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Índice
1
8.Limite da sucessão de termo geral
an + b
(cn + d ≠ 0 , ∀n ∈ ℕ)92
cn + d
9.Propriedades dos limites
94
Trigonometria
1.
Trigonometria do triângulo retângulo
(revisão)4
2. Lei dos senos e lei dos cossenos 3. Resolução de triângulos
10.Limites infinitos I
98
11. Limites infinitos II
100
12.Limites. Levantamento de indeterminações102
Teste n.º 1104
Teste n.º 2108
6
10
4. Ângulos orientados e ângulos generalizados 12
Razões trigonométricas de ângulos
5.
orientados14
6. O radiano
18
7. Fórmulas trigonométricas
20
8. Relação entre razões trigonométricas
22
9. Equações trigonométricas
24
10.Funções trigonométricas
28
4
11. Funções trigonométricas inversas
32
12. Resolução de problemas
34
Teste n.º 136
Teste n.º 240
2
44
58
60
espaço62
11.Equação vetorial de um plano
66
Teste n.º 168
Teste n.º 272
Sucessões
1. Minorantes e majorantes de um conjunto
76
2.Generalidades sobre sucessões
3.Princípio de indução matemática
4.Progressões aritméticas
5.Progressões geométricas
6.Limite de uma sucessão
7.Consequências da definição de limite de 78
uma sucessão
116
118
120
122
126
82
84
função
132
9.Assíntotas ao gráfico de uma função
10.Assíntotas ao gráfico de uma função
134
racional136
ortonormado54
3
2.Funções racionais
3.Ponto aderente e limite de uma função
4.Operações com limites
5.Limites e indeterminações
6.Continuidade de funções
7.Assíntotas verticais ao gráfico de uma
11.Funções racionais: problemas de aplicação138
12.Taxa média de variação de uma função
140
13.Derivada de uma função num ponto
142
14.Derivadas: aplicações
144
15.Função derivada
146
16.Diferenciabilidade. Teorema de Lagrange 150
17.Derivadas: Problemas e aplicações I
154
18.Derivadas: Problemas e aplicações II
158
Teste n.º 1160
Teste n.º 2166
7.Retas perpendiculares no plano 56
8.Aplicações do produto escalar de vetores 9.Equações cartesianas de um plano
10.Posição relativa entre retas e planos no
112
8.Assíntotas não verticais ao gráfico de uma
2.Inclinação de uma reta no plano
46
3. Produto escalar de vetores
48
4. Ângulo de dois vetores 50
5.Propriedades do produto escalar de vetores 52
6.Produtor escalar de vetores num referencial na definição de lugares geométricos no
plano e no espaço
1. Funções reais de variável real (revisão)
função130
Geometria analítica
1. Geometria (revisão)
Funções
5
Estatística
1. Somatórios. Características amostrais
(revisão)
170
2.Amostras bivariadas. Reta de mínimos
quadrados172
3.Coeficiente de correlação linear 176
Teste n.º 1178
Teste n.º 2180
86
88
90
Resumo teórico
186
Soluções
205
3
Ficha n.º 4
Consulte o resumo teórico
Pág. 192
Ângulo de dois vetores
··Dedução e aplicação da fórmula u . v = 7 u 7 * 7 v 7 * cos Q uW
, vR
··Ângulo de dois vetores
→
→
→
→
→
Considere a seguinte propriedade:
Para quaisquer vetores não nulos u e v , tem-se que u . v = 7 u 7 * 7 v 7 * cos ( u , v ) .
→
→
→
→
→
→
→
W→
Demonstre a propriedade enunciada preenchendo os espaços em branco.
Dados dois vetores não
nulos —→
u e v e fixado um ponto O , sejam q = Q u , v R e P , Q e Q '
—→
→
→
os pontos tais que OP = u , OQ = v e Q ' a projeção ortogonal de Q na reta OP .
→
→
Considerem-se os seguintes casos:
——→
→
W→
—→
I. Se OQ' tem o mesmo sentido que OP :
→
Tem-se que OP = p p p e que cos q = p p p § OQ' = p p p p .
Assim, u . v = p p p p p p p p p p p p p , pelo que, neste caso,
a propriedade fica demonstrada.
→
→
——→
—→
II. Se OQ' tem sentido contrário ao de OP :
→
Tem-se que OP = p p p e que cos (p - q) = p p p p
§ OQ' = p p p p p p p p
O
q
v
»
u
»
u . v = p p p * p p p
→
Q' P
u
»
u . v =ppp*ppp
→
Q
Q
q
v
»
Q'
O
P
Assim, u . v = p p p p p p p p p p p p p p p p p ,
pelo que a demonstração da propriedade fica completa.
→
2
→
Determine, em cada uma das seguintes situações, o produto escalar, u . v , utilizando a propriedade
demonstrada na questão 1..
→
2.1.
2.2.
v
»
2.4.
3,5
2
v
»
u
»
2.5.
p
6
5
u
»
2.6.
v
»
v
»
1
v
»
3
2
u
»
50
2.3.
u
»
→
7→
u 7 = 27 v 7 = 3
→
135° 1
2
u
»
v V√3
»
7p
4
V√2
u
»
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1
→
N.º
1
Turma
Escola
De um certo ângulo a sabe-se que cos a > 0 e que sin a = -
Em qual das figuras pode estar representado o ângulo a ?
(A)
(B)
y
x
2
0
y
x
Um ângulo de amplitude
4p
rad , mede, em graus:
9
(A)1,4°
(B)80°
3
1
.
5
(C)(D)
y
0
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Teste n.º 2
Consulte o resumo teórico
Págs. 186 a 195
Nome
0
y
x
(C)160°
x
0
(D)40°
Considere a função f , de domínio ℝ , definida por f (x) = cos4 x - sin4 x .
Pode afirmar-se que existe, pelo menos, um número real a para o qual f (a) é diferente de:
(A) 1 - 2 sin2 a
(C) 2 cos2 a - 1
4
No intervalo d
(B) cos2 a - sin2 a
(D)
1
[ 1 + cos2 (2x) ]
2
"3 - 1
2p 5p
1 "3
,
c , a equação sin (x) = a , com a ∈ d ,
c:
3
6
2
2
2
(A) tem uma infinidade de soluções;
(B) tem uma e uma só solução;
(C) é impossível;
(D) tem exatamente duas soluções.
5
→
→
Na figura ao lado estão representados dois vetores, u e v .
Atendendo aos dados da figura, o produto escalar a
(A) 1,5 cos (2,5)
(C) 1,5 cos (p - 2,5)
72
→
1→
u b . (- v ) é igual a:
2
(B) 6 cos (p - 2,5)
(D) 6 cos (2,5)
v 1 2,5 rad
»
3
u
»
Resumo teórico
Trigonometria do triângulo retângulo (revisão)
As razões trigonométricas de um ângulo agudo, a , por exemplo, de um triângulo retângulo são o seno, o cosseno e a tangente e representam quocientes entre medidas dos comprimentos dos lados do triângulo.
A
Cateto
oposto
Cateto
adjacente
B
a
C
Hipotenusa
• Seno de a é o quociente entre as medidas do comprimento do cateto oposto a a e da hipotenusa e representa-se por sin a ou sin (a) .
• Cosseno de a é o quociente entre as medidas do comprimento do cateto adjacente a a e da hipotenusa e
representa-se por cos a ou cos (a) .
• Tangente de a é o quociente entre as medidas do comprimento do cateto oposto a a e a do cateto adjacente
a a e representa-se por tan a ou tan (a) .
Nota: As razões trigonométricas de a não dependem das dimensões do triângulo retângulo considerado.
Sendo a um ângulo agudo, tem-se: 0 < sin a < 1 , 0 < cos a < 1 e tan a > 0 .
Seno e cosseno de ângulos complementares
O seno de um ângulo agudo a é igual ao cosseno do seu ângulo complementar, isto é, sin a = cos (90° - a) e
cos a = sin (90° - a) .
Razão entre seno e cosseno de um mesmo ângulo
A tangente de um ângulo agudo a é igual à razão entre os respetivos seno e cosseno, isto é, tan a =
Fórmula fundamental da trigonometria
sin a
.
cos a
A soma dos quadrados do seno e do cosseno de um ângulo agudo é igual a 1 , isto é, sin2 a + cos2 a = 1 .
Razões trigonométricas dos ângulos de amplitudes 30° , 45° e 60°
186
a
30°
45°
60°
Seno
de a
1
2
"2
2
"3
2
Cosseno
de a
"3
2
"2
2
1
2
Tangente
de a
"3
3
1
"3
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Tema 1 Trigonometria