Tema 2 - Porto Editora

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Í n d i ce
TEMA
1
TEMA
2
TEMA
3
TEMA
4
TEMA
CPMA4 © Porto Editora
5
Resolução de problemas envolvendo triângulos retângulos
Teoria 1. Razões trigonométricas de um ângulo agudo
8
Teoria 2. A calculadora gráfica e as razões trigonométricas
10
Teoria 3. Resolução de problemas usando razões trigonométricas
12
Teoria 4. Resolução de problemas geométricos usando razões trigonométricas
14
Avaliação
16
Atividades de síntese
18
Generalização da noção de ângulo e arco. Razões trigonométricas generalizadas
Teoria 1. O radiano
20
Teoria 2. Representação de um ângulo orientado
22
Teoria 3. Generalização da noção de ângulo
24
Teoria 4. Valores exatos das razões trigonométricas de 30° , 45° e 60°
26
Teoria 5. Generalização das razões trigonométricas
28
Teoria 6. Razões trigonométricas de 0° , 90° , 180° e 270°
30
Avaliação
32
Atividades de síntese
34
Funções trigonométricas. Equações trigonométricas
Teoria 1. Funções trigonométricas como funções reais de variável real
36
Teoria 2. Domínio, contradomínio, extremos e zeros das funções trigonométricas
38
Teoria 3. Simetria e paridade das funções trigonométricas
40
Teoria 4. Resolução de equações do tipo sin x = a
42
Teoria 5. Resolução de equações do tipo cos x = a
44
Teoria 6. Resolução de equações do tipo tan x = a
46
Avaliação
48
Atividades de síntese
50
Coordenadas polares
Teoria 1. Coordenadas polares de um ponto P do plano
64
Resolução de problemas escolhendo o modelo mais adequado à situação descrita
Teoria 1. Regressão linear
66
Teoria 2. Regressão quadrática
68
Teoria 3. Regressão cúbica e regressão quártica
71
Teoria 4. Funções trigonométricas
81
ANEXOS
84
Soluções
88
3
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Generalização da noção de ângulo e arco.
Razões trigonométricas generalizadas
Tema 2
y
Sinal das razões trigonométricas
Observemos a figura ao lado.
1
(–, +)
–1
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6
Atividade inicial
O sinal do seno e do cosseno de um ângulo depende do quadrante ao qual pertence o lado
extremidade do ângulo.
(+, +)
1
O
x
• cos a é positivo nos quadrantes onde a abcissa desse ponto é positiva (1.° e 4.° quadrantes).
(+, –)
(–, –)
Considere-se o ponto de interseção do lado extremidade de um ângulo com o círculo trigonométrico.
–1
• sin a é positivo nos quadrantes onde a ordenada desse ponto é positiva (1.° e 2.° quadrantes).
sin a
• O sinal da tangente determina-se atendendo a que tan a = cos a .
Copie e complete a seguinte tabela:
Sinal das razões trigonométricas
6
Teoria
Objetivos
1. Indicar o sinal das razões
trigonométricas conhecido o
ângulo.
2. Indicar as razões trigonométricas
dos ângulos de amplitudes
0,
p
3p
, p e
.
2
2
Quadrante
sin a
cos a
tan a
1.° Q
+
…
…
2.° Q
…
…
-
3.° Q
…
…
+
4.° Q
…
+
…
Razões trigonométricas de 0° , 90° , 180° e 270°
cosseno seno
No círculo trigonométrico assinalaram-se os
pontos A , B , C e D , pertencentes aos eixos
coordenados, e as respetivas coordenadas.
Como a abcissa do ponto associado ao ângulo
corresponde ao cosseno do ângulo e a ordenada
ao seno do ângulo, é imediato concluir que:
y
B (0, 1)
cosseno
seno
C (–1, 0)
A (1, 0)
x
O
seno
cosseno
D (0, –1)
cosseno seno
cosseno
seno
1
P (x, y)
y
a
–1
–1 ≤ x ≤ 1
–1 ≤ y ≤ 1
O
–1
x
1
Ângulo
sin a
cos a
tan a
Ângulo
0°
0
1
0
0 rad
p
rad
2
90°
1
0
Não está
definida
180°
0
-1
0
p rad
Não está
definida
3p
rad
2
270°
-1
0
Infere-se também da leitura da abcissa e da ordenada do ponto P associado ao
ângulo a , no círculo trigonométrico, que sendo a um ângulo qualquer temos:
- 1 ≤ sin a ≤ 1
e
- 1 ≤ cos a ≤ 1
e que a tangente de um ângulo a pode ser um número real qualquer.
30
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6
Exemplo
Simplificar uma expressão trigonométrica
6.1 Calcule o valor numérico da seguinte expressão:
p
p
2 sin (p) - 3 cos
+ tan
.
3
4
Verifique a resposta usando a calculadora gráfica.


D
C
s
6.2 Na figura ao lado [ABCD] é um quadrado de centro O e aresta a . M é o
ponto médio de [AD] .
q
M
r
O
p
A
Atendendo às condições da figura calcule:
sin (p) + cos (r) + sin (t) + 2 cos (q) + tan (s) .
t
B
Resolução
6.1 2 sin (p) - 3 cos
 3p  + tan  4p  =
sin p = 0
1
+1=
2
3
1
=0- +1=2
2
=2*0-3*
cos
p 1
=
3 2
tan
p
=1
4
6.2 sin (p) + cos (r) + sin (t) + 2 cos (q) + tan (s) =
= sin
 4p  + cos  4p  + sin  2p  + 2 cos  3p4  + aa =
DC = a e MD =
a
2
2
√2 + √2 + 1 + 2 - √2 + 2a =
=
  a
2
=
2
2
√2 + √2 + 1 - 2 + 2
√
2
= √2 - √2 + 3 = 3
Verifica
6
CPMA4 © Porto Editora
6.1 Indique o sinal do seno, do cosseno e da tangente de cada um dos seguintes ângulos:
a) 220° ;
b) 1500° ;
29p
c)
rad ;
6
3p
d) rad ;
4
e) - 350° ;
f) 1 rad ;
g) 1° ;
h)
23p
rad .
4
(Verifique os resultados usando a calculadora.)
6.2 Calcule o valor de cada uma das seguintes
expressões.
Os ângulos estão expressos em radianos.
a) sin
 2p  + tan (p) + 2 cos (p) - 13 sin  3p2  .
b) - 3 cos
 2p  + sin (p) - 2 cos  3p2  + tan 0 + cos 0 .
6.3 Explique porque é que o seno e o cosseno de
um ângulo a qualquer nunca podem ser superiores a 1 nem inferiores a - 1 .
31
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Tema 3
Funções trigonométricas. Equações trigonométricas
AVALIAÇÃO
Então, P é um ponto da circunferência cuja posição depende
do ângulo a e o quadrilátero [CPQB] é um trapézio.
1.1 Qual seria a área do trapézio se:
p
a) a = ?
b) a = 0 ?
2
a
G
E
60 m
b) PQ é dado em função de a por:
Q
P
a) a altura h do trapézio é dada pela expressão:
h = 60 cos a ;
B
60 m
h
60 m
1.2 Mostre sucessivamente que:
F
C
PQ = 120 - 60 sin a ;
D
A
c) a área, A , do trapézio é dada em função de a por:
120 m
A (a) = 7200 cos a - 1800 sin a cos a .
1.3 Recorrendo à calculadora gráfica represente graficamente a função, A(a) , e indique o seu domínio e o seu contradomínio.
1.4 Resolva com a ajuda da calculadora gráfica a equação:
7200 cos a - 1800 sin a cos a = 6000
e interprete o significado da solução no contexto do problema. Apresente o valor pedido em
radianos e na forma de dízima arredondado às milésimas.
2 Para avaliar a capacidade de expansão e compressão de uma mola, usa-se a fórmula:
v
x = 0 sin (wt) + x0 cos (wt)
w
onde:
x0 é a posição inicial;
v0 é a velocidade inicial;
w é uma constante relativa à mola.
1 kg
–3
–2
–1
0
1
2x
Sabe-se que w = 1 e que para t = 0 um bloco de 1 kg é deslocado (e a mola comprime-se) para a posição de 0,5 metros para a esquerda da posição de repouso.
Partindo desta posição, o bloco desloca-se a uma velocidade de 4 m/s para a direita.
Com estes dados, escreveu-se a seguinte equação:
x = 4 sin t - 0,5 cos t .
2.1 Recorrendo à calculadora gráfica obtenha o gráfico de x como função de t .
2.2 Determine a distância máxima atingida pelo bloco, considerando que x = 0 corresponde à posição
de repouso. Apresente o valor pedido na forma de dízima arredondado às centésimas.
48
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1 Na figura está representada uma circunferência de centro C e raio 60 m .
O quadrado [ABCD] tem 120 m de lado.
EF é um arco de circunferência de centro em C e o ponto P move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto Q desloca-se sobre o segmento [AB] , de tal forma que se tem sempre [AB] Y [PQ] .
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3 Indique, para cada caso, uma expressão para a função representada a cor vermelha. Verifique a resposta com a sua calculadora gráfica.
3.1
3.2
y
2
3.3
y
y
1
1
1
O
–1
p
O
–1
x
2p
p
2p
x
O
–1
y = sin x
p
2p x
y = sin x
y = sin x
3.4
3.5
y
1
1
–
pO
2
3p
2
p
2
3.6
y
y = cos x
–p O
2 –1
x
2
3p
2
p
1
x
O
–p
2 –1
–2
y = cos x
y
p
y = cos x
3p
x
2
–2
4 Considere a função f , real de variável real, definida por:
f : x 1 y = 8 sin x - 4 √3 .
4.1 Determine o valor exato da imagem por f de
5p
.
3
4.2 Determine dois objetos cuja imagem por f seja igual a 0 (zero).
4.3 Determine, com duas casas decimais, o conjunto dos valores do intervalo ]- 2p , 2p[ que satisfazem a equação:
p
f (x ) = sin .
5
5 Observe a figura seguinte.
y
y = 2 sin x
2
1
–p
O
p
–1 y = sin x
2p
3p
4p
x
–2
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5.1 Indique, no intervalo [- p , 4p] , o conjunto-solução da equação 2 sin x = sin x e verifique, analiticamente, que esses valores são as soluções da equação sin x = 0 .
5.2 Determine o contradomínio da função y = 2 sin x .
5.3 Determine x , tal que 2 sin x = - 2 , e interprete a sua resposta.
5.4 O que pode dizer acerca do período das funções da família y = a sin x , a å R \ {0} ?
49
CPMA4-04