Polinômios

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ÁLGEBRA - POLINÔMIOS
Álgebra
Polinômios
12) Determine o valor de a e b em cada caso a seguir:
1) Diga qual é o grau dos polinômios a seguir:
a) p(x) = 3x³ + 2x - 1
a) p(x) = ax² + bx e p(x) = 0
b) p(x) = x
b) p(x) = ax²+bx+2, p(2) = 4 e p(3) = 6
c) p(x) = 2x - 3x² + 1 d) p(x) = 4
c) p(x) = ax³-4x+b, p(1)= -2 e p(-1) = 5
7
2) Discuta o grau dos polinômios em função de k∈R:
d) p(x) = (a + b)x³ - (3c - b)x² + x, p(1)
= 4 e p(2) = 12
a) p(x) = (k + 1)x² + 3x + 2
13) Determine os valores de a, b, c e d para
que p(x) = q(x) em cada caso:
b) p(x) = (2k + 6)x³ + (3 + k)x + 1
a) p(x) = (a + 3)x² + cx + 3
c) p(x) = (k² - 4)x² + (k - 2)x - 3
q(x) = (b-4)x³ + (2a-2)x² +5x + d + 2
3) Calcular m ∈ R, para que o polinômio
P(x) = (m² - 1)x³ + (m + 1)x² - x + 4 seja:
a) do 3º grau
b) p(x) = (a² - 9)x³ + 3x - d
q(x) = (3b - 6)x² + (8 - 2c)x + 12
c) do 1º grau
c) p(x) = (a²-2)x 5 - (b+c)x³ + 3x² + 16
b) do 2º grau
q(x) = ax 5 + 5x³ + (2b + c)x² + d²
4) Determine m ∈ R, para que o polinômio
P(x) = (m-4)x³+(m²-16)x²+(m+4)x+4 seja
de grau 2.
14) Determine a e b, sendo 2 e -2 raízes do
polinômio p(x) = x³ - 2x² + ax + b.
5) O polinômio dado abaixo é de grau 2,
para que valor de m ∈ R?
15) Dois polinômios p(x) e q(x) têm graus
n e m, respectivamente. Se o grau de
p(x).q(x) é 7 e m - n = -1, determine o grau
de p(x) + q(x).
p(x) = (m-4)x³ + (m²-16)x² + (m+4)x + 4
6) Dado o polinômio p(x) = 3x 5 - x² + 3,
calcule:
16) Dois polinômios p(x) e q(x) têm graus
iguais a n. Qual o grau da soma p(x)+q(x),
sabendo que o grau de p(x).q(x) = 8
1
a) p(0) b) p(1) c) p(-1) d) p  
2
17) Determine os valores de m, n e p, de
modo que sejam idênticos os polinômios:
P 1 (x) = (m+n+p)x 4 -(p-1)x³+x²+(n-p)x+n e
P 2 (x) = 2mx³ + (2p + 7)x² + 5mx + 2m.
18) Determine m, n e p, de modo que:
(mx² + nx + p) (x +1) = 2x³ + 3x² - 2x - 3
19) Se x³ + 1 ≡ (x + 1)(x² + ax + b), para
todo x real, determine os valores de a e b.
7) Dado o polinômio p(x) = 2x² + kx - 2,
determine k, sabendo que p(2) = 6.
8) No polinômio p(x) = x³ - kx² + x + 1,
determine k se:
a) p(1) = 0 b) p(3) = 1 c) p(-2) = 5
9) Determine k para que x = 3 seja raiz do
polinômio p(x) = kx³ + x² + 2x + 1.
20) Sendo P 1 (x) = x³+1, P 2 (x) = x+1 e
P 3 (x) = ax²+bx+c, determine a, b e c, para
que P 1 (x) = P 2 (x).P 3 (x).
10) Mostre que 1 e 3 são raízes do polinômio definido por p(x) = x³ - 3x² - x + 3.
11) Determine a, b e c para que os seguintes polinômios sejam nulos:
21) Ache um polinômio P(x), do 2º grau,
sabendo que P(x) - P(x-1) ≡ x e P(0) = 0.
a) p(x) = (a + 2)x³ + (b - 2)x + c² - 9
22) Calcule os valores de m, n e i para os
quais o polinômio dado abaixo seja identicamente nulo.
P(x) = (2m - 1)x³ - ( 5n - 2 )x² + (3 - 2i)
b) p(x) = (a+b-5)x² + (a-b-1)x + c + 4
c) p(x) = (a+b)x³ + (a+2c)x² + (b+c)x
d) p(x) = (a+b)x² + (2a-c)x + b - c - 3
1
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23) Se A(x) = (a + 1)x² + (b - 1)x + c e
B(x) = ax² + bx - 3c, calcule a, b e c, para
que se tenha A(x) + B(x) ≡ 0.
36) Determine o quociente e o resto da divisão de A(x) = x 4 -1 por B(x) = x + 1.
37) Determine α e β, para que seja exata a
divisão de A(x) = 2x³+ αx²+ βx - 1 por
B(x) = 2x²- x - 1.
38) Determine p e q, de modo que o resto
da divisão de A(x) = x 4 + px³ - x² + qx +1
por B(x) = x² + x + 1 seja ax + 2.
39) Dividindo (x³ - 4x² + 7x - 3) por um
certo polinômio P(x), obtemos o quociente
(x-1) e o resto (2x-1). Calcule P(x).
40) Se o polinômio dado abaixo é divisível
por B(x) = x + m. Calcule o quociente de
A(x) por B(x).
A(x) = x³ + (2 + m)x² + (3 + 2m)x + 3m
41) Determine as soluções da equação
Q(x) = 0, onde Q(x) é o quociente da divisão de P(x) = x 4 -10x³ + 24x² + 10x - 24
por x² - 6x + 5.
42) Sabendo que P(x) = 2x³ + Ax + 3B e
Q(x) = x² - 3x + 9:
a) divida P(x) por Q(x).
24) O polinômio f(x) = 2x³ - 6x² + mx + n
tem uma raiz igual a 2 e f(-1) = - 6. Calcule m e n.
25) Seja P(x) um polinômio do segundo
grau, tal que P(0) = -20, P(1) + P(2) = -18
e P(1) - 3P(2) = 6. Qual o conjunto de todos os valores de x para os quais P(x) < 0.
26) Sabendo-se que P(x) = ax 4 + bx³ + c
e Q(x) = ax³ + bx + c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que P(0) = 0, P(1)
= 0 e Q(1) = 1.
1
27) Determine k, para que x =
seja raiz
2
de P(x)=4x 4 -8x³-(k+5)x²+(3k-2)x+5-k.
28) Se P(x) = x³ + (a - 2)x² +(b - 4)x - 3
admite as raízes 1 e -1, calcule os valores
de a e b.
29) Sendo P(x) = x² - 2x + 1, calcule:
a) P(i)
b) P(1 + i)
c) P(2 - i)
b) determine A e B, para que a divisão
seja exata.
30) A equação 6x² - 5x + m = 0 admite
1
uma raiz igual a . O valor de m, na equa2
ção, é:
43) Se F = 3x³ - 2x² - 11, G = x³ - 2x -1 e
H = x + 1, determine:
a) o polinômio P = (F - 3G):H.
4
31) Sabendo que p(x) = x - x³ + 2x² - 1,
q(x) = 3x 5 + 1 e t(x) = 4x²- 1. Obtenha:
a) p(x)+q(x)
d) t(x).p(x) - q(x)
b) q(x).t(x)
e) (t(x))² - 16p(x)
b) o grau do polinômio F.G
44) Calcule m e n para que polinômio
A(x) = 2x 4 - x³ + mx² - nx + 2 seja divisível por B(x) = x² - x - 2.
45) Sabe-se que A(x) = x³ + 2x² + mx + n é
divisível por B(x) = x² + x + 1. Calcule o
valor de m + n.
c) q(x)-t(x)
32) Quais devem ser os valores de A, B e
B
C
2 x 2 + 5x − 1 A
C, para que
= +
+
.
3
x x +1 x −1
x −x
33) Determine A, B e C na decomposição:
1
A
Bx + C
=
+ 2
.
3
x −1 x −1 x + x + 1
34) Os valores de A, B e C tais que:
8
A
B
C
são:
≡ +
+
3
x − 4x x x − 2 x + 2
35) Determine o quociente e o resto da divisão de f(x) = 2x³ + x² - x + 2 por
g(x) = x² + 3x +1.
46) Determine m e n, de modo que o resto
da divisão do polinômio y5 - my³ + n por
y³ + 3y² seja 5.
47) Se P(x) = 2x³ - 4x²+ ax + b e
Q(x) = 2x² - x - 1 são polinômios, determine os valores de a e b, para que P(x) seja
divisível por Q(x).
48) Efetue a divisão de p(x) por d(x) em
cada caso a seguir:
a) p(x)=x 3 -2x 2 +6x-5 e d(x)=x 2 -2x+1
b) p(x)=x 3 + 5x 2 - 7x + 4 e d(x)=x + 1
2
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5
4
3
2
c) p(x)=5x -2x -4x -4x e d(x)=x +x
3
2
57) Determine o quociente q(x) e o resto
r(x) das divisões de p(x) por d(x):
2
d) p(x)=x -3x +3x-1 e d(x)=x +2x-1
a) p(x)=3x³ - 2x² + x + 1 e d(x)=x - 1
49) Qual o valor de k para que a divisão de
p(x)=4x³ - 3x² + kx + 3 por d(x)=x² -1 seja
exata.
b) p(x) = x 5 - 4x 4 + 3 e d(x) = x + 2
c) p(x) = 5x² - 3x - 1 e d(x) = x + 1
d) p(x) = x 5 - 1 e d(x) = x - 1
50) Calcule o valor de m e n para a divisão
de p(x) por d(x) seja exata:
p(x) = 8x 4 + mx³ + 2x² - nx + 1
d(x) = 4x² + 3x - 1
58) Determine o resto da divisão do polinômio definido por P(x) = x³ +7x² - 2x + 1
por:
51) Determine os valores de p e q para que
o polinômio x³ + px + q seja divisível por
x² + 2x + 5.
a) x - 3
60) Qual é o número real que se deve adicionar a P(x) = x³ - 2x² + x, para se obter
um polinômio divisível por x - 3 ?
53) Determine um polinômio p(x) cuja a
divisão por d(x) = 2x - 6 resulta um quociente q(x) = - x³ - 2x² + 1 e resto 6.
61) Determine o resto da divisão do polinômio definido por P(x) = x 8 - 5x³ +x² - 1
1
por x + .
2
54) Nos esquemas adiante foi aplicado o
dispositivo prático de Briot-Ruffini; calcule o valor dos elementos desconhecidos em
cada um deles:
a
b
c
d
a) 2
b)
-1 a
3
-2
62) Seja P(x) = x³ + ax² - 5x + 1. Calcule
P( x )
tenha resto 11.
a, para que
x−2
1
b
c
d
4 -2
-1
0
c) 2x + 5
59) Determine o valor de a, para que o resto da divisão de P(x) = ax³ - 2x + 1 por x 3 seja 4.
52) Dividindo p(x) por d(x) = x² - 4x + 1,
obtém-se quociente q(x) = x + 4 e resto
r(x) = 15x + 1. Determine p(x).
1
b) x + 3
63) Determine b e c, de modo que o polinômio definido por P(x) = x 4 + x² + bx + c
seja divisível por x - 2 mas, quando dividido por x + 2 deixe resto 4.
55) Usando o dispositivo prático de BriotRuffuni, calcule o quociente e o resto da
divisão de:
64) Quais os valores de a e b, tais que os
polinômios x³ - 2ax² + (3a + b)x - 3b e x³
- (a+2b)x + 2a sejam divisíveis por x+1.
a) P(x) = x 4 -5x³+2x²+3x-1 por (x - 2)
65) Dividindo-se P(x) = x³ + 3x² + 5x + a
por x - a encontra-se para resto da divisão
a³. Determine os valores de a.
b) P(x) = 2x³ - x² - 1 por (x - 1)
c) P(x) = 5x² - 3x + 2 por (x + 3)
66) Dividindo P(x) por 2x - 1, encontramos
para quociente x²- x e resto m. Sendo P(-1)
= 0, calcule m.
d) P(x) = 4x 5 - 5x 4 + 1 por (x - 1)
e) P(x) = 2x³ - 3x² + x + 2 por (2x - 1)
f ) P(x) = x² - 2x + 1 por (2x - 3)
67) O polinômio P(x) = 5x³ - 4x² + px + q
 1  213
é divisível por x - 2 e P   =
. Calcule
8
2
p e q.
56) Obtenha o quociente e o resto nas seguintes divisões:
a) p(x) = 6x³-2x²+x+1 por d(x) = 3x - 6
b) p(x) = 2x 4 + 3x² - 1 por d(x) = 2x - 3
68) Ache a e b, para que os polinômios
P(x) = x² + ax - 3b e Q(x) = -x³ + 2ax - b
sejam divisíveis por x - 1.
6
c) p(x) = x - 1 por d(x) = 2x + 1
3
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69) Determine os valores a e b no polinômio definido por f(x) = x³ + 2x² + ax + b,
para que f(x) + 1 seja divisível por x +1 e
f(x) - 1 seja divisível por x - 1.
70) Determine o polinômio P(x) do 3º grau
que se anula para x = 1 e que, dividido por
x + 1, x - 2 e x + 2, apresenta restos iguais
a 6.
71) Para quais valores de m o resto da divisão de P(x) = m²x² - 5mx + 6 por (x-1) é
menor que 2?
72) Determine o resto r(x) das divisões de
p(x) por d(x) em cada caso a seguir:
a) p(x) = 2x 4 - 3x³ + 1 e d(x) = 2x - 1
81) Se -2 é raiz de x³ + 2x² - 9x - 18. A
soma das outras raízes é:
82) O polinômio de coeficientes inteiros,
de menor grau possível, que tem como raízes 2 e i, é:
83) Sabendo-se que (1 + i) uma das raízes
de x 4 - 2x³ + x² + 2x - 2 = 0, as outras três
raízes são:
84) Determine m e n, de modo que o polinômio P(x) = 2x 4 + 3x³ + mx² + nx - 3 seja
divisível por (x + 1).(x - 3).
85) P(x) = x 4 - 4x³ + mx² + 4x + n é divisível por (x - 1).(x - 2). Calcule o valor de
5m + 2n.
b) p(x)= x 5 - x 4 + 2x³ - x² e d(x)= x - 1
86) Se P(x) dividido por (x - 1) dá resto 2;
por (x - 2) dá resto 1 e por (x - 3) dá resto
-4. Calcule o resto da divisão de P(x) por
(x - 1).(x - 2).(x - 3).
c) p(x) = x² - 5x + 6 e d(x) = x - 3
d) p(x)= 2x 6 - x 5 - 2x 4 + x³ e d(x)= x +1
73) Qual o valor de m para que o resto da
divisão de p(x) = x³ - 2x² + mx + m - 1
por d(x) = x - 2 seja 5.
87) P(x) = 4x 4 - 5x² - 3bx + a é divisível
por (x² - 1). Calcule a e b.
74) Determine o valor de a para que o resto
da divisão de p(x) = 4x² - ax + 1 por d(x)
= 2x - 6 seja igual a - 5.
88) Determine m e n, para que o polinômio
definido por P(x)= 2x 4 - x³ + mx² + 2n seja
divisível por x² - x - 2.
75) Calcule k para que o polinômio dado
por p(x) = 2x³ - kx² + 5x - 1 seja divisível
por x - 1.
89) Forme um polinômio cujas raízes são
1, -3, i e -i.
90) Decomponha em fatores do 1º grau o
polinômio P(x) = 3x³ + 2x² - 7x + 2, sa1
e 1.
bendo que suas raízes são -2,
3
91) Se -1 é raiz de x³ + x² - 3x - 3 = 0, determine as outras raízes.
92) O polinômio P(x) = x³ - x² + x + a é
divisível por x - 1. Ache todas as raízes
complexas de P(x).
93) Sabendo que 2 é uma raiz simples da
equação x³ + 2x² - 13x +10 = 0, determine
seu conjunto solução.
94) Sabendo que 1 e 3 são raízes da equação x 4 - 8x³ + 24x² - 32x +15 = 0, determine seu conjunto solução.
95) Resolva x 4 - 7x³ + 13x² + 3x - 18 = 0,
sabendo que 3 é raiz dupla da equação.
96) Sabendo que 1 é raiz dupla da equação
x³+ax²-2x+b, calcule o valor de a + b.
76) Determine a e b, sabendo que p(x) = x² + (a - b)x e t(x) = 2x³ - ax² - ax + 2b
são ambos divisíveis por x + 1.
77) Dividindo p(x) por x - 2, obtém-se resto 5, e, dividindo por x + 1, obtém-se resto
- 2. Determine o resto da divisão de p(x)
por (x - 2).(x +1).
78) Obtenha o resto r(x) da divisão de um
polinômio p(x) por (x + 2)(x - 2), sabendo
que os restos das divisões de p(x) dividido
por (x + 2) e por (x - 2) são respectivamente, -1 e 3.
79) Obtenha o resto r(x) da divisão de um
polinômio p(x) por (x²-9), sendo os restos
da divisão de p(x) por (x+3) e por (x-3),
são, respectivamente 2 e -1.
80) Se os números -3, a, b são as raízes da
equação x³ + 5x² - 2x - 24 = 0, então o valor de a + b é :
4
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110) Sabendo que (1 + 2i) é raiz da equação x 4 - 7x³ + 19x² - 33x + 20 = 0, determine seu conjunto solução.
97) Qual a relação entre a e b, para que 1
seja raiz dupla da equação polinomial dada
por x³ + (-2a -1)x² + (b + 2a)x - b = 0?
98) Determine as raízes das equações:
a) (x - 2).(x - 3).(x - 4) = 0
111) Resolva x³ - 2x² + 9x - 18 = 0, sabendo que uma raiz é um número imaginário
puro da forma bi.
112) A equação x³ + mx² + 2x + n = 0, onde m e n são números reais, tem 1 + i como
raiz. Calcule m e n.
113) Resolva as equações:
a) x³ - 6x² - x + 30 = 0
b) 2x³ - x² - 2x + 1 = 0
c) 4x 4 - 4x³ - 3x² + 4x - 1 = 0
d) x(x - 4)² + 10x(x - 2) - 8 = 0
114) Resolva: 3x³- 13x²+13x - 3 = 0.
115) Determine o conjunto solução da equação x 4 + x³ - 7x² - x + 6 = 0.
116) Resolva: x³ - 2x² - 3x + 6 = 0.
117) Ache, se existirem, as raízes das seguintes equações:
a) 6x 4 - 17x³ + 8x² + 5x - 2 = 0
b) 4x³ - 5x + 1 = 0
b) 3(x + 2i).(x - 2i).(x + 1) = 0
c) 4(x - 3).(x + 2).(x + i) = 0
d) (x + i).(x - 2).(x - 3i) = 0
99) Sabendo que uma das raízes da equação x³ - 4x² + x + 6 = 0 é o número 2. Determine as outras duas raízes.
100) Sabendo que -3 é uma das raízes da
equação x³ + 4x² + 3x = 0, determine as
outras raízes.
101) Determine as outras raízes do polinômio P(x) = x³ - x² - 9x + 9 sabendo que
P(1) = 0.
102) Sabendo que -2 é raiz da equação
x³ + ix² - 4x - 4i = 0, resolva-a.
103) Determine m para que - 1 seja raiz da
equação x 4 +( 2m - 1 )x³ - 6m = 0.
104) Decomponha o polinômio p(x) em fatores do 1º grau, sabendo que a 1 , a 2 e a 3
são as raízes desse polinômio:
a) p(x) = x³ + 7x² + 14x + 8 e a 1 = -2,
a 2 = -1 e a 3 = -4
x 4 −1
+ 4x = (x + 2)² + 7.
x −1
119) Determine as soluções reais da equa2 x 2 − 8x
= x.
ção 2
x − 4x
120) Quais são as raízes inteiras da equação x³ + 4x² + 2x - 4 = 0?
121) Escreva as relações de Girard para
cada equação a seguir:
a) 2x² - 5x + 7 = 0
b) x³ - 4x² - 5x + 6 = 0
c) 2x³ - 6x² + 5x - 8 = 0
d) x 4 - 2x³ + 4x² + 5x - 7 = 0
122) Calcule a soma e o produto das raízes
das equações:
a) 2x³ - 7x² + 5x + 6 = 0
b) 3 x 4 - 6x³ + 8x - 12 = 0
c) 2x 5 - 4x 4 + 5x + 16 = 0
123) Determine m para que a soma das raízes de 3x 5 + (2m - 1)x 4 + 3x² - x + 8 = 0
seja igual a -5.
118) Resolva:
b) p(x) = x³ + 9x² + 27x + 27 e a 1 = a 2 =
a 3 = -3
c) p(x) = x³-3ix²-3x+i = 0 e a 1 =a 2 =a 3 = i
d) p(x) = 5x³ + 3x² - 20x - 12 e a 1 = 2,
a 2 = -2 e a 3 = -
3
5
105) Resolva a equação abaixo, sabendo
que o número 2 é raiz dupla.
x 4 - 4x³ + 3x² + 4x - 4 = 0
106) Mostre que -2 é raiz de multiplicidade
três de x 4 + 7x³ +18x² + 20x + 8 = 0.
107) Determine a multiplicidade da raiz 1
na equação x 4 - x³ - 3x² + 5x - 2 = 0
108) Determine o conjunto solução da equação x 4 - x³ - 11x² - x - 12 = 0, sabendo
que i é uma de suas raízes.
109) Determine o valor de m, para que a
equação x 4 - 3x³ + 6x² + mx + 8 = 0 tenha
como uma de suas raízes 2i.
5
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124) Determine m para que a soma das raízes de 4x 4 - (m - 1)x³ + 2x² - 5x + 4 = 0 seja igual a 2.
125) Determine m para que o produto das
raízes da equação 4x³ - 3x + (2m - 6) = 0
seja igual a -2.
126) Resolva x³ - 2x² - x + 2 = 0, sabendo
que o produto de duas de suas raízes é 2.
127) Resolva x³ + x² - 4x - 4 = 0, sabendo
que duas de suas raízes são simétricas.
128) Determine as raízes da equação definida por x³ + x² - 9x - 9 = 0, sabendo que
duas delas são simétricas.
129) Determine as raízes da equação, em x,
x³ + 7x² + 8x - 16 = 0, sabendo que duas
delas são iguais.
130) Resolva x³ - 3x² + 3x - 1 = 0, sabendo
que 1 + i é uma de suas soluções.
131) Resolva x³ - 7x² + 25x - 39 = 0, sabendo que 2 - 3i é uma de suas raízes.
1 1 1
132) Calcule o valor de + + , sendo a,
a b c
b e c raízes de x³ - 2x² + 3x - 4 = 0,.
133) Se 2x³ - 4x² + 3x - 1 = 0, tem raízes
a, b, c, calcule o valor de:
1
1
1
a
b
c
+
+
c)
+
+
a)
ab ac bc
bc ca ab
-1
-1
-1
b) a + b + c
134) Resolva x³ - 3x² - 6x + 8 = 0, sabendo
que a soma de duas de suas raízes é igual a
5.
135) Determine as raízes da equação, em x,
3x³ - 16x² + 23x - 6 = 0, sabendo que o
produto de duas delas é igual a unidade.
136) Resolva x³ - 11x² + 34x - 24 = 0, sabendo que a diferença entre duas de suas
raízes é 3.
137) Dada a equação x³ - 3x - 2 = 0, determine suas raízes, sabendo que uma delas
é dupla.
138) Resolva x³ - 11x² + 38x - 40 = 0, sabendo que uma das raízes é igual ao dobro
da outra.
139) Determine m, de modo que as raízes
de 2x³ - 5x² - (m -1)x + 3 = 0 verifiquem a
relação a + b = 4c, sendo a, b e c as raízes
da equação.
140) Resolva x³ - 15x² + 71x - 105 = 0, sabendo que suas raízes estão em P.A..
141) Determine k de modo que as raízes da
equação x³ - 3x² - 6x + k = 0 estejam em
P.A..
142) Dada x³ - 9x² + 26x + a = 0, determine o valor de a, para que as raízes dessa
equação sejam números naturais sucessivos.
143) Sabendo que as raízes da equação x³14x² + 56x - 64 = 0 estão em P.G., determine seu conjunto solução.
144) Sejam -2 e 3 duas raízes da equação
2x³ - x² + mx + n = 0, onde m, n ∈ R. Determine:
a) a terceira raiz dessa equação.
b) os valores de m e n.
145) As raízes de x³ - 6x² + kx + 64 = 0 estão em P.G.. Calcule o valor de k.
146) Sendo a, b e c são raízes da equação
x³ + x - 1 = 0, calcule o valor de:
 1 1 1
log  + +  .
a b c
147) Os valores reais de a e b, para os
quais x³ +ax² + 18 = 0 e x³ + bx + 12 = 0
têm duas raízes reais são:
148) Sabendo que (2 + i) é uma das raízes
da equação 3x³ - 14x² + mx - 10 = 0, determine:
a) o valor de m.
b) o valor de sua raiz real.
149) Resolva x³ - 16x² + 85x - 150 = 0, sabendo que uma das raízes tem multiplicidade 2.
150) 4x 5 + 3x 4 + 4x³ +3x² + 4x + 3 = 0 tem
como raízes a, b, c, d e e. O valor de
1 1 1 1 1
+ + + + é:
a b c d e
151) As raízes de x³ - 9x² + 23x - 15 = 0
estão em progressão aritmética. Suas raízes
são:
152) O produto de duas raízes da equação
2x³ - 19x² + 37x - 14 = 0 é 1. A soma das
duas maiores raízes da equação é:
6
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RESPOSTAS
1. a) 3º b) 1º c) grau 0
2. a) 2º(k ≠ -1); 1º(k = -1)
b) 3º(k ≠ -3); 0grau(k=-3)
c) 2º(k ≠ ± 2); 1º(k = -2);
0 grau (k = 2)
3. a) m ≠± 1 b) m=1 c) m=-1
4.ç m ∈ R
5. nunca
6. a) 3 b) 5 c) -1 d)
91
32
7. k = 0
8. a) 3 b)
9. -
16
27
10
7
c) 3
2
10. demonstração
11. a) a= -2; b= 2 e c= ± 3
b) a = 3; b = 2 e c = -4
c) a = b = c = 0
d) a = -1; b = 1 e c = -2
12. a) a = b = 0
1
eb=0
2
1
3
c) a = e b =
2
2
11
2
eb=
d) a = 10
5
b) a =
13. a) a=5; b=4; c=5 e d=1
b) a = ± 3; b = 2;
c=
5
e d = -12
2
c) a = 2 ou a = -1;
b = 8; c = -13 e d = ± 4
14. a = - 4 e b = 8
15. 4º grau 16. 4º grau
17. m = 1; n = 2 e p = -3
18. m = 2; n = e p = -3
19. a = -1 e b = 1
20. a = c = 1 e b = -1
1
1
21. P(x) = x 2 + x
2
2
1
2
3
22. m = ; n =
el=
2
5
2
1
1
23. a = - ; b =
ec=0
2
2
24.
25.
26.
27.
28.
29.
m=2en=4
{x ∈ R/ x < 4 ou x > 5}
não tem solução
k = -8
a=5eb=3
a) -2i b) -1 c) -2i
30. m = 1
31. a) 3x 5 + x 4 - x 3 + 2x 2
b) 12x 7 - 3x 5 + 4x 2 - 1
c) 3x 5 - 4x 2 + 2
d) 4x 6 -4x 5 +7x 4 +x 3 -6x 2 +1
e) 16x 3 - 40x 2 + 7
32. A = 1; B = -2 e C = 3
33. A =
1
1
2
;b=- eC=3
3
3
34. A = -2; B = 1 e C = 1
35. Q(x) = 2x - 5 e
R(x) = 12x + 7
36. Q(x) = x 3 - x 2 + x - 1 e
R(x) = 0
37. α = 1 e β = -2
38. p = 0 e q = -1
39. P(x) = x 2 - 3x + 2
40. x 2 + 2x + 3
41. S = (-1, 5)
42. A = 0 e B = 18
43. a) 2x ± 8 b) 6
44. m = -6 e n = 1
45. 3
46. m = 9 e n = 5
47. a =
1
3
eb=
2
2
48. a) x e resto 5x - 5
b) x 2 +4x-11 e resto 15
c) 5x 3 -7x 2 +3x–3 e resto -x
d) x - 5 e resto 14x - 6
49. k = -4
50
17
en=
50. m =
3
3
51.
52.
53.
54.
p = 1 e q = -10
x3 + 5
2x 4 + 2x 3 + 12x 2 + 2x
a) a = 1; b = 1;
c = -8 e d = 5
b) a = 4; b = 2;
c = -3 e d = -1
55. a) x 3 -3x 2 -4x-5 e r=-11
b) 2x 2 + x + 1 e r = 0
c) 5x - 18 e r = 56
d) 4x 4 -x 3 -x 2 -x-1 e r=0
e) x 2 - x e r = 2
x
1
1
er=
2
4
4
2 10
56. a) 2x + x+7 e r=43
3
f)
7
3
15
45
x+
e
2
4
8
127
r=
8
1
1
1
1
c) x 5 - x 4 + x 3 - x 2 +
2
4
8
16
1
1
63
xer=32
64
64
b) x 3 + x 2 +
57. a) 3x 2 + x + 2 e r = 3
b) x 4 -6x 3 +12x 2 -24x+48
e r = -93
c) 5x - 8 e r = 7
d) x 4 +x 3 +x 2 +x+1 e r=1
58. a) 85
59. a =
61. 63.
64.
65.
66.
67.
1
3
31
256
b) 43
c)
273
8
60. -12
62. a = 3
b = -1 e c = -18
a = 3 e b = -4
a = 0 ou a = -2
m=6
p = -34 e q = 44
68. a =
4
3
eb=
5
5
69. a = 0 e b = -2
70. P(x) = x 3 + x 2 - 4x + 2
71. {m ∈ R / 1 < m < 4}
72. a)
3
b) 1 c) 0 d) 0
4
73. m = 2
75. k = 6
7
1
x+
3
3
1
1
79. x +
2
2
77.
82.
83.
84.
85.
87.
88.
89.
74. a = 14
76. a=0 e b=1
78. n + 1
80. -2 81. 0
x 3 - 2x 2 + x - 2
1 - i; 1 e -1
m = -19 e n = -23
7
86. -2x 2 + 5x - 1
a=1eb=0
m = -7 e n = 2
P(x)=x 4 +2x 3 -2x 2 +2x-3
1
3
90. P(x)=3(x+2)(x- )(x-1)
91. (- 3 , 3 )
92. -5,1 e 2 93. {-5,1, 2}
94. {1, 3, 2 - i , 2 + i }
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95. {-1, 2, 3}
96. 1
97. a = 0 e b = -1
98. a) 2, 3 e 4
b) 2i, -2i e -1
c) 3, -2 e - i
d) -i, 2 e 3i
99. 3 e -1
100. 0 e -1
102. 2 e - i
101. ± 3
103. 1/4
104. a) (x+2)(x+1)(x+4)
b) (x+3) 3 c) (x-i) 3
d) (x -2)(x+2)(5x+3)
105. ± 1
106. Usar Briot-Ruffini
107. 3 108. {-3, 4, -i, i}
109. -12
110. {1, 4, 1 - 2i, 1 + 2i}
111. {2, -3i, 3i}
112. m = -2 e n = 0
113. a) {-2, 3, 5}
127. -2, -1 e 2
128. -3,-1 e 3
130. 1 - i e 1
129. 1, -4
131. 3 e 2 + 3i
132.
3
4
133. a) 4 b) 3 c) 2
134. {-2, 1, 4}
1
3
135. { , 2, 3}
136.
138.
140.
142.
144.
145.
147.
{1, 4, 6} 137.{-1, 2}
{2, 4, 5}
139. 5
{3, 5, 7} 141. 8
-24
143. {2, 4, 8}
m = -13 e n = -6
-24
146. 0
a=1eb=2
148. a) 23 b)
149. {5, 6}
151. 1, 3 e 5
2
3
150. 1
152. 9
1
}
2
1
c) {-1, 1, }
2
b) {-1, 1,
d) {-2, 2}
1
3
114. { , 1, 3}
115. {-3, -1, 1, 2}
116. {- 3 , 3 , 2}
1
2
1
, 1, 2}
3
− 1 ± 2 

2

117. a) {- ,


b) 1,
118. {2, -1 + 2i, -1 - 2i}
119. {2}
120. {-2}
121. a) S 1 =
5
7
e S2 =
2
2
b) S 1 = 4, S 2 = -5
e S3 = 6
c) S 1 = 3, S 2 =
5
2
e S3 = 4
d) S 1 = 2, S 2 = 4,
S 3 = -5 e S 4 = 7
122. a) S =
7
e P = -3
2
b) S = 2 e P = -4
c) S = 2 e P = -8
123. 8
124. 9
125. 4
126. -1, 1 e 2
8
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