 45 cm (resp)
03) No retângulo ABCD abaixo, AC e BD são as
diagonais. Determine as medidas dos ângulos x e y.
A
B
04) (PUCCamp-SP) Na figura a seguir, tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede
4 cm. Determine a medida da diagonal maior e do lado
desse losango.
B
y
q
x
A
32º
2q
q
q
32º
C
D
x
30º
4 cm
C
3q = 180
D
q = 60º
O triângulo ABD é equilátero
BD = 4 cm
AB = BC = CD = AD = 4m
x é ângulo externo
x = 32 + 32 = 64º
x
4
x = 4 3 /2 = 2 3 cm
cos 30º =
y + x = 180
y = 116º (resp)
AC = 2.d = 4 3 cm
05) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e DCE é
um triângulo equilátero, onde o ponto E pertence ao
lado AB do retângulo. Sendo DB a diagonal do retângulo, F o ponto de intersecção entre a diagonal e o
lado do triângulo e CD = 9 cm, determine a medida do
segmento FC.
A
E
No triângulo ABC, tem-se
BM é mediana.
CE é mediana.
F é baricentro
CD = CE = 2x + x = 3x = 9
x=3
FC = 2x = 2 . 3 = 6 cm
(resp)
B
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) todas são verdadeiras.
c) só uma é falsa.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas.
e) todas são falsas.
x
F
M
D
9 cm
06) (VUNESP-SP) Considere as seguintes proposições.
I. Todo quadrado é um losango. (verdadeira)
II. Todo quadrado é um retângulo. (verdadeira)
III. Todo retângulo é um paralelogramo. (verdadeira)
IV. Todo triângulo equilátero é isósceles. (verdadeira)
2x
C
Todas são verdadeiras (resp. b)
Jeca 42
08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:
a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal
oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.
b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois
ângulos consecutivos de um paralelogramo.
c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si.
d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos
congruentes.
e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.
07) (PUC-SP) Sendo:
A = {x / x é quadrilátero}
B = {x / x é quadrado}
C = {x / x é retângulo}
D = {x / x é losango}
E = {x / x é trapézio}
F = {x / x é paralelogramo}
Então vale a relação:
a)
b)
c)
d)
e)
A
A
F
A
B
D
F
D
F
D
E
D
A
B
A
B
C
E
09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo equilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, perímetro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perímetro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:
a) 48 m
b) 49 m
c) 50 m
d) 51 m
e) 52 m
E
C
G
B
D
F
H
10) Determine as medidas dos ângulos internos de um
paralelogramo sabendo que a diferença entre as
medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.
I
A
11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes.
Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais
são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois
triângulos considerados ?
12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares.
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares.
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio,
então esse paralelogramo é um losango.
a)
b)
c)
d)
e)
Jeca 43
Todas são verdadeiras.
Apenas I e II são verdadeiras.
Apenas II e III são verdadeiras.
Apenas II é verdadeira.
Apenas III é verdadeira.
07) (PUC-SP) Sendo:
A = {x / x é quadrilátero}
B = {x / x é quadrado}
C = {x / x é retângulo}
D = {x / x é losango}
E = {x / x é trapézio}
F = {x / x é paralelogramo}
08) (UFOP-MG) Assinale a alternativa incorreta:
a) Em todo paralelogramo não retângulo, a diagonal
oposta aos ângulos agudos é menor do que a outra.
b) É reto o ângulo formado pelas bissetrizes de dois
ângulos consecutivos de um paralelogramo.
c) As bissetrizes de dois ângulos opostos de um paralelogramo são paralelas entre si.
d) Ligando-se os pontos médios dos lados de um triângulo, este fica decomposto em quatro triângulos
congruentes.
e) Todas as afirmativas anteriores são incorretas.
A
E
F
C
Então vale a relação:
a)
b)
c)
d)
e)
A
A
F
A
B
D
F
D
F
D
E
D
A
B
A
B
B
a) V
D
C
E
b) V
c) V
d) V
e) Falsa
Resp b)
09)(UECE) Na figura, o retângulo DGHI, o triângulo equilátero DEF e o quadrado ABCI, têm todos, perímetro igual a 24 cm. Se D é o ponto médio de CI, o perímetro da figura fechada ABCDEFGHIA é igual a:
a) 48 m
b) 49 m
c) 50 m
d) 51 m
e) 52 m
180 - x - x = 52
E
C
B
6
8
8
3
180 - x = 116º (resp)
3
9
6
H
x
x = 64º
6
D
F
180 - x
2x = 180 - 52 = 128
x = 64º
3
8
G 1
10) Determine as medidas dos ângulos internos de um
paralelogramo sabendo que a diferença entre as
medidas de dois ângulos internos consecutivos é 52º.
I
A
AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HI + IA =
6 + 6 + 3 + 8 + 8 + 1 + 3 + 9 + 6 = 50 cm (resp c)
11) (FGV-SP) A diagonal menor de um losango decompõe esse losango em dois triângulos congruentes.
Se cada ângulo obtuso do losango mede 130º, quais
são as medidas dos três ângulos de cada um dos dois
triângulos considerados ?
B
130º
A
C
65º
x + 65 + 65 = 180
x = 50º
65º
D
As medidas dos três ângulos
são:
65º , 65º e 50º
x
(resp)
12) (ITA-SP) Dadas as afirmações:
I. Quaisquer dois ângulos opostos de um quadrilátero são suplementares. (Falsa)
II. Quaisquer dois ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares. (Verdadeira)
III. Se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entre si e se cruzam em seu ponto médio,
então esse paralelogramo é um losango. (Verdadeira)
a)
b)
c)
d)
e)
Todas são verdadeiras.
Apenas I e II são verdadeiras.
Apenas II e III são verdadeiras.
Apenas II é verdadeira.
Apenas III é verdadeira.
Resposta c
Jeca 43
13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior. Isso significa que:
a) a base menor tem medida igual à dos lados
oblíquos.
b) os ângulos adjacentes à base menor não são
congruentes.
c) a base maior tem medida igual à dos lados
oblíquos.
d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto
médio.
e) as diagonais se interceptam, formando ângulo
reto.
14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos
AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados
formam um ângulo de 60º.
a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as
medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D,
calcule a + b + g + q.
b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de
AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.
c) Calcule a medida do ângulo MJN.
C
D
B
A
15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F
é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é
ponto médio de CE. Determine as medidas dos
segmentos FG e GH.
A
E
D
F
I
H
G
16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas
diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm
e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos
lados do quadrilátero dado, então o perímetro do
quadrilátero RSTU vale:
a) 22 cm
b) 5,5 cm
c) 8,5 cm
d) 11 cm
e) 12 cm
B
C
17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se
AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine
AF e EJ em função de x e de y.
A
F
18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em
B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento
DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, determine a medida do segmento EF.
A
B
C
D
E
G
H
I
E
D
J
F
B
Jeca 44
C
13) (UFV-MG) Num trapézio isósceles de bases diferentes, uma diagonal é também bissetriz de um ângulo adjacente à base maior. Isso significa que:
a) a base menor tem medida igual à dos lados
oblíquos.
b) os ângulos adjacentes à base menor não são
congruentes.
c) a base maior tem medida igual à dos lados
oblíquos.
d) as duas diagonais se interceptam no seu ponto
médio.
e) as diagonais se interceptam, formando ângulo
reto.
14) (FUVEST-SP) No quadrilátero ABCD, temos
AD = BC = 2 e os prolongamentos desses lados
formam um ângulo de 60º.
a) Indicando por a, b, g e q, respectivamente, as
medidas dos ângulos internos dos vértices A, B, C e D,
calcule a + b + g + q.
b) Sejam J o ponto médio de DC, M o ponto médio de
AC e N o ponto médio de BD. Calcule JM e JN.
c) Calcule a medida do ângulo MJN.
a) a + b + g + q = 360º
60º
J
D
b) JM é base média do
triângulo ACD.
Portanto JM = AD/2 = 2/2 = 1
JN é base média do
triângulo BCD.
Portanto JN = 2/2 = 1
C
a
2
resp a)
a
c) JM // AD
JN // BC
Então MJN = 60º
(resp)
2
N
M
a
A
15) Na figura, BC = 24 cm, D é ponto médio de AB, F
é ponto médio de BD, E é ponto médio de AC e I é
ponto médio de CE. Determine as medidas dos
segmentos FG e GH.
A
w
D
E
B
16) (ITA-SP) Considere um quadrilátero ABCD cujas
diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm
e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos
lados do quadrilátero dado, então o perímetro do
quadrilátero RSTU vale:
A
a) 22 cm
b) 5,5 cm
U
R
c) 8,5 cm
D
B
d) 11 cm
e) 12 cm
T
S
C
F
x
y
G
I
H
B
C
24 cm
DE é base média do triângulo ABC
FG é base média do triângulo BDE
FH é base média do triângulo BCD
x + y = 12
6 + y = 12
y = GH = 6 cm (resp)
DE = w = 24/2 = 12 cm
FG = x = 12/2 = 6 cm
FH = x + y = 12 cm
17) No trapézio AEJF abaixo, BG = x e DI = y. Se
AB = BC = CD = DE e FG = GH = HI = IJ, determine
AF e EJ em função de x e de y.
A
k
F
RU é a base média do triângulo ABD
ST é a base média do triângulo BCD
Portanto RU = ST = BD/2 = 6/2 = 3 cm
RS é a base média do triângulo ABC
TU é a base média do triângulo ACD
Portanto RS = TU = AC/2 = 5/2 cm
18) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em
B, o ponto D é ponto médio do lado AB e o segmento
DE é paralelo ao cateto BC. Sendo AC = 24 cm, determine a medida do segmento EF.
Base média de trapézio.
B
C
D
x
w
y
I
n
J
F
=
B
k = 2x - w = 2x - x + y
2
=
BE é uma mediana.
CD é uma mediana.
Portanto F é o baricentro do triângulo ABC.
R
R
4y - x - y
2
3y -x
2
x= w+k
2
Todo triângulo retângulo
pode ser inscrito em uma
semicircunferência.
E
D
n = 2y - w = 2y - x + y
2
y= w+n
2
n = AF =
AE = EC = EB = R = 12
R
H
E
n = EJ =
A
w = x+y
2
G
Per = 2 . 3 + 2 . 5/2
Per = 11 cm
(resp)
4x - x - y
2
BE = 12 cm
Mas, BF = 2.EF
3x - y
2
Jeca 44
C
3 . EF = 12
EF = 4 cm (resp)
Jeca 45
Respostas dos exercícios da Aula 04.
01) 6 cm e 24 cm
02) 4
03) 11 cm, 4 cm, 14 cm e 24 cm
04) 32º, 64º, 90º e 116º
05) 16 cm
06) Propriedade da base média do triângulo.
BD // LP // MN e AC // LM // PN
Portanto LMNP é um paralelogramo.
07) 45º
08) b
09) 25 cm
10) 7 cm, 9 cm, e 8 cm
11) x + z
12) 14 cm
13) 36 cm e 42 cm
14) 12 cm
15) 5 cm e 14 cm
16) 19 cm, 6 cm, 6 cm e 7 cm
17) 22 cm
18) 117º e 63º
19) Baricentro e 46 cm
20) (x + y + 2w + t) / 2
21) (y + z + 6k) / 2
e baricentro
22) 2a + 2b = 180 (alternos internos)
Portanto a + b = 90º
23) 45º
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 46
Respostas dos exercícios complementares da Aula 04.
01) x = 21º,
y = 69º,
z = 42º,
t = 90º
02) 45 cm
03) x = 64º,
y = 116º
04) AC = 4 3 cm, AB = 4 cm
05) 6 cm
06) b
07) b
08) e
09) c
10) 64º e 116º
11) 50º, 65º e 65º
12) c
13) a
14)
a) 360º
b) 1 e 1
c) 60º
15) FG = 6 cm e GH = 6 cm
16) d
17) AF = 3x - y
2
18) 4cm
EJ = 3y - x
2
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 47
Geometria plana
Aula 05
Polígonos convexos.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Polígonos convexos.
Classificação dos polígonos (quanto ao nº de lados).
d
3 lados
4 lados
5 lados
6 lados
7 lados
8 lados
9 lados
10 lados
vértice
i
e
lado
d - diagonal
i - ângulo interno
e - ângulo externo
-
triângulo
quadrilátero
pentágono
hexágono
heptágono
octógono
eneágono
decágono
i + e = 180º
11 lados
12 lados
13 lados
14 lados
15 lados
16 lados
17 lados
18 lados
19 lados
20 lados
-
undecágono
dodecágono
tridecágono
quadridecágono
pentadecágono
hexadecágono
heptadecágono
octodecágono
eneadecágono
icoságono
II) Soma das medidas dos ângulos
internos de um polígono convexo.
III) Soma das medidas dos ângulos
externos de um polígono convexo.
IV) Número de diagonais de um polígono convexo.
(Si)
(Se)
(d)
e4
e3
i4
i3
in
i2
e2
i1
en
e1
Si = i1 + i2 + i3 + ... + in
Si = 180 (n - 2)
Um polígono é regular se tem:
a) todos os lados congruentes entre si;
b) todos os ângulos internos congruentes entre si;
c) todos os ângulos externos congruentes entre si.
e
i
i
Classificação dos polígonos regulares
3 lados - triângulo equilátero
4 lados - quadrado
5 lados - pentágono regular
6 lados - hexágono regular
etc
i
e
i
i
n - nº de lados do polígono
Para qualquer polígono convexo
V) Polígono regular.
e
d = n (n - 3)
2
Se = 360º
n - nº de lados do polígono
e
Diagonal é o segmento que une
dois vértices não consecutivos.
Se = e1 + e2 + e3 + ... + en
e
Medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
S
i = ni
>
i=
180 (n - 2)
n
Medida de cada ângulo externo de um polígono regular.
C
a
ângulo
central
S
e = e
n
>
e = 360
n
(importante)
Observação - Todo polígono regular pode ser inscrito e
circunscrito numa circunferência.
Jeca 48
01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter- 02) Determinar a soma das medidas dos ângulos externos e o número de diagonais de um pentadecágono nos e o número de diagonais de um octodecágono
convexo.
convexo.
03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº
cada ângulo externo de um eneágono regular.
de diagonais de um octógono regular.
05) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.
06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regular cuja medida de cada ângulo externo é 30º.
07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu- 08) Determinar a medida do ângulo externo de um
lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno polígono regular que tem 14 diagonais.
excede a medida do ângulo externo em 132º.
Jeca 49
01) Determinar a soma das medidas dos ângulos inter- 02) Determinar a soma das medidas dos ângulos externos e o número de diagonais de um pentadecágono nos e o número de diagonais de um octodecágono
convexo.
convexo.
octodecágono - 18 lados
Pentadecágono (n = 15 lados)
Se = 360º (resp)
Si = 180(n - 2) = 180(15 - 2) = 2 340º (resp)
d = n(n - 3)/2
d = 18(18 - 3)/2 = 135 diagonais. (resp)
d = n(n - 3) / 2 = 15(15 - 3) / 2 = 90 diagonais (resp)
03) Determinar a medida de cada ângulo interno e de 04) Determinar a medida de cada ângulo interno e o nº
cada ângulo externo de um eneágono regular.
de diagonais de um octógono regular.
eneágono - 9 lados
octógono - 8 lados
e = 360/n = 360/9 = 40º (resp)
e = 360/n = 360/8 = 45º
i + e = 180º
i + 40 = 180
i = 140º (resp)
i + e = 180º
i + 45 = 180
i = 135º (resp)
d = n(n - 3)/2 = 8(8 - 3)/2
d = 20 diagonais (resp)
05) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 65 diagonais.
d = n(n - 3)/2
65 = n(n - 3)/2
06) Determinar o nº de diagonais de um polígono regular cuja medida de cada ângulo externo é 30º.
e = 360/n
30 = 360/n
n = 12 lados (dodecágono)
2
130 = n - 3n
2
n - 3n - 130 = 0
Raízes
n = 13
n = -10 (não convém)
d = n(n - 3)/2
d = 12(12 - 3)/2
d = 54 diagonais (resp)
Para n = 13 (tridecágono)
Si = 180(n - 2) = 180(13 - 2)
Si = 1 980º (resp)
07) Determinar o nº de diagonais de um polígono regu- 08) Determinar a medida do ângulo externo de um
lar sabendo-se que a medida de um ângulo interno polígono regular que tem 14 diagonais.
excede a medida do ângulo externo em 132º.
i - e = 132º
i + e = 180º
2i = 312
i = 156º
e = 180 - 156 = 24º
e = 360/n
24 = 360/n
n = 15 lados (pentadecágono)
d = n(n - 3)/2
d = n(n - 3)/2
14 = n(n - 3)/2
28 = n2 - 3n
n2 - 3n - 28 = 0
Raízes
n = 7 (heptágono)
n = -4 (não convém)
Para n = 7 lados
e = 360/n = 360º/7
d = 15(15 - 3)/2 = 90 diagonais
Jeca 49
(resp)
09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se
que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A.
Determine quais são os polígonos A e B.
10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se
que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença
das medidas de seus ângulos externos é 16º. Determine quais são esses polígonos.
11) Determine a medida do ângulo agudo formado
entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono
regular ABC.... KL.
12) Determine a medida do ângulo agudo formado
pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de
um dodecágono regular ABC...KL.
Jeca 50
09) Dados dois polígonos convexos, A e B, sabe-se
que B tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que A.
Determine quais são os polígonos A e B.
A
nA
dA
B
10) Dados dois polígonos regulares, A e B, sabe-se
que B tem 6 lados a mais do que A e a diferença
das medidas de seus ângulos externos é 16º. Determine quais são esses polígonos.
nB
dB
nA
eA
A
nB = nA + 4
dB = dA + 30
dB - dA = 30
nB(nB - 3)/2 - nA(nA - 3)/2 = 30
(nA + 4)(nA + 4 - 3) - nA(nA - 3) = 60
8.nA = 56
nA = 7 lados (heptágono)
nB = 7 + 4 = 11 lados (undecágono)
nB
eB
B
nB = nA + 6
eA - eB = 16
Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior
ângulo externo. (eA - eB > 0)
eA - eB = 360 - 360
16
nA
nA + 6 =
360(nA + 6) - 360.nA
= 16
nA(nA + 6)
(resp)
360(nA + 6) - 360.nA = 16nA(nA + 6)
2
360nA + 2 160 - 360nA = 16nA + 96nA
2
nA + 6nA - 135 = 0
Raízes
nA = 9 lados (eneágono)
nA = -15 lados (não convém)
Polígono A - eneágono
polígono B - (9 + 6 = 15) - pentadecágono (resp)
11) Determine a medida do ângulo agudo formado
entre a diagonal AF e o lado AB de um dodecágono
regular ABC.... KL.
12) Determine a medida do ângulo agudo formado
pelos prolongamentos das diagonais AC e DG de
um dodecágono regular ABC...KL.
D
C
q
E
150º
150º
b
150º
C
e
x
B
30º
e= x
F
i = 150º
x
a
D
150º
e = 30º
150º
150º
e = 360/n = 360/12 = 30º
Portanto i = 180 - e = 180 - 30 = 150º
ABCDEF é um hexágono irregular
Si = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 180 . 4 = 720º
Mas, Si = 4 . 150 + 2x
720 = 600 + 2x
x = 60º (resp)
e
B
F
x
y
A
e - ângulo externo
i - ângulo interno
E
y
G
A
e - ângulo externo
i - ângulo interno
e = 360/n = 360/12 = 30º
i = 180 - e = 180 - 30 = 150º
ABC é um triângulo
x + x + 150 = 180
DEFG é um quadrilátero
y + y + 150 + 150 = 360
a = x + 30 = 45º
b = y + 30 = 60º
a + b + q = 180
q = 75º (resp)
Jeca 50
x = 15º
y = 30º
13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma
estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo q mede:
14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais
ângulos internos medem 128º cada um. O nº de
lados desse polígono é:
a) 108º
a) 6
b) 72º
c) 54º
d) 36º
e) 18º
b) 7
c) 13
d) 16
e) 17
q
15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da
figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN,
que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos
internos A e D desse quadrilátero corresponde a:
a) a/4
b) a/2
c) a
D
d) 2a
e) 3a
N
C
a
M
16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de
n lados, n > 4, são prolongados para formar uma
estrela. A medida, em graus, de cada vértice da
estrela é:
a) 360º
n
(n
- 4) . 180º
b)
n
c) (n - 2) . 180º
n
d) 180º _ 90º
n
e) 180º
n
A
B
Jeca 51
13) (UNIFESP-SP) Pentágonos regulares congruentes podem ser conectados, lado a lado, formando uma
estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura. Nestas condições, o ângulo q mede:
14) (FUVEST-SP) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem 130º cada um e os demais
ângulos internos medem 128º cada um. O nº de
lados desse polígono é:
a) 108º
a) 6
b) 72º
c) 54º
d) 36º
e) 18º
b) 7
c) 13
d) 16
50º
50º
130º
e) 17
52º
128º
128º
52º
q
52º
130º
128º
Se dois ângulos internos medem 130º, então dois ângulos
externos medem 50º
Se os demais ângulos internos medem 128º, então os demais
ângulos externos medem 52º
A soma das medidas dos ângulos externos é 360º.
e = 360 / 5 = 72º
2 . 50 + x . 52 = 360
x . 52 = 360 - 100 = 260
x = 260/52 = 5
108º
108º
q
108º
i = 108º
q = 360 - 3 . 108 =
2 ângulos externos de 50º
5 ângulos externos de 52º
total - 7 ângulos externos
= 360 - 324 = 36º
(resp)
e = 72º
15) (CESGRANRIO-RJ) No quadrilátero ABCD da
figura abaixo, são traçadas as bissetrizes CM e BN,
que formam entre si o ângulo a. A soma dos ângulos
internos A e D desse quadrilátero corresponde a:
a) a/4
b) a/2
c) a
D
d) 2a
e) 3a
N
C
x
x
a
M
A
x + y = 180 - a
y
n = 7 lados (resp b)
16) (MACK-SP) Os lados de um polígono regular de
n lados, n > 4, são prolongados para formar uma
estrela. A medida, em graus, de cada vértice da
estrela é:
a) 360º
n
(n
- 4) . 180º
b)
n
c) (n - 2) . 180º
n
d) 180º _ 90º
n
e) 180º
n
x
e
e
y
B
Polígono
A + B + C + D = 360º
A + D = 360 - 2x - 2y
A + D = 360 - 2(x + y)
A + D = 360 - 2(180 - a)
e - ângulo externo do polígono.
x - vértice da estrela.
A + D = 360 - 360 + 2a
e = 360/n
A + D = 2a (resp d)
e + e + x = 180º
2 . 360/n + x = 180
x = 180 - 720/n = (180n - 720)/n = 180(n - 4)/n (resp b)
Jeca 51
Geometria plana
Polígonos convexos.
Exercícios complementares da aula 05.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos.
gono.
internos.
02) Dado um undecágono convexo, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos.
gono.
internos.
03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos
ângulos internos é 2160º.
04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.
Jeca 52
Geometria plana
Polígonos convexos.
Exercícios complementares da aula 05.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Dado um polígono convexo de 17 lados, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos.
gono.
internos.
Si = 180(n - 2) = 180(17 - 2) = 2 700º
d = n(n - 3)/2
d = 17(17 - 3)/2
d = 119 diagonais
Se = 360º
02) Dado um undecágono convexo, determinar:
a) a soma das medidas dos ângulos b) a soma das medidas dos ângulos c) o número de diagonais desse políexternos.
gono.
internos.
Si = 180(n - 2) = 180(11 - 2) = 1 620º
d = n(n - 3)/2
d = 1(11 - 3)/2
d = 44 diagonais
Se = 360º
03) Determinar o número de lados e o número de diagonais de um polígono convexo cuja soma das medidas dos
ângulos internos é 2160º.
Si = 180(n - 2)
d = n(n - 3)/2
2 160 = 180(n - 2)
d = 14(14 - 3)/2
n - 2 = 2 160/180
d = 77 diagonais (resp)
n - 2 = 12
n = 14 lados (resp)
04) Determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo que tem 44 diagonais.
d = n(n - 3)/2
Si = 180(n - 2)
44 = n(n - 3)/2
Si = 180(11 - 2)
2
n - 3n - 88 = 0
Si = 1 620º (resp)
Raízes
n = 11 lados (undecágono)
n = -8 (não convém)
Jeca 52
05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas
dos ângulos internos assinalados.
A
B
C
E
D
06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o
polígono B.
07) Dado um eneágono regular, determinar :
a) o número de lados do eneágono.
b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno.
internos.
d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágoexternos.
no.
08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo
interno.
Jeca 53
05) No pentágono ao lado, AB // DE. Determinar a soma das medidas
dos ângulos internos assinalados.
A
B
A + E = 180º (ângulos colaterais internos)
ABCDE é um pentágono, portanto Si = 180(n - 2) = 180(5 - 2) = 540º
E + A + B + C + D = 540
180 + B + C + D = 540
B + C + D = 540 - 180 = 360º (resp)
C
E
D
06) Determinar os polígonos convexos A e B, sabendo-se que A tem 2 lados e 23 diagonais a mais que o
polígono B.
A
nA
dA
B
nB
dB
nA = nB + 2
dA = dB + 23
dA - dB = 23
(nB + 2)(nB + 2 - 3)/2 - nB(nB - 3)/2 = 23
(nB + 2)(nB - 1) - nB(nB - 3) = 46
4.nB = 48
nB = 12 lados (dodecágono)
nA = 12 + 2 = 14 lados (quadridecágono)
(resp)
07) Dado um eneágono regular, determinar :
a) o número de lados do eneágono.
n = 9 lados
b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno.
internos.
i = Si/n
i = 1 260/9
i = 140º
Si = 180(n - 2
Si = 180(9 - 2)
Si = 1 260º
d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do eneágoexternos.
no.
e = 360/n
e = 360/9
e = 40º
Se = 360º
d = n(n - 3)/2
d = 9(9 - 3)/2
d = 27 diagonais
08) Determinar qual é o polígono regular cuja medida de um ângulo externo é igual a 2/7 da medida de um ângulo
interno.
e = 360/n
e = 2.i / 7
i + e = 180º
e = 2.i / 7
e + 7.e / 2 = 180
40 = 360/n
i = 7.e / 2
n = 360/40 = 9
n = 9 lados (eneágono) (resp)
2e + 7e = 360
9e = 360
e = 40º
Jeca 53
09) Dado um pentadecágono regular, determinar :
a) o número de lados do pentadecágono.
b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno.
internos.
d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do pentaexternos.
decágono.
10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença
entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.
11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB
e a diagonal AC.
12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono,
determinar a medida do ângulo AOE.
B
C
D
A
E
F
L
O
G
K
H
J
I
Jeca 54
09) Dado um pentadecágono regular, determinar :
a) o número de lados do pentadecágono.
n = 15 lados
b) a soma das medidas dos ângulos c) a medida de cada ângulo interno.
internos.
i = Si/n
i = 2 340/15
i = 156º
Si = 180(n - 2
Si = 180(15 - 2)
Si = 2 340º
d) a soma das medidas dos ângulos e) a medida de cada ângulo externo. f) o número de diagonais do pentaexternos.
decágono.
e = 360/n
e = 360/15
e = 24º
Se = 360º
d = n(n - 3)/2
d = 15(15 - 3)/2
d = 90 diagonais
10) Determinar dois polígonos regulares, A e B, sabendo-se que A tem 3 lados a mais que B e que a diferença
entre as medidas dos seus ângulos externos é 6º.
nA
eA
A
nB
eB
B
360(nB + 3) - 360.nB = 6nB(nB + 3)
2
nA = nB + 3
eB - eA = 6
Importante - O polígono que tem menos lados tem o maior
ângulo externo. (eB - eA > 0)
360nB + 1 080 - 360nB = 6nB + 18nB
2
nB + 3nB - 180 = 0
Raízes
nB = 12 lados (dodecágono)
nB = -15 lados (não convém)
eB - eA = 360 - 360 = 6
nB
nB + 3
360(nB + 3) - 360.nB
=6
nB(nB + 3)
Polígono A - (12 + 3 = 15 lados) - pentadecágono
polígono B - dodecágono (resp)
11) Dado um decágono regular ABCDE … , determinar a medida do ângulo agudo compreendido entre o lado AB
e a diagonal AC.
e - ângulo externo
i - ângulo interno
e = 360/n = 360/10 = 36º
i + e = 180º
i = 180 - 36 = 144º
C
e
B
x
D
i
x
A
E
x + x + i = 2x + 144 = 180
2x = 36
x = 18º (resp)
12) Dado um dodecágono regular ABCDE … , sendo O o centro do dodecágono,
determinar a medida do ângulo AOE.
e - ângulo externo
i - ângulo interno
e = 360/n = 360/12 = 30º
i + e = 180
i + 30 = 180
i = 150º
720 = 2y + 3 . 150 + x
720 = 2 . 75 + 3 . 150 + x
x = 720 - 600 = 120º (resp)
C
y
e
y
E
x
F
L
O
G
K
H
J
I
Jeca 54
D
i
A
ABCDEO é umhexágono irregular
Si = 180(n - 2) = 180(6 - 2) = 720º
y = i/2 = 150/2 = 75º
B
13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :
A
J
B
I
C
O
D
H
E
G
F
a) a soma das medidas dos ângulos b) a medida de cada ângulo externo. c) a soma das medidas dos ângulos
internos do decágono.
externos do decágono.
d) a medida de cada ângulo interno.
e) a medida do ângulo obtuso forma- f) a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados do pelos prolongamentos dos lados
BC e DE.
BC e EF.
g) a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais BI e AG.
h) a medida do ângulo EOG.
Jeca 55
i) a medida do ângulo EBC.
13) Dado um decágono regular ABCDE … , sendo O o centro do polígono, determinar :
A
54º
90º
J
B
36º
144º
72º
36º
w
36º
I
C
108º
e
z
x
O
k k
e
H
144º
D
y
z
54º
90º
E
G
F
a) a soma das medidas dos ângulos b) a medida de cada ângulo externo. c) a soma das medidas dos ângulos
internos do decágono.
externos do decágono.
Se = 360º
d) a medida de cada ângulo interno.
i = Si /n
i = 1440/10
i = 144º
e = 360/n = 360/10
e = 36º
Si = 180(n - 2)
Si = 180(10 - 2)
Si = 1440º
e) a medida do ângulo obtuso forma- f) a medida do ângulo agudo formado pelos prolongamentos dos lados do pelos prolongamentos dos lados
BC e DE.
BC e EF.
x + e + e = 180
x + 2e = 180
x + 2 . 36 = 180
x = 108º
2z = e = 36
z = 18º
z + e + y + z + e = 180
18 + 36 + y + 18 + 36 = 180
y = 72º
g) a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais BI e AG.
w + 90 + 36 = 180
w = 54º
h) a medida do ângulo EOG.
k = 360/n = 360/10 = 36º
EOG = 2k = 2 . 36
EOG = 72º
Jeca 55
i) a medida do ângulo EBC.
EBC = 36º
14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.
15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados,
n > 3, o número de diagonais do polígono que não
passam pelo vértice A é dado por:
93º
a) 5n - 4
y
2
b) n - 11n
2
c) n - 5n + 6
2
d) n(n-3)
2
x
10
5º
2
e) 2n - 4
88º
16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono
regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo
externo então:
a) x = 18º
b) 30º < x < 35º
c) x = 45º
d) x < 27º
e) 40º < x < 45º
17) Três polígonos têm o número de lados expressos
por números inteiros consecutivos. Sabendo que o
número total de diagonais dos três polígonos é igual a
28, determine a polígono com maior número de
diagonais.
18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero
e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que
D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e
H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos
ângulos ADE e CDH.
19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a
medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos
lados AB e DE.
A
I
B
A
C
H
E
G
F
D
D
F
C
H
G
B
Jeca 56
E
X
14) Na figura ao lado, determinar o valor de x + y.
d
b
c+
c
d=
x+
15) Dado um polígono convexo ABCD... com n lados,
n > 3, o número de diagonais do polígono que não
passam pelo vértice A é dado por:
y
93º
y
a) 5n - 4
2
b) n - 11n
x
a
Se um polígono tem n lados,
então tem n vértices.
O número de diagonais que
passam num vértice é n - 3.
O número total de diagonais
de um polígono é dado por
2
c) n - 5n + 6
2
d) n(n-3)
2
10
5º
88º
d = n(n - 3)/2
2
a + b + 93 + 88 + 105 = 540 (pentágono)
e) 2n - 4
Excluindo-se as que passam
pelo vértice A, tem-se
a + b = 540 - 286 = 254
c + d = 254 - 180 = 74
d' = n(n - 3) - (n - 3)
2
2
n(n - 3) - 2(n - 3)
n - 3n - 2n + 6
d' =
=
2
2
x + y = c + d = 74º (resp)
2
d' =
16) Se a soma dos ângulos internos de um polígono
regular é 1620º, sendo x a medida de cada ângulo
externo então:
a) x = 18º
b) 30º < x < 35º
c) x = 45º
d) x < 27º
e) 40º < x < 45º
n - 5n + 6
2
17) Três polígonos têm o número de lados expressos
por números inteiros consecutivos. Sabendo que o
número total de diagonais dos três polígonos é igual a
28, determine a polígono com maior número de
diagonais.
nº de diagonais
de um polígono
polígono A - n lados
polígono B - n + 1 lados
polígono C - n + 2 lados
d = n(n - 3)
2
Total de diagonais = 28
Si = 180(n - 2)
1 620 = 180(n - 2)
n - 2 = 1 620/180 = 9
n = 11
28 =
n(n - 3) + (n + 1)(n + 1 - 3) + (n + 2)(n + 2 - 3)
2
2
2
n(n - 3) + (n + 1)(n - 2) + (n + 2)(n - 1)
2
2
n - n - 20 = 0
28 =
e = 360/n
e = 360/11 = 32,73º
x = e = 32,73º Portanto 30º < x < 35º (resp b)
Raízes
n = -4 (não convém)
n=5
polígono A - 5 lados
polígono B - 6 lados
polígono C - 7 lados (heptágono) - tem o maior número
de diagonais. (resp)
18) Na figura ao lado, ABC é um triângulo eqüilátero
e DEFGH é um pentágono regular. Sabendo-se que
D pertence ao lado AC, F pertence ao lado AC, G e
H pertencem ao lado BC, determinar as medidas dos
ângulos ADE e CDH.
19) Dado o eneágono regular ao lado, determinar a
medida do ângulo formado pelos prolongamentos dos
lados AB e DE.
A
I
B
e = 360/n = 360/5 = 72º
i + e = 180
i + 72 = 180
i = 108º
H
y
x
G
i = 108º
60º
C
i
e
H
G
D
i
F
y
y + i + x = 180
48 + 108 + x = 180
x = 24º
C
140º
E
D
e
y
A
y + 60 + e = 180
y + 60 + 72 = 180
y = 48º
(resp c)
B
e
E
F
e = 360/n = 360/9 = 40º
i = 180 - e = 180 - 40 = 140º
y + y + 140 = 180
y = 20º
x + (y + e) + (y + e) = x + 2y + 2e = 180
x + 40 + 80 = 180
x = 60º (resp)
Jeca 56
X
20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados
consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm,
conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do hexágono.
E
D
20
a
a
a) 105º
a
A
23
c) 90º
d) 95º
e) 85º
C
15
a
a
b) 100º
13
a
F
21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma
de dois ângulos internos consecutivos mede 190º.
O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas
dos dois outros ângulos mede:
B
22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono
regular de 2n lados, que não passam pelo centro da
circunferência circunscrita a esse polígono, é dado
por:
23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono convexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o
primeiro uma progressão aritmética de razão 2. Determine o número de lados do polígono.
a) 2n(n - 2)
b) 2n(n - 1)
c) 2n(n - 3)
d) n(n - 5)
2
e) n.d.a.
Jeca 57
20) (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângulo (ângulos internos iguais), no qual quatro lados
consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23 cm,
conforme figura a seguir. Calcule o perímetro do hexágono.
E
D
20
a
Si = 180(n - 2)
Si = 180(6 - 2) = 720º
a
a
i = 720 / 6 = 120º
E
23
D
13
60º
13
13
120º
C
y
a
a
x
e) 85º
y
b b
120º
x 60º x
120º
60º
x
A
d) 95º
B
D
120º
120º
c) 90º
A
C
B
20
b) 100º
15
a
a
A
F
a) 105º
13
a
F
21) (MACK-SP) Num quadrilátero convexo, a soma
de dois ângulos internos consecutivos mede 190º.
O maior ângulo formado pelas bissetrizes internas
dos dois outros ângulos mede:
C
A + B + C + D = 360º
A + B = 190º
Portanto
C + D = 360 - 190 = 170º
Mas C + D = 2a + 2b = 170º
Então a + b = 85º
15
120º
23
B
A figura acima é um paralelogramo
20 + 13 = 23 + x
y é ângulo externo
y = a + b = 85º
x = 10
x + y = 15 + 13
10 + y = 28
y = 18
x = 180 - y = 180 - 85 = 95º
O maior ângulo é x
Per = 2p = 20 + 13 + 15 + 23 + 10 + 18 = 99 cm (resp)
22) (ITA-SP) O número de diagonais de um polígono
regular de 2n lados, que não passam pelo centro da
circunferência circunscrita a esse polígono, é dado
por:
a) 2n(n - 2)
23) (FEI) O menor ângulo interno de um polígono convexo mede 139º, e os outros ângulos formam com o
primeiro uma progressão aritmética de razão 2. Determine o número de lados do polígono.
Se o menor ângulo interno mede 139º, então o maior ângulo
externo mede 180 - 139 = 41º
b) 2n(n - 1)
Os ângulos externos formam uma PA (41º, 39º, 37º, ... )
c) 2n(n - 3)
d) n(n - 5)
2
e) n.d.a.
x = 95º (resp d)
A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360º.
nº de diagonais
de um polígono
d = n(n - 3)
2
Se o polígono tem 2n lados, a fórmula passa a ser
d = 2n(2n - 3)
2
Soma dos n primeiros termos de uma PA Sn = ( a1 + an ) . n
2
Fórmula do termo geral de uma PA an = a1 + (n - 1) . r
an = 41 + (n - 1).(-2) = 43 - 2n
Sn = (41 + 43 - 2n) . n / 2
360 = (41 + 43 - 2n) . n / 2
2
Mas a diagonal que passa pelo centro está sendo excluída
n - 42n + 360 = 0
Então a fórmula passa a ser
Raízes
n = 30 (não convém pois o 30º ângulo será menor que 0º)
n = 12
d = 2n(2n - 4)
2
Simplificando, tem-se
Se esse polígono tem 12 ângulos externos, então ele tem
12 lados. (resp)
d = n(2n - 4)
d = 2n(n - 2) (resp a)
Conferindo
41 + 39 + 37 + 35 + 33 + 31 + 29 + 27 + 25 + 23 + 21 + 19 = 360
Jeca 57
Respostas dos exercícios da Aula 05.
01) 2340º e 90 diagonais
02) 360º e 135 diagonais
03) 140º e 40º
04) 135º e 20 diagonais
05) 1980º
06) 54 diagonais
07) 90 diagonais
08) 360º / 7
09) Heptágono e undecágono
10) Eneágono e pentadecágono
11) 60º
12) 75º
13) d
14) b
15) d
16) b
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 58
Respostas dos exercícios complementares da Aula 05.
21) d
01)
a) 2700º
b) 360º
c) 119
22) a
02)
a) 1620º
b) 360º
23) 12
c) 44
03) 14 lados e 77 diagonais
04) 1620º
05) 360º
06) Quadridecágono e dodecágono
07)
a) 9
e) 40º
b) 1260º
f) 27
c) 140º
d) 360º
c) 156º
d) 360º
08) Eneágono
09)
a) 15
e) 24º
b) 2340º
f) 90
10) Pentadecágono e dodecágono
11) 18º
12) 120º
13)
a) 360º
e) 108º
i) 36º
b) 36º
f) 72º
c) 1440º
g) 54º
d) 144º
h) 72º
14) 74º
15) c
16) b
17) heptágono
18) 24º e 48º
19) 60º
20) 99 cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 59
Geometria plana
Aula 06
Ângulos na circunferência.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Elementos da circunferência.
A
C - centro da circunferência
AC = r - raio da circunferência
AB = 2r - diâmetro da circunferência
ACD = a - ângulo central
APD - arco da circunferência
AD - corda da circunferência
r
C
a
P
r
r
D
B
II) Posições relativas entre ponto
e circunferência.
A
B
III) Posições relativas entre reta
e circunferência.
ponto de tangência
A - ponto
exterior
reta ta
ngent
B - ponto da
circunferência
C
ante
reta sec
D - ponto
interior
D
e
C - centro da
circunferência
reta exterior
IV) Propriedades da circunferência.
1) Em toda circunferência, a medida 2) Em toda circunferência, o raio é 3) Em toda circunferência, o raio,
do ângulo central é igual à medida perpendicular à reta tangente no quando perpendicular à corda, divido arco correspondente.
ponto de tangência.
de essa corda ao meio.
APB = a
A
C
a
C
P
C
B
B
M
A
AM = MB
V) Ângulos na circunferência.
a) Ângulo inscrito na circunferência.
É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência e os dois lados secantes a essa
circunferência.
Propriedade - O ângulo inscrito vale a metade do
ângulo central ou a metade do arco correspondente.
b) Ângulo de segmento.
É o ângulo que tem o vértice na "linha" da circunferência, um lado secante e um lado tangente a essa
circunferência.
Propriedade - O ângulo de segmento vale a metade
do ângulo central ou a metade do arco correspondente.
b
- ângulo inscrito
ca
- ângulo central
a
- ângulo central
b
- ângulo de segmento
se
a
nt
e
vértice
b
a
vértice
b= a
2
a
b= a
2
b
Jeca 60
tangente
IV) Consequências do ângulo inscrito.
1) Todo triângulo retângulo pode ser 2) Em todo triângulo retângulo, a 3) Todos os ângulos de uma circuninscrito numa semicircunferência mediana relativa à hipotenusa vale ferência inscritos no mesmo arco
onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa.
são congruentes.
diâmetro.
ângulo
inscrito
R
mediana
relativa à
hipotenusa
R
hipotenusa
e diâmetro
arco de
medida
2b
b
R
b
hipotenusa
b
4) Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares.
5) Ângulo excêntrico de vértice
interno.
6) Ângulo excêntrico de vértice
externo.
x= a+b
2
a + b = 180º
e
g + q = 180º
a
b
x= a-b
2
C
q
g
a
b
x
a
b
x
b
vértice
vértice
Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
b)
x
x
O
x
O
O
118º
46º
41º
e)
d)
f)
x
39º
x
O
O
g)
O
62º
i)
h)
x
62º
O
O
x
O
104º
x
87º
Jeca 61
x
IV) Consequências do ângulo inscrito.
1) Todo triângulo retângulo pode ser 2) Em todo triângulo retângulo, a 3) Todos os ângulos de uma circuninscrito numa semicircunferência mediana relativa à hipotenusa vale ferência inscritos no mesmo arco
onde a hipotenusa coincide com o a metade dessa hipotenusa.
são congruentes.
diâmetro.
ângulo
inscrito
R
mediana
relativa à
hipotenusa
R
hipotenusa
e diâmetro
arco de
medida
2b
b
R
b
hipotenusa
b
4) Em todo quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos internos opostos são suplementares.
5) Ângulo excêntrico de vértice
interno.
6) Ângulo excêntrico de vértice
externo.
x= a+b
2
a + b = 180º
e
g + q = 180º
a
b
x= a-b
2
C
a
q
g
b
a
x
b
x
b
vértice
vértice
Exercícios - 01) Nas circunferências abaixo, sendo O o centro, determine a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
b)
x
x
O
x
O
O
118º
46º
41º
x/2 = 41
x = 82º
x = 118/2
x = 59º
e)
d)
x/2 = 46
x = 92º
f)
x
39º
x
O
O
x = 180/2
x = 90º
x = 39º
g)
O
62º
x
x + 90 + 62 = 180
x = 28º
i)
h)
124º
x
56º
y
62º
O
O
x
O
104º
x
x + 104 = 180
x = 76º
x = 56/2
x = 28º
Jeca 61
87º
x + y = 180
y + 87 = 180
x = 87º
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
b)
c)
B
x
A
3x
x
O
12
4º
O
C
55º
O
x
D
d)
e)
(GeoJeca)
tan
f)
gen
te
52º
x
35º
34º
O
x
x
52º
O
O
g)
h) Tente fazer por outro método.
i)
88º
x
x
37º
x
37º
O
O
O
56º
j)
k)
l)
87º
118º
142º
O
x
O
O
34º
x
34
º
33º
x
m)
o)
n)
5º
16
ng
en
te
x
O
x
O
ta
146º
54º
O
x
º
77
Jeca 62
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
b)
3x + x + 90 = 180
x = 90/4
x = 22,5º
B
x
c)
y
3x
3x
A
x
O
12
4º
O
C
124º
56º x = 56/2
x = 28º
D
d)
55 = y/2
y = 110º
x=y
x = 110º
tan
gen
te
w
35º
55º
x
6x
e)
35º x
55º
O
35º
34º
O
w - ângulo de segmento
w = 52º
y + 34 + 52 = 180
y = 94º
z
y
128º x
52º
f)
52 = y/2
y = 104º
z = 180 - y
z = 76º
52º
x
O
O
z = 180 - w - y
z = 34º
x + z + 128 = 180
x = 18º
35 + x + 35 = 90
x = 20º
g)
y + 37 + 37 = 180
y = 106º
h) Tente fazer por outro método.
z
y
i)
37º
x
R
x
y O
x
O
O
R
y
106º
x = 106/2
x = 53º
74º
j)
z = 33/2 = 16,5º
y = 87/2 = 43,5º
x + 16,5 + 43,5 = 180
x = 120º
k)
y = 34/2 = 17º
z = 118/2 = 59º
z=x+y
x=z-y
l)
y = 142/2 = 71º
z = 34/2 = 17º
x + y + z = 180º
x = 92º
y
x
x
y
O
O
º
33º
z
m)
x
x
o)
ng
en
te
ta
z
O
34º
y
x = 214/2
x = 107º
54º
y + 165 = 77 = 360
y = 118
5º
y
146º
x
16
y = 90 - 54 = 36º
y + y + z = 180
z = 108º
x = 108/2
x = 54º
146º
x
y
x
n)
O
142º
z
34
O
214º
56º
x = 42º
z
118º
87º
x=y+z
x = 72º
z
37º
37º
z = 56/2 = 28º
y = 88/2 = 44º
x é ângulo externo
88º
x = y/2
x = 106/2
x = 53º
x = z/2
x = 76/2
x = 38º
y
O
x
º
77
Jeca 62
x = y/2
x = 118/2
x = 59º
03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:
H
04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja
P um ponto da circunferência distinto de A e de B.
Pode-se afirmar que :
a) PA = PB
b) PA + PB = constante
c) PA > PB
A
G
70º
F
B
2
2
d) (PA) + (PB) = constante
E
2
D
2
e) (PA) - (PB) = constante
C
a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais.
b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º.
c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º.
d) o arco GFE é maior que o arco EDC.
e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º.
05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C
tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendose que a medida do ângulo interno D é 40º e que a
medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do
ângulo x.
D
06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos
da circunferência de centro O. O valor de x + y é :
a) 242º
b) 121º
c) 118º
d) 59º
B
e) 62º
A
x
O
11
8
º
C
A
y
G
x
E
C
F
B
07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o
mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A,
P, B e S estão na circunferência de centro R e os
pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro
S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN,
mede :
A
a) 23º
b) 21º 30’
M
c) 22º
d) 22º 30’
P
R
S
e) 43º
08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se
uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma
que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência,
em B e em E, respectivamente. Determine a medida,
em graus, do menor arco BE dessa circunferência.
B
A
C
N
B
E
K
09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro O. Determine a medida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB
mede 61º.
(GeoJeca)
D
10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e
MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então,
o arco MSN mede:
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 100º
e) 110º
A
P
P
S
C
M
N
O
T
B
Q
Jeca 63
03) Na circunferência abaixo pode-se afirmar que:
H
A
G
x + y + 70 = 180
x + y = 110
2x + 2y = 220º
70º
2y F
B 2x
E
x
04) (J) Dada uma circunferência de diâmetro AB, seja
P um ponto da circunferência distinto de A e de B.
Pode-se afirmar que :
P
a) PA = PB
b) PA + PB = constante
c) PA > PB
70º
2
resp e)
y
D
2
05) Na figura abaixo, a circunferência de centro C
tangencia o triângulo DEF nos pontos A e B. Sabendose que a medida do ângulo interno D é 40º e que a
medida do arco AGB é 75º, determinar a medida do
ângulo x.
A medida do ângulo central ACB
é igual à medida do arco AGB
D
ACBE é um
quadrilátero
A + E + B + C = 360º 40º
Portanto y = 105º
B
1) Todo triângulo retângulo pode ser inscrito numa semicircunferência.
2) Se o triângulo é retângulo então ele satisfaz o Teorema de
Pitágoras.
2
2
2
(AB) = (PA) + (PB)
2
2
2
Portanto (PA) + (PB) = (AB) = constante (resp d)
06) Na figura abaixo, os pontos A, B e C são pontos
da circunferência de centro O. O valor de x + y é :
a) 242º
b) 121º
c) 118º
d) 59º
B
e) 62º
z
A
x
O
A
75º
C
y
G
F
B
07) Na figura abaixo, as duas circunferências têm o
mesmo raio e centros nos pontos R e S. Os pontos A,
P, B e S estão na circunferência de centro R e os
pontos M, N, R e K estão na circunferência de centro
S. Se o arco APB mede 86º, então o ângulo MKN,
mede :
A
a) 23º
b) 21º 30’
M
c) 22º
86º
d) 22º 30’
P
y
R
S
e) 43º
N
y = 86/2
B
y = 43
x = y/2 = 43/2
x = 21,5º (resp b)
P
61º
B
e = 360/n = 360/5 = 72º
i = 180 - e = 180 - 72 = 108º
A
BCDEO é um quadrilátero
O
x
y = 2 . 61 = 122º
APBO é um quadrilátero
y + 90 + x + 90 = 360
x = 360 - 180 - 122
x = 58º (resp)
Si = 180(n - 2) = 180(5 - 2)
Si = 540º
540 = x + 2 . 90 + 2 . 108
x = 144º
BE = x
BE = 144º (resp)
C
108º
i
x
C
B
E
A
y
y
x
09) (J) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à circunferência de centro O. Determine a medida do ângulo APB sabendo que o ângulo ACB
mede 61º.
(GeoJeca)
w
08) Dado um pentágono regular ABCDE, constói-se
uma circunferência pelos vértices B e E de tal forma
que BC e ED sejam tangentes a essa circunferência,
em B e em E, respectivamente. Determine a medida,
em graus, do menor arco BE dessa circunferência.
K
O
º
118 = y + w
118 = y + x + 59
x + y = 118 - 59 = 59º (resp d)
x
E
11
8
z = 118/2 = 59º
w=x+z
w = x + 59
x + y + 40 = 180
x = 35º (resp)
A
2
e) (PA) - (PB) = constante
C
a) as medidas dos arcos AHG e EDC são iguais. (F)
b) a soma dos arcos AHG e ABC é 180º. (F)
c) a soma dos arcos GFE e ABC é 140º. (F)
d) o arco GFE é maior que o arco EDC. (F)
e) a soma dos arcos GFE e ABC é 220º. (V)
C
2
d) (PA) + (PB) = constante
e
D
10) (MACK-SP) Na figura a seguir, os arcos QMP e
MTQ medem,respectivamente, 170º e 130º. Então,
o arco MSN mede:
a) 60º
b) 70º
c) 80º
d) 100º
e) 110º
y = 360 - QMP
y = 360 - 170 = 190
z = y/2 = 95º
w = 180 - 95 = 85º
k = 130/2
S
k = 65º
x + k + w = 180
N
k
P
M
w
z
130º
T
x
y
x = 30º
x = MSN/2
MSN = 60º (resp a)
Jeca 63
Q
11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são
medida do ângulo agudo formado entre as diagonais diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e
z.
NE e BJ.
A
P
B
A
U
N
B
T
C
C
S
M
D
D
R
E
z
O
L
Q
E
P
F
K
F
O
G
y
x
H
N
J
G
I
L
DICA - Aplique ângulos inscritos
K
J
DICA - Aplique ângulos inscritos
13) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
L
I
M
H
14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
B
A
L
x
K
z
B
C
y
K
y
J
O
C
x
D
t
J
I
D
O
E
z
I
F
H
E
t
G
F
H
G
DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos
15) A figura abaixo representa um eneágono regular 16) No eneágono regular ABCD … , determinar a
ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.
AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as
A
medidas dos ângulos x, y, z e t.
x
B
I
t
H
H
C
O
C
x
z
G
B
I
A
O
G
D
y
D
F
F
P
E
E
DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 64
DICA - Aplique ângulos inscritos
11) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 12) No icoságono regular abaixo, BK, CN e HN são
medida do ângulo agudo formado entre as diagonais diagonais. Determine as medidas dos ângulos x, y e
z.
NE e BJ.
m = 360/20
A
P
B
3.
n = 15 lados
C
º
72
M
D
x
O
4 . 24 = 96º L
y = 72/2 = 36º
=
24
N
w
y
K
w = 96/2 = 48º
J
I
x=y+w
x = 36 + 48
x = 84º (resp)
H
F
O
P
H
N
I
M
L
K
J
14) A figura abaixo representa um quadrilátero BEFK
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
B
m = 360/12
B m = 30º
A
L
x
K
t = CDE = 2 . 30
t = 60º
z
y
O
D
t
I
z = GHJ/2
z = 3 . 30/2
z = 45º
x = BDF/2
x = 4 . 30/2
x = 60º
C
J
E
F
H
G
t
y
x
DICA - Aplique ângulos inscritos
A
y = EFG/2
y = 2 . 30/2
y = 30º
E
x + y + z = 180
z = 36º
13) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
L
D
z
Q
DICA - Aplique ângulos inscritos
x = LCE/2 = 5 . 30/2
x = 150/2 = 75º
w
R
y=t+w
y = 27 + 72 = 99º
k = 360/15
k = 24º
C
S
w = HJK/2
w = 3 . 18/2
w = 27º
t = NSB/2
t = 8 . 18/2
t = 72º
G
m = 18º
B
T
E
F
A
U
x = CEH/2
x = 5 . 18/2
x = 45º
G
m = 360/12
m = 30º
y
K
y = EHK/2
y = 6 . 30/2
y = 90º
J
z = FJB/2
z = 8 . 30/2
z = 120º
D
O
z
I
E
t
t = KBE/2
t = 6 . 30/2
t = 90º
DICA - Aplique ângulos inscritos
C
x
F
H
G
DICA - Aplique ângulos inscritos
15) A figura abaixo representa um eneágono regular 16) No eneágono regular ABCD … , determinar a
ABCD … de centro O. Sendo OI a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas IB e DE.
AIH e OP a mediatriz do segmento FE, determinar as
A
medidas dos ângulos x, y, z e t.
x = ICG/2
x = 7 . 40/2
x = 140º
B
I
B
I
A
t
t
y
H
C
y = x = 140º
H
C
x
z
G
m = 360/9
m = 40º
O
y
D
F
P
O
2.t = 140
t = 70º
z = IGP'
z = 3,5 . 40
z = 140º
z
G
m = 360/9
m = 40º
F
D
y = BCD/2
y = 2 . 40/2
y = 40º
z = EGI/2
z = 4 . 40/2
z = 80º
E
z=x+y
x=z-y
x = 80 - 40 = 40º (resp)
E
DICA - Aplique ângulos inscritos
x
Jeca 64
DICA - Aplique ângulos inscritos
Geometria plana
Ângulos na circunferência.
Exercícios complementares da aula 06.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
c)
b)
86º
O
x
x
246º
a)
V
O
x
O
V
76º
V
f)
e)
d)
29º
x
x
O
136º
88º
O
O
x
h)
g)
i)
x
10
68º
23º
70º
O
2º
x
94º
x
O
O
87º
j)
m)
l)
x
106º
33º
O
O
38
º
O
x
n)
x
p)
o)
196º
x
51º
x
O
O
O
x
56º
Jeca 65
Geometria plana
Ângulos na circunferência.
Exercícios complementares da aula 06.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
c)
b)
86º
O
x
x
246º
a)
V
O
x
O
V
76º
V
x = 86/2
x = 43º
f)
e)
d)
76 = x/2
x = 152º
x = 246/2
x = 123º
y
29º
x
x
O
136º
88º
O
O
y = 2 . 29
y = 58º
x
x = 136º
h)
g)
x = y/2
x = 58/2
x = 29º
x = 88/2
x = 44º
i)
x
10
x
O
l)
y = 38/2
y = 19º
y
z
x
x = 114/2
x = 57º
n)
m)
x
O
º
O
x + y + w = 180º
x = 180 - 51 - 34 = 95º
z = 106/2
z = 53º
O
38
106º
66º
w
y = 102/2
y = 51º
w = 68/2
w = 34º
x/2 + 23 + 93 = 180
x/2 = 64
x = 128º
x + 94 + 70 = 180
x = 16º
33º
O
y
93º
x/2 87º
j) 114º
x
68º
23º
94º 70º
O
2º
x
94º
x
x
180º
z=x+y
x = z - y = 53 - 19 = 34º
p)
o)
x = 180/2
x = 90º
196º
x
51º
x
O
O
O
x
y
56º
x + 51 + 90 = 180
x = 39º
x + 56 = 180
x = 124º
Jeca 65
y = 196/2
y = 98º
x + y = 180
x = 180 - 98
x = 82º
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
b)
78º
x
x
O
O
O
98º
2x
x
d)
f)
e)
x
58º
42º
º
88
x
x
O
57º
O
O
g)
h)
x
i)
56º
O
O
º
40
94º
O
26º
1
x
x
40º
36º
l)
j)
m)
x
x
55º
O
120º
O
O
10
0º
82º
x
115º
68º
o)
n)
p)
56º
O
x
48º
x
O
O
44
º
x
Jeca 66
02) Nas figuras abaixo, sendo O o centro da circunferência, determinar a medida do ângulo ou do arco x.
a)
c)
b)
x
x
78º
y
y
O
O
O
98º
2x
x
y + 98 = 180
x + y = 180
x = 98º
x + 2x = 180
3x = 180
x = 60º
d)
f)
e)
114º
y + 78 = 180
y = 102
y = x/2
x = 2y
x = 204º
x
58º
42º
º
88
x
x
O
57º
O
O
2x
84º
2x
g)
58 = 2y
y = 116º
x + y + 88 = 360
x = 156º
y
2x + 114 = 180
2x = 66
x = 33º
2x + 84 = 180
2x = 96
x = 48º
h)
x
i)
z
y
56º
O
O
140º
y
º
40
94º
O
y = 40/2
y = 20º
z = 36 + y
z = 56º
26º
1
z
x
y = 56/2
y = 28º
z + 140 + y = 180
z = 12º
x = 2z = 2 . 12
x = 24º
x
z = 94/2 = 47º
y + 26 = 47
y = 21º
x = 2y = 2 . 21 = 42º
y
y = 68/2
y = 34º
x
40º
36º
x = 2z
x = 2 . 56
x = 112º
x
y = 2 . 100
y = 200º
x
x
60º
55º
120º
z
O
z
m)
l)
j)
82º
y
y
O
z = 2 . 115
z = 230º
x
115º
O
z
10
0º
68º
2x
82 = 34 + z
z = 48º
x = 2z
x = 2 . 48 = 96º
z
o)
n)
y + z = 360 + x
430 = 360 + x
x = 70º
x + 60 + 55 = 180
x = 65º
p)
y
56º
48º
R
O
x
x
O
O
44
º
y
y = 2 . 56
y = 112º
x = y = 112º
Jeca 66
y = 2 . 44
y = 88º
z = 180 - y
z = 92º
x = z/2
x = 92/2
x = 46º
R
y
z
48 = z/2
z = 96º
y
x
z + y + y = 180
x + y = 90
y = 42º
x = 48º
03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um
diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da
medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB,
ECD e AFE.
04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à
circunferência de centro C nos pontos A e B.
Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar
a medida do arco ADB.
A
B
P
C
C
F
A
D
D
B
E
05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da circunferência de diâmetro AD e centro O. Determine
a medida do ângulo AEB.
B
C
x
E
A
28º
72º
06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de
centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do
diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e
ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.
O
D
R
O
07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cirpontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circunferência diferente de A e de B, determine :
DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.
a) a medida do ângulo ADB.
C
b) o tipo do triângulo ADB.
c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.
d) a medida do segmento CD.
A
B
B
C
D
F
A
E
D
Jeca 67
03) Na circunferência de centro C abaixo, AB é um
diâmetro e a medida do segmento DE é a metade da
medida de AB. Determine a medida dos ângulos ADB,
ECD e AFE.
A
DE = AC = CB = R (raio)
O triângulo CDE é equilátero
Portanto ECD = 60º
B
R
y = 2k
z = 2p
A
D
x
R
y
B
w
E
O triângulo APB é isósceles
2y + 48 = 180
y = 66º
z + y = 90º
z = 24º
w + 2z = 180
w = 132º
ADB = 360 - w = 360 - 132 = 228º
x = p + k = y/2 + z/2 = (y + z)/2
x = 120/2
x = AFE = 60º
05) Na figura abaixo, A, B, C e D são pontos da circunferência de diâmetro AD e centro O. Determine
a medida do ângulo AEB.
B
28º
72º
z
D
R
y
x
z
y
P
C
F
k = y/2
p = z/2
C
48º
w
R
p
y + w + z = 180
w = 60º
y + z = 120º
y
z
z
k
C
ADB = 90º
O triângulo ADB é retângulo porque está inscrito
numa semicircunferência.
04) Na figura abaixo, as retas PA e PB são tangentes à
circunferência de centro C nos pontos A e B.
Sabendo-se que o ângulo APB mede 48º, determinar
a medida do arco ADB.
06) Sejam P, Q e R pontos de uma circunferência de
centro O, tais que P e Q estão do mesmo lado do
diâmetro que passa por R. Sabendo que ORP = 20º e
ROQ = 80º, calcule o ângulo PQO.
Q
E
x
A
P
y
z
O
80º
D
20º
O
R
z = 28/2 = 14º
y = 72 /2 = 36º
y=x+z
x=y-z
x = 36 - 14
x = 22º
z = 20 + 80
z = 100º
y = QOR/2
y = 80/2
y = 40º
z=x+y
100 = x + 40
x = 60º (resp)
07) Na figura abaixo, AB é o diâmetro e C, D e E são 08) Na figura abaixo, AB = 12 cm é um diâmetro da cirpontos da circunferência. Sabendo-se que o ângulo cunferência de centro C. Sendo D um ponto da circunferência diferente de A e de B, determine :
DCE mede 35º, determine a medida do ângulo BFE.
a) a medida do ângulo ADB.
C
b) o tipo do triângulo ADB.
c) o que é o segmento CD no triângulo ADB.
35º
d) a medida do segmento CD.
D
A
p
k
y
F
D
x
w
E
z
B
z = 2 . 35 = 70º
y + z + w = 180
y + w = 110º
a) ADB = 90º
Todo triângulo retângulo pode ser
inscrito numa semicircunferência.
b) triângulo retângulo.
c) CD é uma mediana do
triângulo ABD
d) CD = AC = CB = R (raio)
CD = 6 cm
k = w/2
p = y/2
x = k + p = w/2 + y/w
x = (y + w)/2
x = 110/2
x = 55º
Jeca 67
B
C
A
D
09) A figura abaixo representa um eneágono regular
inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar
a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais
GB e HD.
10) A figura abaixo representa um decágono regular
inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ
e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD
respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.
A
A
I
H
I
C
x
B
J
B
C
O
O
G
D
D
H
E
F
E
G
F
DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos
11) A figura abaixo representa um heptágono regular 12) A figura abaixo representa um pentadecágono reinscrito numa circunferência de centro O. Determinar a gular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD
medida do ângulo BDG.
e BI.
A
A
B
P
G
B
N
C
M
D
O
O
L
C
F
E
F
K
E
D
G
J
I
DICA - Aplique ângulos inscritos
H
DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 68
09) A figura abaixo representa um eneágono regular
inscrito em uma circunferência de centro O. Determinar
a medida do ângulo agudo formado entre as diagonais
GB e HD.
10) A figura abaixo representa um decágono regular
inscrito em uma circunferência de centro O. Sendo OJ
e OC as bissetrizes dos ângulos AJI e BCD
respectivamente, determinar a medida do ângulo COJ.
A
A
I
B
m = 360/9
m = 40º
z
y
H
I
C
x
B
J
m = 360/10
m = 36º
C
x
O
O
G
D
y = BCD/2
y = 2 . 40 = 80/2
y = 40º
E
F
D
H
x = JAC
x = 3 . 36
x = 108º (resp)
z = HG/2
z = 40/2
z = 20º
E
G
F
x=y+z
x = 40 + 20
x = 60º (resp)
DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos
11) A figura abaixo representa um heptágono regular 12) A figura abaixo representa um pentadecágono reinscrito numa circunferência de centro O. Determinar a gular inscrito numa circunferência de centro O. Determinar o ângulo obtuso formado entre as diagonais MD
medida do ângulo BDG.
e BI.
A
m = 360/15
m = 24º
P
G
B
A
B
N
C
m = 360º/7
x
M
D
y
O
O
L
C
F
E
x
F
K
z
E
D
G
J
x = GAB/2
x = 2 . m/2
x = (2 . 360/7)/2
x = 360/7
y = DFI/2 = 5.m/2 = 5 . 24/2
y = 60º
x = 360º/7 (resp)
z = MPB/2 = 4 . m/2 = 4 . 24/2 = 48º
I
H
x = y + z = 60 + 48
x = 108º (resp)
DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 68
13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 14) No icoságono regular abaixo, determinar as medimedida do ângulo agudo formado entre as diagonais das dos ângulos x, y e z.
A
B
U
ND e BJ.
A
P
T
B
C
S
N
D
O
L
Q
E
E
F
O
G
P
H
N
F
K
y
x
R
M
D
z
C
I
M
J
L
G
I
J
K
H
DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos
15) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
L
16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
B
A
L
x
K
y
C
K
y
z
B
C
t
J
x
D
O
J
I
D
O
t
E
z
I
E
F
H
G
F
H
G
DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos
17) A figura abaixo representa um octógono regular 18) No eneágono regular ABCD … , determinar a
ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.
AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as
A
medidas dos ângulos x, y, z e t.
H
x
z
B
I
A
B
y
H
C
O
t
G
C
O
G
x
D
F
D
F
E
E
DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 69
DICA - Aplique ângulos inscritos
13) No pentadecágono regular abaixo, determinar a 14) No icoságono regular abaixo, determinar as medimedida do ângulo agudo formado entre as diagonais das dos ângulos x, y e z.
A
B
U
ND e BJ.
m = 360/20
A
P
T
m = 18º
B
C
S
A medida do arco MN
é igual a 360/15 = 24º
N
M
72º
D
48º
O
L
E
24º
J
BJD = BCD/2 = 48/2 = 24º
JDN = JLN/2 = 96/2 = 48
G
P
w
H
w = RUB/2
w = 5.m/2 = 5 . 18/2
w = 45º
G
I
F
O
N
F
K
E
k
Q
k = FJM/2
k = 7.m/2 = 7 . 18/2
k = 63º
y
x
R
x = CDF/2
x = 3.m/2 = 3 . 18/2
x = 27º
D
z
C
R
I
M
L
J
K
H
y = k + w = 63 + 45
y = 108º
JRN é ãngulo externo do triângulo JRD
JRN = 24 + 48 = 72º (resp)
x + y + z = 180
27 + 108 + z = 180
z = 45º
DICA - Aplique ângulos inscritos
DICA - Aplique ângulos inscritos
15) No dodecágono regular de centro O abaixo, determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
A
L
x = LCE/2
x = 5.m/2 = 5 . 30/2
x = 75º
y = EFH/2
y = 3.m/2 = 3.30/2
y = 45º
B
A
x
K
C
t
J
D
O
I
z = HIJ/2
z = 2.m/2 = 2.30/2
z = 30º
F
G
t = ACE
t = 4,m = 4 . 30
t = 120º
C
y = EHK/2
y = 6.m/2 = 6 . 30/2
y = 90º
x
J
DICA - Aplique ângulos inscritos
D
O
t
z
I
E
t = KBE/2
t = 6.m/2 = 6 . 30/2
t = 90º
m = 360/12
m = 30º
B
y
K
z = ILB/2
z = 5.m/2 = 5 . 30/2
z = 75º
E
H
L
x = BFI/2
x = 7.m/2 = 7 . 30/2
x = 105º
y
z
16) A figura abaixo representa um quadrilátero BEIK
inscrito em um dodecágono regular ABC... . Determinar as medidas dos ângulos x, y, z e t.
12
0/
6
3 º
F
= 30
m =
m
H
G
DICA - Aplique ângulos inscritos
17) A figura abaixo representa um octógono regular 18) No eneágono regular ABCD … , determinar a
ABCD … de centro O. Sendo OH a bissetriz do ângulo medida do ângulo x formado pelas retas AG e DF.
AHG e OB a mediatriz do segmento BC, determinar as
A
medidas dos ângulos x, y, z e t.
m = 360/9
m = 40º
A
H
x = BEH/2
x = 6.m/2
x = 6 . 45/2
x = 135º
H
O
G
D
F
y
C
O
z = x/2 = 135/2
z = 67,5º
t = 2,5 . m
7 = 2,5 . 45
t = 112,5º
C
t
G
y = ABD/2
y = 3.m/2
y = 3 . 40/2
y = 60º
B
y
m
m = 36
= 4 0/
5º 8
y = x = 135º
x
z
B
I
x
z
F
D
E
E
DICA - Aplique ângulos inscritos
Jeca 69
DICA - Aplique ângulos inscritos
z = GF/2
z = m/2
z = 40/2
z = 20º
y=x+z
x=y-z
x = 60 - 20
x = 40º
19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão
na circunferência de centro O. Se o arco APC mede
160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do
ângulo ACB ?
A
a) 51º
b) 43º
P
M
c) 33º
d) 47º
e) 37º
O
20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão
na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede
110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do
ângulo BAC ?
a) 62º
A
b) 64º
P
c) 58º
M
d) 63º
e) 59º
O
C
B
C
B
N
N
21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência 22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retânde centro O. Determinar a medida do ângulo ADC gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.
sabendo que o ângulo BAC mede 35º.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana
C
e pela bissetriz do ângulo reto ?
D
x
A
35º
O
B
23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos
ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.
fio
sa
De
A
F
E
O
B
D
Jeca 70
C
19) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão
na circunferência de centro O. Se o arco APC mede
160º e o ângulo BAC mede 63º, qual é a medida do
ângulo ACB ?
A
a) 51º
160º
b) 43º
P
M
63º
c) 33º
d) 47º
e) 37º
O
y
y = 160/2 = 80º
x
20) Na figura abaixo, os pontos A, B, C, M, N e P estão
na circunferência de centro O. Se o arco AMB mede
110º e o ângulo ABC mede 63º, qual é a medida do
ângulo BAC ?
a) 62º
A
b) 64º
P
c) 58º
M
110º
d) 63º
e) 59º
O
63º
C
B
y
C
B
x + y + 63 = 180
x + 80 + 63 = 180
x = 180 - 143
x = 37º (resp e)
N
N
21) Na figura abaixo, AB é o diâmetro da circunferência 22) (FUVEST-SP) A hipotenusa de um triângulo retânde centro O. Determinar a medida do ângulo ADC gulo mede 20 cm e um dos ângulos mede 20º.
sabendo que o ângulo BAC mede 35º.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa ?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana
C
e pela bissetriz do ângulo reto ?
x = ABC/2
x = (180 +70)/2
x = 250/2
x = 125º
D
70º
x
A
C
35º
B
O
45º
A
x
a) Em todo triângulo retângulo a mediana relativa à hipotenusa vale a metade dessa
hipotenusa.
20º
10 cm
20º
O 10 cm
B
Portanto CO = 10 cm
b) 45 + x + 20 = 90
x = 90 - 65
x = 25º
180º
23) No triângulo ABC abaixo, AD, BE e CF são as alturas relativas aos vértices A, B e C. Sendo as medidas dos
ângulos ABC = 48º e ACB = 64º,determinar as medidas dos ângulos internos do triângulo DEF.
fio
sa
De
A
F
E
O
B
D
(Resolução na página 72)
Jeca 70
C
Respostas dos exercícios da Aula 06.
01)
a) 59º
f) 28º
b) 82º
g) 28º
02)
a) 28º
f) 38º
k) 42º
b) 22º 30'
g) 53º
l) 92º
c) 92º
h) 76º
d) 39º
i) 87º
c) 110º
h) 53º
m) 107º
e) 90º
d) 20º
i) 72º
n) 54º
e) 18º
j) 120º
o) 59º
03) e
04) d
05) 35º
06) d
07) b
08) 144º
09) 58º
10) a
11) 84º
12) 45º, 99º e 36º
13) 75º, 30º, 45º e 60º
14) 60º, 90º, 120º e 90º
15) 140º, 140º, 70º e 140º
16) 40º
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 71
Respostas dos exercícios complemmentares da Aula 06.
01)
a) 43º b) 123º c) 152º d) 136º e) 44º
f) 29º g) 16º
h) 128º i) 95º
j) 57º
l) 34º m) 90º
n) 39º
o) 124º p) 82º
11) 360º / 7
12) 108º
13) 72º
02)
a) 60º b) 98º
f) 156º g) 24º
l) 65º m) 70º
c) 204º
h) 42º
n) 112º
d) 33º e) 48º
i) 112º j) 96º
o) 46º p) 48º
14) x = 27º, y = 108º , z = 45º
15) x = 75º , y = 45º , z = 30º , t = 120º
03) 90º, 60º e 60º
16) x = 105º , y = 90º , z = 75º , t = 90º
04) 228º
17) x = 135º , y = 135º , z = 67,5º , t = 112,5º
05) 22º
18) 40º
06) 60º
19) e
07) 55º
20) a
08) a) 90º
c) mediana
b) triângulo retângulo
d) 6 cm
21) 125º
22) a) 10 cm
b) 25º
09) 60º
10) 108º
Resolução do exercício 23) (Desafio)
O quadrilátero AFOE é inscrito numa circunferência, pois os os ângulos opostos AFO e AEO são
suplementares. Desenhando-se a circunferência percebe-se que os ângulos EAO e EFO são
congruentes pois estâo inscritos no mesmo arco da mesma circunferência. Análogamente provam-se os
demais ângulos.
A
26º
F
26º
E
O
(GeoJeca)
64º
C
B
D
Jeca 72
DEF = 84º
DFE = 52º
EDF = 44º
Geometria plana
Aula 07
Segmentos proporcionais.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Teorema de Tales.
II) Teorema da bissetriz interna.
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas
retas transversais, a razão entre dois segmentos
quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os
segmentos correspondentes da outra transversal.
Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno
divide internamente o lado oposto em dois segmentos
que são proporcionais aos lados adjacentes.
A
bissetriz
a a
r
c
a
Teorema
de Tales
s
c
a
= d
b
d
b
Teorema da
bissetriz interna
b
c
B
t
x
y
x
c = b
C
y
r // s // t
Exercícios.
01) Determine o valor de x na figura abaixo.
02) Determine o valor de x na figura abaixo.
r // s // t
r // s // t
r
r
x
x
8
8
s
s
5
24
18
6
t
03) Determine o valor de x na figura abaixo.
t
04) Determine o valor de x na figura abaixo.
r
r
12
5
10
8
s
x
x
18
4
t
s
r // s
r // s // t
05) Determine o valor de x na figura abaixo.
06) Determine o valor de x na figura abaixo.
r
6
11
s
10
12
x
x
r
8
7
t
s
r // s // t
r // s
Jeca 73
Geometria plana
Aula 07
Segmentos proporcionais.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
I) Teorema de Tales.
II) Teorema da bissetriz interna.
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por duas
retas transversais, a razão entre dois segmentos
quaisquer de uma transversal é igual à razão entre os
segmentos correspondentes da outra transversal.
Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno
divide internamente o lado oposto em dois segmentos
que são proporcionais aos lados adjacentes.
A
bissetriz
a a
r
c
a
Teorema
de Tales
s
c
a
= d
b
d
b
Teorema da
bissetriz interna
b
c
B
t
x
y
x
c = b
C
y
r // s // t
Exercícios.
01) Determine o valor de x na figura abaixo.
02) Determine o valor de x na figura abaixo.
r // s // t
r // s // t
r
x
8
s
5
6
t
Teorema de Tales
8
5
x
6
=
r
Teorema de Tales
x
x
8
=
18
24
x = 6 . 8/5
x = 24 . 8/18
x = 48/5 (resp)
x = 32/3 (resp)
03) Determine o valor de x na figura abaixo.
8
s
24
18
t
04) Determine o valor de x na figura abaixo.
r
r
12
10
Teorema de Tales
x
12
s
x
18
t
=
Teorema de Tales
18
10
x
8
=
5
4
5
x = 12 . 18/10
x = 8 . 4/5
x = 108/5 (resp)
x = 32/5 (resp)
x
t
4
s
r // s // t
r // s // t
05) Determine o valor de x na figura abaixo.
8
06) Determine o valor de x na figura abaixo.
r
6
Teorema de Tales
s
10
t
12
x
x
6 + 10
=
Teorema de Tales
12
10
x
8
=
11
x
11
7
x = (16 . 12)/10
x = 8 . 11/ 7
x = 96/5 (resp)
x = 88/ 7 (resp)
r
8
7
s
r // s // t
r // s
Jeca 73
07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a
Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas
laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida
de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a
frente total para essa rua é 180 m.
x
Rua B
y
08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.
A
z
G
m
n
B
H
p
C
40 m
30 m
Rua A
I
q
20 m
D
J
r
E
L
s
F
M
u
09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.
A
G
m
n
B
10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm
e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as
retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os
comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em
centímetros.
A
H
v
B
D
C
p
C
I
B'
q
D
J
C'
r
E
L
D'
s
F
u
M
v
Jeca 74
07) (MAPOFEI 76) Três terrenos têm frente para a
Rua A e para a Rua B, como mostra a figura. As divisas
laterais são perpendiculares à Rua A. Qual a medida
de frente para a Rua B de cada lote, sabendo que a
frente total para essa rua é 180 m.
Teor. de Tales
x
180 m
Rua B
y
08) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e JL = 8, determine a medida de GJ e de HM.
A
3
z
40 m
30
y
=
90
180
30 m
Rua A
H
p
C
5
x = 2 . 40 = 80 m
I
q
D
20 m
m
n
B
4
40
x
=
90
180
G
J
6
8
r
E
40 + 30 + 20 = 90 m
L
7
y = 2 . 30 = 60 m
s
F
20
z
=
90
180
u
z = 2 . 20 = 40 m
09) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e JM =15, determine as medidas de HL e GM.
A
3
5
G
m
=
HM
BF
=
DE
JL
AD
DE
GJ = AD . JL / DE
HM = BF . JL / DE
GJ = (3 + 4 + 5) . 8 / 6
HM = (4 + 5 + 6 + 7) . 8 / 6
GJ = 16
HM = 88/3
10) (UNICAMP) A figura a seguir mostra um segmento AD dividido em três partes: AB = 2cm, BC = 3 cm
e CD = 5 cm. O segmento AD' mede 13 cm e as
retas BB' e CC' são paralelas a DD'. Determine os
comprimentos dos segmentos AB', B'C' e C'D' em
centímetros.
n
B
4
2 + 3 + 5 = 10 cm
H
p
C
A
I
2 cm B
3 cm
D
B'
J
y
6
15
E
5 cm
C
x
q
D
r
C'
13 c
L
m
7
z
Teor. de Tales
s
F
M
u
Teor. de Tales
=
v
Teor. de Tales
GJ
JL
HL
JM
M
BE
DF
v
x
13
=
2
10
x = 2 . 13 / 10 = 13/5 cm
Teor. de Tales
y
13
GM
AF
=
DF
JM
=
3
10
y = 3 . 13 / 10 = 39/10 cm
HL = JM . BE / DF
GM = JM . AF / DF
HL = 15 . (4 + 5 + 6) / (6 + 7)
GM = 15(3 + 4 + 5 + 6 + 7)/13
HL = 225 / 13
GM = 375 / 13
z
13
=
5
10
z = 5 . 13 / 10 = 13/2 cm
Jeca 74
D'
12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do
ângulo interno do vértice A, determine a medida do
segmento BD.
A
12
B
C
13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A.
Calcule a medida do segmento CD.
A
D
3x
C
B
15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm.
Determine a medida do segmento DE.
A
B
+1
3
14 cm
B
A
16
cm
cm
14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura
abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.
3x -
30
C
D
20 cm
9 cm
D
cm
16 c
6 cm
B
a a
m
a a
10
cm
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do
ângulo interno do vértice A, determine a medida do
segmento AC.
A
12 cm
9 cm
D
C
16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triângulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm,
determine o valor da razão DE / AE.
A
3a
a
10
cm
E
B
D
E
C
C
D
3 cm
5 cm
17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo 18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e
BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A
A, determine a em função de b, c e d.
divide
o lado BC em dois segmentos, qual é a medida
B
do
menor
desses segmentos ?
b
a) b . c
a
a+c
D
c
a
b) b . c
a
a+b
A
C
d
c) a . b
b+c
d) a . c
b+c
e) a . b
b-c
Jeca 75
11) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do
ângulo interno do vértice A, determine a medida do
segmento AC.
A
cm
12
x = 12 . 9 / 6
B
x = 18 cm (resp)
x
B
6 cm
20 - x
C
x
16
=
C
D
20 cm
9 cm
D
a a
m
16 c
Teorema da bissetriz
interna
x
cm
9
x
6
=
12
a a
10
Teorema da bissetriz
interna
12) No triângulo ABC abaixo, sendo AD a bissetriz do
ângulo interno do vértice A, determine a medida do
segmento BD.
A
20 - x
10
16(20 - x)
10
10x = 320 - 16x
26x = 320
x =
13) Na figura, AD é bissetriz interna do ângulo A.
Calcule a medida do segmento CD.
A
30
cm
12
9
=
3x - 3
3x + 1
3x
3
C
D
+1
9(3x + 1) = 12(3x - 3)
x
14 cm
B
A
3x -
x
14
=
16
30
x = 16 . 14 / 30
14) Determinar o valor de x sabendo-se que na figura
abaixo AD é a bissetriz interna do ângulo A.
Teorema da bissetriz
interna
16
cm
Teorema da bissetriz
interna
x = 160 / 13 cm (resp)
x = 112 / 15 cm (resp)
12 cm
B
27x + 9 = 36x - 36
9 cm
D
C
45 = 9x
x = 5 cm (resp)
15) O quadrado ABCD da figura abaixo tem lado 4 cm.
Determine a medida do segmento DE.
A
B
3a
Teorema da bissetriz
interna
x
4
d
a
=
4
=
A
D
E
C
cm
3
x
b
b
B
x( 2 + 1) = 4
x =
Teorema da bissetriz
interna
E
x 2+x=4
4-x
10
x
x 2=4-x
x
Incentro - ponto de encontro das bissetrizes.
a a
4-x
4 2
x . 4 2 = 4(4 - x)
2
4
16) Na figura abaixo, o ponto E é o incentro do triângulo ABC. Sendo BD = 3 cm, CD = 5 cm e AC = 10 cm,
determine o valor da razão DE / AE.
3 cm
4
= 4( 2 - 1) cm
2+1
(resp)
5x = 30
C
D
=
5
10
x = 6 cm
BE também é bissetriz
AE
DE
=
3
6
5 cm
3
6
=
DE
=
AE
1
2
(resp)
17) Na figura abaixo, sendo AD a bissetriz do ângulo 18) Dado um triângulo ABC de lados AB = c, AC = b e
BC = a, sendo c < b < a. Se a bissetriz do ângulo A
A, determine a em função de b, c e d.
divide
o lado BC em dois segmentos, qual é a medida
B
do
menor
desses segmentos ?
b
Teorema da bissetriz
Teorema da bissetriz
a) b . c
A
a
interna
interna
a+c
D
c
a
a
a
b
b)
b
.
c
c
a-x
x
b
c
a
a = d
c =
b
a+b
A
C
d
a.c=b.d
a-x
x
c) a . b
B
C
b+c
a
a = b . d / c (resp)
d) a . c
bx = a.c - c.x
b+c
b.x + c.x = a.c
e) a . b
x(b + c) = a.c
b-c
x = a.c / (b + c) (resp d)
Jeca 75
19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5,
BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que
CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura
relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.
20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o
segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC.
Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e
que AB = 7 cm.
B
A
21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em
A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a
bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do
segmento DM.
m
6c
cm
B
D
M
C
22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é
100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado
oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine as medidas dos lados desse triângulo.
8c
5
m
A
D
C
Jeca 76
19) (Fuvest-SP) Um triângulo ABC tem lados AB = 5,
BC = 4 e AC = 2. Sejam M e N os pontos de AB tais que
CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura
relativa ao lado AB. Determine o comprimento de MN.
20) Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângulo e o
segmento BD é a bissetriz interna do ângulo ABC.
Determine a medida de BD sabendo que BC = 25 cm e
que AB = 7 cm.
B
C
Pitágoras
2
4
2
2
a
2
25 = 7 + w
a
7
25 cm
x
2
w = 625 - 49 = 576
N
M
x
A
Teorema da bissetriz
interna
4
a
2 a
5-x
x
2
B
M
4x = 10 - 2x
C
2
y
5-x
4
=
4
2
2
2
2
C
y = 21/4 cm
Pitágoras
2
2
2
x = 7 + (21/4)
2
y +h =4
B
w
24 - y
25
25y = 168 - 7y
2 =y +h
5-y
y N
2
=
7
x = 5/3
2
24 - y
D
Teorema da bissetriz interna
Pitágoras
h
A
w = 24
5
C
A
y
B
A
2
x = 49 + 441/16 = 1 225/16
2
4 = (5 - y) + h
x = 35/4 cm (resp)
2
2
16 = 25 - 10y + y + h
16 = 25 - 10y + 4
10y = 13
y = 13/10
MN = x - y = 5/3 - 13/10 = 5030 - 39/30 = 11/30 (resp)
21) Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em
A ; AM é a mediana relativa à hipotenusa e AD é a
bissetriz do ângulo BAC. Determinar a medida do
segmento DM.
A
22) (MAPOFEI-SP) O perímetro de um triângulo é
100 m. A bissetriz do ângulo interno A divide o lado
oposto em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determine as medidas dos lados desse triângulo.
A
m
5
6c
B
D
B
y
2
C
24
16
C
40 m
10 - y
AB + AC + BC = 100
Se BC = 16 + 24 = 40 , então AB + AC = 100 - 40 = 60 m
x
Pitágoras
2
M
60 - x
x
cm
m
a a
8c
2
x = 6 + 8 = 100
x = 10 cm
Portanto, BM = 5 cm
Teorema da bissetriz interna
y
10 - y
=
8
6
8y = 60 - 6y
14y = 60
y = 30/7 cm
Teorema da bissetriz interna
16
24
x = 60 - x
24x = 960 - 16x
40x = 960
x = 24 m
AB = x = 24 m
AC = 60 - x = 60 - 24 = 36 m
BC = 40 m
(resp)
BM = 5 cm
BD = 30/7 cm
DM = BM - BD = 5 - 30/7 = 35/7 - 30/7
DM = 5/7 cm (resp)
Jeca 76
Geometria plana
Teorema de Tales e Teorema da
bissetriz interna.
Exercícios complementares da aula 07.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x
a
e y.
x
5
02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x
e y.
a
b
7
5
b
10
8
4
c
y
x
c
y
7
4
d
03) Na figura abaixo, determine z em função de y.
r // s // t
04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o
valor de x e de y.
r
r // s // t
r
y
x
d
x
2
s
s
y
3
z
3x
t
t
05) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
06) Na figura abaixo, determine o valor de x.
r
9 cm
x
7
6 cm
s
y
3
t
x
7 cm
9
11
u
v
z
2
r // s // t // u // v
07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função 08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado
BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm
de a, b e c.
do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual
r
divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a
medida de CN.
a
b
r // s
c
x
s
Jeca 77
Geometria plana
Teorema de Tales e Teorema da
bissetriz interna.
Exercícios complementares da aula 07.
Estudos sobre Geometria realizados
pelo prof. Jeca
(Lucas Octavio de Souza)
(São João da Boa Vista - SP)
01) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x
a
e y.
x
5
Teorema de Tales
x
5
=
8
10
x = 5 . 10 / 8
x = 25 / 4
b
10
8
c
y
7
02) Na figura abaixo, sendo a // b // c //d , determinar x
e y.
a
7
Teorema de Tales
7
5
x = 4
x=7.4/5
x = 28 / 5
5
b
x
4
c
y
4
d
d
8
y
5
7
y = 4
y=5.4/7
y = 20 / 7
10
7
=
y = 7 . 8 / 10
y = 28 / 5
03) Na figura abaixo, determine z em função de y.
04) Na figura abaixo, sendo x + y = 9, determinar o
valor de x e de y.
r // s // t
Teorema de Tales
x
2
= x+y
2+3
r
y
x
s
x
2
=
5
9
x = 18 / 5
Teorema de Tales
y
x
3x = z
z
3x
t
1
3
x
2
s
y
3
t
y
3
=
5
9
y = 27 / 5
y
z
=
r // s // t
r
z = 3y (resp)
05) Na figura abaixo, determinar x, y e z.
06) Na figura abaixo, determine o valor de x.
Teorema de Tales
r
x
s
6 cm
x = 9 . 7 / 11 = 63 / 11
y
3
t
y
9
9
11
z
=
x
3
11
y = 9 . 3 / 11 = 27 / 11
u
v
9 cm
7
= 11
x
9
7
11
z =
2
r // s // t // u // v
9
2
7 cm
Teorema de Tales
x
9
=
7
6
x=9.7/6
x = 63 / 6
x = 21 / 2
z = 11 . 2 / 9 = 22 / 9
07) Na figura abaixo, determine o valor de x em função 08) Num triângulo ABC, o lado AC mede 32 cm e o lado
BC, 36 cm. Por um ponto M situado sobre AC, a 10 cm
de a, b e c.
do vértice C, traçamos a paralela ao lado AB, a qual
r
divide BC em dois segmentos BN e CN. Determine a
Teorema de Tales
medida de CN.
a
x
=
x.b=a.c
x=a.c/b
b
c
a
b
r // s // t
c
s
A
t
x
Teorema de Tales
10
x
=
22
36 - x
22x = 360 - 10x
32x = 360
x = 360 / 32
x = 45 / 4 cm
Jeca 77
22
M
B
36 - x
N
10
x
C
09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas
entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se
aproxima de x - y, é :
a)
b)
c)
d)
e)
1,03
1,33
1,57
1,75
2,00
10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são
paralelas entre si. Determine o valor da soma das medidas dos segmentos x, y, z e t.
r
y
4
x
a
3
2
b
x
3
s
c
y
4
5
d
t
z
5
e
t
6
f
11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?
a)
b)
c)
d)
e)
83 / 9
81 / 7
93 / 9
72 / 7
89 / 8
A
G
m
n
B
H
p
C
I
12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?
a) 198 / 7
A
G
m
b) 223 / 9
n
c) 220 / 9
B
H
d) 241 / 10
p
e) 241 / 11
C
I
q
q
D
D
J
J
r
r
E
E
L
L
s
s
F
F
M
u
M
u
v
v
13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. 14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC.
Determine a medida do segmento BD e o valor do pe- Determine a medida dos segmentos BD e CD.
rímetro do triângulo ABC.
A
A
a
a
12
12
B
8 cm
B
cm
a
a
16
cm
cm
18
cm
D
C
Jeca 78
C
D
20 cm
09) Na figura abaixo, as retas r , s e t são paralelas
entre si. Se x + y = 12, então o valor que mais se
aproxima de x - y, é :
a)
b)
c)
d)
e)
1,03
1,33
1,57
1,75
2,00
10) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d, e e f são
paralelas entre si. Determine o valor da soma das medidas dos segmentos x, y, z e t.
r
y
4
x
Teorema de Tales
x
5
x+y = 5+4
x
5
=
12
9
a
3
2
b
x
3
s
c
y
4
5
d
t
z
5
e
y
4
x+y = 5+4
y
4
=
9
12
y = 12 . 4 / 9 = 16 / 3
x = 12 . 5 / 9 = 20 / 3
t
6
f
Teorema de Tales
2
3
=
x+y+z+t
3+4+5+6
2
3
=
x+y+z+t
18
x - y = 20/3 - 16/3 = 4/3 = 1,33 (resp b)
x + y + z + t = 54/2 = 27 (resp)
11) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e LM = 8, qual é a medida de HJ ?
a)
b)
c)
d)
e)
83 / 9
81 / 7
93 / 9
72 / 7
89 / 8
A
3
p
I
5
q
D
Teorema de Tales
BD
HJ
=
BF
HM
J
r
Teorema de Tales
BD
HJ
=
LM
EF
HJ
4+5
=
7
8
HJ = 8 . 9 / 7
H
C
5
m
n
B
4
6
G
12) Na figura abaixo, as retas m, n, p, q, r e s são
paralelas entre si e são cortadas pelas retas u e v.
Sabendo-se que AB = 3, BC = 4, CD = 5, DE = 6,
EF = 7 e HJ = 10, qual é a medida de HM ?
a) 198 / 7
A
G
m
b) 223 / 9
3
n
c) 220 / 9
B
H
d) 241 / 10
4
p
e) 241 / 11
C
I
E
L
7
s
F
6
r
s
HM = 22 . 10 / 9
F
M
u
HM = 220 / 9
(resp c)
v
L
7
M
u
J
E
9
10
=
22
HM
8
q
D
v
HJ = 72 / 7 (resp d)
13) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC. 14) Na figura abaixo, AD é a bissetriz do ângulo BAC.
Determine a medida do segmento BD e o valor do pe- Determine a medida dos segmentos BD e CD.
rímetro do triângulo ABC.
A
A
a
x
B
x = 8 . 18 / 12
x = 12 cm
Per = 2p = 12 + 8 + 12 + 18 = 50 cm (resp)
a
20 - x
x
=
12
16
cm
8
x
=
18
12
18
cm
12
Teorema da bissetriz
interna
Teorema da bissetriz
interna
B
8 cm
D
12
cm
16
x
C
16x = 240 - 12x
28x = 240
x = 60 / 7 cm
BD = 60 / 7 cm
DC = 20 - 60 / 7 = 80 / 7 cm
Jeca 78
a
a
20 - x
D
20 cm
cm
C
15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo
interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e
AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.
16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figura, qual das relações abaixo é verdadeira.
a) a = b.d / c
b) a = b.c / d
b
c) a = c.d / b
a
d) a = c / (b.d)
c
x
e) a = b.c.d
x
d
17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do 18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e
ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que
razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.
DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo
interno
do vértice B.
A
B
A
D
E
C
D
C
B
19) (J) Na figura abaixo, determinar x, y, w e k em
função de a, b e c.
20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determine a razão entre BD e CD.
A
a a
15º 15º 15º
k
w
y
a
b
x
C
c
Jeca 79
D
B
15) Num triângulo ABC, CD é a bissetriz do ângulo
interno ACB. Sabendo que AD = 7 cm, BD = 4 cm e
AC = 15 cm, determine a medida do lado BC.
A
Teorema da bissetriz
interna
4
x
7
15 cm
D
7
=
15
4
x = 4 . 15 / 7
Teorema da bissetriz
interna
a
a
C
x
B
16) Observe a figura abaixo. De acordo com essa figura, qual das relações abaixo é verdadeira.
a) a = b.d / c
b) a = b.c / d
b
c) a = c.d / b
a
d) a = c / (b.d)
c
x
e) a = b.c.d
x
d
b
a
x = 60 / 7 cm (resp)
=
c
d
a.c = b.d
a = b.d / c (resp a)
17) No triângulo ABD abaixo, BC é a bissetriz do 18) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 12, AC = 8 e
ângulo ABD, AB = 18 cm e BD = 15 cm. Determine a BC = 10. Determinar a medida de AD, sabendo que
razão entre as medidas dos segmentos AC e CD.
DE é paralelo a BC e BE é a bissetriz do ângulo
interno
do vértice B.
A
B
18 cm
a
A
Teorema da bissetriz
interna
a
Teorema da bissetriz
interna
6
5
AD =
19) (J) Na figura abaixo, determinar x, y, w e k em
função de a, b e c.
x=c
y=a
8-x
B
3 . 48
11
2
=
C
10
15º 15º 15º
k
w
y
(resp)
x
4
a a
x=2 3
a
b
x
72
11
20) (J) Na figura abaixo, a = 15º e AC = 4. Determine a razão entre BD e CD.
A
cos 30º = ca =
hip
3
x
=
2
4
tg 30º = w + x = w + c
b
b
w = b 3 - 3c
3
Teorema da bissetriz
interna
w
x
k = b
w
c
k = b
b b 3 - 3c
k = b.w
= c .
c
3
b(b 3 - 3c)
k=
3.c
8
Teorema de Tales
AD
x
=
12
8
AD = 12x / 8 = 3x / 2
(resp)
w+c
3
=
3
b
b 3 = 3w + 3c
E
a
a
10x = 96 - 12x
22x = 96
x = 48 / 11
D
CD
AC
=
15
18
18
AC
=
=
15
CD
D
8-x
x
=
10
12
C
x
12
15
4
x
Teorema da bissetriz
interna
CD
BD
x = 4
c
BD
=
CD
x
4
2 3
BD
=
4
CD
Jeca 79
C
=
3
2
(resp)
D
y
B
21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são
paralelas entre si. Determine o valor da expressão
E = x . y + t.
22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e
BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das
três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo
ABC, determine a razão entre CD e DT.
A
a
y
5
b
t
6
S
c
T
x
7
9
D
d
11
10
B
C
R
e
23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e
BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC
e que V é o ponto onde a circunferência de centro em
D tangencia o lado BC, determine a distância VR.
24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um
pentágono regular de lado K.
A
K
S
T
d
D
B
V R
C
Jeca 80
21) (J) Na figura abaixo, as retas a, b, c, d e e são
paralelas entre si. Determine o valor da expressão
E = x . y + t.
a
y
5
b
22) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e
BC = 8. Sabendo que D é o ponto de encontro das
três bissetrizes dos ângulos internos do triângulo
ABC, determine a razão entre CD e DT.
c
x
x
9
7
9
d
e
= 6-x
8
D
B
R
y
DT = CD
x
9
Teorema de Tales
9
x
x = 90/11
CD
=
DT
y
5
=
10
11
y = 55/10 = 11/2
y
9
t = 7y/9 = 77/18
=
887
18
11 + 77
=
E = x . y + t = 90 .
11
2
18
(resp)
24) (J) Determine a medida de uma diagonal de um
pentágono regular de lado K.
A
=7
36º
36º
36º
K
e=
36
0/5
A
y / 6 = (8 - y) / 9
S
T
E
B
108º
B
d-
8-y
A
k
36º
6-x
36º
36º
36º
72º
D
8-x
k
C
V
k
d
C
B
x
No triângulo ADB, AF é uma bissetriz.
Pelo Teorema da bissetriz interna, tem-se
D
x
36º
k
72º
S
T
k
F
C
V R
y
Teor. do ponto exterior
(6 - x) + (8 - x) = 9
2x = 5
6-x
x = 5/2
Portanto BV = 5/2
d
d
D
VR = BR - BV
VR = 16/5 - 5/2
VR = 32/10 - 25/10
VR = 7/10 (resp)
17
6
=
(resp)
23) (J) No triângulo ABC abaixo, AB = 6, AC = 9 e
BC = 8. Sabendo que D é o incentro do triângulo ABC
e que V é o ponto onde a circunferência de centro em
D tangencia o lado BC, determine a distância VR.
Teor. da bissetriz interna
y / AB = 8 - y / AC
CD
DT
9
54
17
=
2º
9
11
C
8-y
8
(No triângulo ATC)
=
9
S
T
8x = 54 - 9x
17x = 54
x = 54/17
11
10
t
7
x a a
(No triângulo ABC)
6
x
10
A
Teorema da bissetriz
interna
t
2
d-k
k
=
2
Portanto k = d - kd
8-x
2
2
Organizando, tem-se d - kd - k = 0
Resolvendo a equação do 2º grau em d , tem-se
d=
d =
Jeca 80
- (-k) +-
k +- k 5
2
=
2
2
(-k) - 4 . 1 . (-k
2.1
k( 1 + 5 )
2
)
(resp)
Respostas dos exercícios da Aula 07.
01) 48 / 5
02) 32 / 3
03) 108 / 5
04) 32 / 5
05) 96 / 5
06) 88 / 7
07) 80 m, 60 m, e 40 m
08) 16 e 88 / 3
09) 225 / 13 e 375 / 13
10) 13 / 5,
39 / 10 e 13 / 2
11) 18 cm
12) (160 / 13) cm
13) (112 / 15) cm
14) 5 cm
15) 4( 2 - 1) cm
16) 1 / 2
17) b.d / c
18) d
19) 11 / 30
20) (35 / 4) cm
21) (5 / 7) cm
22) 24 cm, 40 cm e 36 cm
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 81
Respostas dos exercícios complementares da Aula 07.
01) 25 / 4 e 28 / 5
02) 28 / 5 e 20 / 7
03) 3y
04) 18 / 5 e 27 / 5
05) 63 / 11, 27 / 11 e 22 / 9
06) (21 / 2) cm
07) a.c / b
08) (45 / 4) cm
09) b
10) 27
11) d
12) c
13) 12 cm e 50 cm
14) (60 / 7) cm e (80 / 7) cm
15) (60 / 7) cm
16) a
17) 6 / 5
18) 72 / 11
19) x = c ,
y=a,
w = b 3 - 3c
3
k = b(b 3 - 3c)
3c
20)
3/2
21) 887 / 18
22) 17 / 6
23) 7 / 10
24) K(1 + 5 ) / 2
Importante para mim.
Se você, resolvendo esta lista, descobrir alguma resposta errada, por favor, mande uma
mensagem especificando qual a resposta errada para o e-mail [email protected]
Somente assim, poderei corrigir eventuais erros.
Obrigado.
Jeca
Proibida a reprodução deste material sem a autorização expressa do autor
Jeca 82
R
R
N
N
3
>
3
A
3