CAP 13 - GRAVITAÇÃO

Cap. 13 – Gravitação – Prof. Wladimir
1
CAP 13 – GRAVITAÇÃO:
13.1. INTRODUÇÃO:
A gravitação explica a força que atua entre os corpos
devido as suas massas.
A força gravitacional entre um caminhão e um grande
edifício é insignificante, mas a força que nos mantém
presos a Terra é bastante significativa, assim como a
interação entre os corpos celestes (planetas, estrelas,
galáxias).
13.2. LEI DE NEWTON DA GRAVITAÇÃO:
1665 – Isaac Newton (23) mostrou que a mesma força que atrai a Lua atrai também os
demais corpos (maçã). Esta tendência dos corpos de se moverem uns em direção aos
outros é chamada de gravitação.
Quantitativamente, cada partícula atrai qualquer outra partícula com uma força
gravitacional cuja intensidade é dada por:
r
r
mm
F =G 1 2
r2
onde
m1 e m2 são as massas das partículas 1 e 2.
G = 6,67 x10 −11
−F
F
m1
m2
r
r
3
N .m 2 ou
−11 m
é a constante gravitacional de Newton.
G
=
6
,
67
x
10
kg .s 2
kg 2
r é a distância entre as partículas.
13.3. GRAVITAÇÃO E O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO:
Princípio geral que diz que o efeito resultante e a soma dos efeitos individuais.
n r
r
F1,res = ∑ F1i
i =2
r
F1, 2
r
r
r
F1,res = F1, 2 + F1,3 + ...
m1 r
r
r1, 2
r
Fres,1
m2
r
r2,3
F1, 3 r
A força gravitacional de um objeto real de dimensões finitas
sobre uma partícula será:
r
r
F1 = ∫ dF
Exercício:
r
F1,i
r1,3
m3
Cap. 13 – Gravitação – Prof. Wladimir
2
1E. Qual deve ser a separação entre uma partícula de 5,2kg e uma partícula de 2,4kg
para que a sua atração gravitacional tenha uma intensidade de 2,3x10-12N? (resp. 19m).
y
8P. Três esferas de 5,0kg estão localizadas no plano
xy como mostrado na figura ao lado. Qual a
intensidade da força gravitacional resultante sobre a
esfera na origem provocada pelas outras duas
esferas? (2,12x10-8N ; 600)
0,3m
m
0,4m
2
x
13.4. GRAVITAÇÃO PRÓXIMA A SUPERFÍCIE DA TERRA:
A intensidade da força gravitacional da Terra sobre uma partícula de massa m, localizada
fora da Terra a uma distância r do centro da Terra é:
F =G
Pela 2a Lei de Newton,
Mm
F = mag , temos:
r2
a g difere de g pois:
GM
ag = 2
r
•
•
•
A Terra não é uniforme;
Não é uma esfera perfeita;
A Terra está girando.
a g varia com a altitude:
N
Altitude (km)
0
8,8
36,6
400
35700
A relação entre
ag
(m/s2)
9,83
9,80
9,71
8,70
0,225
Exemplo
Superfície média da Terra
Monte Everest
Balão tripulado mais alto
Órbita do ônibus espacial
Satélites de comunicação
ag e g
N − mag = m(−ac )
mg − ma g = m(−ac )
v2 ω 2R2
=
= ω2R
g − a g = (−ac ) sabemos que ac =
R
R
r
ac
mag
R
Cap. 13 – Gravitação – Prof. Wladimir
3
g = a g − ac = a g − ω 2 R
g = ag − ω 2 R
como R = 6,37 x10 6 m e ω = 2π = 2(3,14) = 7,27 x10−5 rad
T
86400s
s
g = 9,83m / s 2 − (7,27 x10−5 s −1 ) 2 .(6,37 x106 m) = 9,83 − 0,034
g = 9,8m / s 2
13.5. GRAVITAÇÃO NO INTERIOR DA TERRA:
No caso da Terra, a força sobre a partícula aumenta quando a partícula começa a descer,
atinge um valor máximo numa certa profundidade e começa a diminuir.
F =G
M int m
r2
4
M int = ρVint = ρ πr 3
3
r 4πGmρ r
F
=
r
logo:
3
r
Verifica-se que a intensidade da força depende
linearmente da distância r em relação ao centro da
Terra.
Representando
r
r
F = − kr
4πGmρ
= k teremos:
3
onde o sinal (-) é devido a
r
F
e
r
r terem sentidos contrários
13.6. ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL (U):
A Energia Potencial Gravitacional diminui com a redução da separação entre os corpos.
Como U=0 no infinito, então U<0 para qualquer separação finita e se tornam cada vez
mais negativa quando as partículas se aproximam.
A energia potencial está relacionada com a força gravitacional pela expressão:
r
r
dU
r
r
F =−
logo U = − ∫ F ( r ).dr com F (r ).dr = F (r )dr cosθ
dr
∞
∞
GMm
1
 1
dr = −GMm ∫ 2 dr = −GMm − 
Assim, U = − ∫ F ( r )dr = − ∫
2
r
r
 r R
R
Aplicando os limites de integração,
 1  1 
GMm
U = −GMm  − −  −  = −
R
 ∞  R 
GMm
U =−
=W
R
Cap. 13 – Gravitação – Prof. Wladimir
4
• Velocidade de Escape:
É a velocidade inicial mínima que fará com que um corpo arremessado se mova
sempre para cima.
Seja um corpo de massa m arremessado para cima com a velocidade de escape
1
Quando ele sai da Terra : K = mv 2 ,
2
GMm
Quando ele atinge o infinito: U = −
R
Assim: K + U = 0
1 2 GMm
mv −
=0
2
R
v:
1 2 GMm
2GM
2GM
mv =
⇒ v2 =
logo v =
R
2
R
R
é a velocidade de escape.
Ex. Calcule a velocidade de escape da Terra: (11.190m/s)
M = 5,98 x10 24 kg ; R = 6,37 x106 m ; G = 6,67 x10 −11 m 3 / kg.s 2
É mais fácil atingir a velocidade de escape disparando um corpo na direção em que a
Terra se move.
13.7. PLANETAS E SATÉLITES: LEIS DE KEPLER.
O movimento dos planetas é motivo de estudos e observações desde muito tempo atrás,
como por exemplo, o movimento de Marte, formando um laço em sua órbita.
• Johanes Kepler (1571-1630) – organizou as leis empíricas que governam estes
movimentos.
• Tycho Brahe (1546 – 1601) – astrônomo que compilou uma extensa base de dados
que auxiliou Kepler a deduzir as três leis do movimento planetário (lei das órbitas,
das áreas e dos períodos).
• Newton (1642 – 1727) – mostrou que sua lei da gravitação conduz às leis de
Kepler.
Cap. 13 – Gravitação – Prof. Wladimir
5
1. A Lei da Órbitas: Todos os planetas se movem em órbitas elípticas, com o Sol
em um de seus focos.
F= foco da elipse
Ra = distância do afélio
Rp = distância do periélio
e = excentricidade da elipse
M = Massa do Sol
m = massa do planeta
a = semi-eixo maior da elipse
b = semi-eixo menor da elipse
Uma excentricidade nula corresponde a um círculo. A órbita dos planetas são quase círculos. Para
a Terra e=0,0167.
2. A Lei das Áreas: Uma linha que liga um
planeta ao Sol varre áreas iguais no plano
da órbita em tempos iguais, ou seja:
dA
=k
dt
(constante)
Para a figura ao lado, a1=a2=a3 e t1=t2=t3.
dA 1 2 dθ 1 2
= r
= r ω
dt 2 dt 2
1
∆A = r (r∆θ )
2
dA 1 2
= rω
dt 2
Em termos da quantidade de movimento
angular L;
L = rp ⊥ = r (mv ⊥ ) = r ( mrω ) = mr 2ω
Assim:
dA 1 2
1
L
dA
L
= r ω=
mr 2ω =
⇒
=
dt 2
2m
2m
dt 2m
3. A Lei dos Períodos: O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional
ao cubo do semi-eixo maior da sua órbita.
Considerando uma órbita circular de raio r, e aplicando a 2a lei de Newton temos:
F = ma
GMm
v
ω 2r 2
=
ma
=
m
=
m
c
r2
r
r
2
2π
2π
sabemos que ω =
⇒T =
T
ω
Isolando o período, temos:
então GM = ω 2 r 3
assim; GM =  2π  r 3 = 4π2 r 3
T
T 
2
2
Cap. 13 – Gravitação – Prof. Wladimir
6
 4π 2  3
T =
 r , que é a lei dos períodos.
 GM 
2
Para uma órbita elíptica, basta trocarmos o r3 por
a3 :
 4π 2  3
T =
a
 GM 
2
2
Isto implica que a razão T 3 tem aproximadamente os mesmos valores para todos os
a
planetas.
Planeta
Mercúrio
Terra
Marte
Júpiter
a (1010 m)
T(anos)
5,79
15
22,8
77,8
0,241
1,0
1,88
11,9
T2
a3
(10 −34 anos 2 / m 3 )
2,99
2,96
2,98
3,01
Exercício Resolvido 14.6 (cometa Halley) (1986)
T=76anos
Rp=8,9x1010m
Ra = ?
R p + Ra = 2a
Usando a 3a Lei de Kepler (encontra-se a) e, em seguida Ra.
Qual a excentricidade da órbita do cometa?
ea = a − Rp (encontre e ).
13.8. SATÉLITES: Órbitas e Energias.
A energia mecânica de um satélite em órbita da Terra se conserva. Como a massa do
satélite é muito menor que a da Terra, atribui-se U e E do sistema satélite-Terra apenas
ao satélite.
r
GMm
Energia potencial: U = −
r
m é a massa do satélite
Energia Cinética:
Usando novamente a 2a Lei de Newton: F = ma c
1
GMm
v2
GM
usando K = mv 2
=
m
⇒ v2 =
2
2
r
r
r
K=
Comparando as energias vemos que:
é o raio da órbita (circular)
M é a massa da Terra
GMm
2r
Cap. 13 – Gravitação – Prof. Wladimir
K =−
U
2
7
(órbita circular)
A energia mecânica será:
E = K +U =
E=−
GMm GMm
−
2r
r
ou seja,
GMm
2r
E = −K
Se a órbita for elíptica,
E=−
GMm
2a
Exercícios:
1. Qual deve ser a separação entre uma partícula de 5,2 kg e uma partícula de 2,4kg
para que a atração gravitacional entre elas tenha um módulo de 2,3x10-12N?
2. Tanto o Sol quanto a Terra exercem uma força gravitacional sobre a Lua. Qual é a
razão FSol/FTerra entre estas duas forças? (A distância média Sol-Lua é igual a
distância média Sol-Terra).
y
4. Na figura, três esferas de 5,00kg estão
d1 = 0,300m
e
localizadas
a
distância
d 2 = 0,400m . Quais são (a) o módulo e (b) o
sentido (em relação ao sentido positivo do eixo
x) da força gravitacioan resultante sobre a esfera
B de vida às esferas A e C?
0,3m
0,4m
x
6. Na figura ao lado, um quadrado com 20,0cm de lado é formado
por quatro esferas de massas m1 = 5,00 g , m2 = 3,00 g , m3 = 1,00 g
e m4 = 5,00 g . Em notação de vetores unitário, qual é a força
gravitacional resultante exercida por elas sobre uma esfera
central com massa m5 = 2,50 g ?
9. Conforme é mostrado na figura ao lado, duas esferas de massas
m e uma terceira esfera de massa M formam um triângulo
eqüilátero, e uma quarta esfera de massa m4 se encontra o centro
do triângulo. A força gravitacional resultante sobre essa esfera
central exercida pelas outras três esferas é nula. (a) Quanto vale
M em termos de m? (b) Se dobrássemos o valor de m4 qual seria
então o módulo da força gravitacional resultante sobre a esfera
central?
15. Em que altitude acima da superfície da Terra a aceleração gravitacional é igual a
4,9m/s2?
17. Um modelo para um certo planeta considera-o possuindo um núcleo de raio R e
massa M circundado por uma camada externa de raio interno R e externo 2R e
massa 4M. Se
M = 4,1x10 24 kg e R = 6,0 x106 m , qual é a aceleração
Cap. 13 – Gravitação – Prof. Wladimir
8
gravitacional de uma partícula nos pontos a distâncias (a) R e (b) 3R do centro de
massa do planeta?
4
21. Uma esfera sólida uniforme possui uma massa de 1,0 x10 kg e um raio de 1,0m.
Qual é o módulo da força gravitacional exercida pela esfera sobre uma partícula
de massa m localizada a uma distância de (a) 1,5m e (b) 0,5m do centro de massa
da esfera?
23. A figura ao lado mostra, fora de escala, um seção
transversal através do interior da Terra. Em vez de
ser totalmente uniforme, a Terra está dividida em
três zonas: uma crosta, um manto e um núcleo
interno. As dimensões destas três zonas e as
massas contidas em seus interiores são mostradas
na figura. A Terra possui uma massa de
5,98 x10 24 kg e um raio de 6370km. Despreze a
rotação da Terra e suponha que ela seja esférica. (a) Calcule a g na sua superfície.
(b) Suponha que seja feita uma perfuração até a interface crosta-manto a uma
profundidade de 25,0km; qual seria o valor de a g no fundo do buraco? (c)
Suponha que a Terra fosse uma esfera uniforme com a mesma massa total e o
mesmo tamanho. Qual seria o valor de a g a uma profundidade de 25km?
(Medidas precisas de
a g são sondagens sensíveis da estrutura interior da Terra,
embora os resultados possam ser mascarados pelas variações locais na
distribuição de massa.)
31. As três esferas da figura ao lado, com massas
m A = 80 g , mB = 10 g , mC = 20 g , têm seus centros
sobre uma linha, com L = 12cm e d = 4cm .
Você desloca a esfera B ao longo da linha até
que sua separação centro a centro da esfera C
seja d = 4cm . Qual é o trabalho realizado sobre a esfera B (a) por você? e (b)
pela força gravitacional sobre B devida as esferas A e C?
35. Duas estrelas de nêutrons estão separadas por uma distância de 1,0 x1010 m . Cada
uma delas tem uma massa de 1,0 x1030 kg e um raio de 1,0 x105 m . Elas se encontram
inicialmente em repouso relativo. Conforme as medidas nesse referencial, com
que velocidades elas estarão se movendo quando (a) a separação entre elas for
metade do seu valor inicial e, (b) elas estiverem na iminência de colidir?
39. O satélite de Marte, Phobos, se move em uma órbita aproximadamente circular
6
de raio 9,4 x10 m , com um período de 7h 39min. Calcule a massa de Marte a
partir destas informações.
20
41. O Sol, que está a 2,2 x10 m do centro da Via Láctea, completa uma revolução
8
em torno deste centro a cada 2,5 x10 anos . Supondo que cada estrela na galáxia
30
possua uma massa igual a massa do Sol de 2,0 x10 kg , que as estrelas estão
Cap. 13 – Gravitação – Prof. Wladimir
9
distribuídas uniformemente em torno do centro da galáxia e que o Sol se encontre
na borda dessa esfera, estime o número de estrelas na Galáxia.
44. O centro do Sol está localizado em um dos focos da órbita da Terra. A que
distância desse foco se encontro o outro foco, (a) em metros e (b) em termos de
8
raio solar, 6,96 x10 m ? A excentricidade da órbita da Terra é 0,0167 e o semi-eixo
11
maior é igual a 1,50 x10 m .
45. Um satélite em órbita elíptica, está a 360km acima da superfície da Terra em seu
ponto mais afastado e a 180km no seu ponto mais próximo. Calcule (a) o semieixo maior e (b) a excentricidade da órbita.
48. Em 1943, a espaçonave Galileu enviou à Terra uma imagem do asteróide 243 Ida
e de uma minúscula lua (agora conhecida como Dactyl), o primeiro exemplo
confirmado de um sistema asteróide-lua. A lua, que tem 1,5km de largura, está a
100km do centro do asteróide, que possui 55km de comprimento. A forma da
órbita da lua não é bem conhecida; suponha que ela seja circular com um período
de 27h. (a) Qual é a massa do asteróide? (b) O volume do asteróide, medido a
partir das imagens da Galileu é de 14100km3. Qual é a densidade (massa por
unidade de volume) do asteróide?
49.
Em um sistema de estrelas binárias, cada estrela possui a mesma massa do Sol
e elas giram em torno do seu centro de massa. A distância entre elas é a mesma
que a distância entre a Terra e o Sol. Qual é o período de revolução delas em
anos?
−4
55. Um asteróide, cuja massa é 2,0 x10 kg vezes a massa da Terra, gira em órbita
circular em torno do Sol a uma distância que é o dobro da distância Terra-Sol. (a)
Calcule o período de revolução do asteróide em anos. (b) Qual a razão entre a
energia cinética do asteróide e a energia cinética da Terra?
59. Um satélite está em uma órbita circular de raio r em torno da Terra. A área A
delimitada pela órbita de pende de r pois A = πr . Determine de que forma as
seguintes propriedades do satélite dependem de r: (a) O período, (b) a energia
cinética, (c) o momento angular e (d) a velocidade escalar.
2
68. Um satélite está em órbita elíptica com um período de 8,0x103s em torno de um
planeta de massa 7,0x1024kg. No afélio, em um raio de 4,5x107m, a velocidade
angular do satélite é de 7,158rad/s. Qual sua velocidade angular no periélio?