Matriz, Determinante e Sistema – Lista 1 Aprofundamento em

Matriz, Determinante e Sistema – Lista 1
Aprofundamento em Matemática – Prof. Sérgio Tambellini
Nome : ................................................................................. no ............. Turma : .....................
01. (UNICAMP 2008 – 2a fase) Uma matriz real quadrada
P é dita ortogonal se Pt = P-1, ou seja, se sua transposta é
igual a sua inversa.
a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a
e b para que P seja ortogonal. Dica: você pode usar o fato
de que P-1.P = I, em que I é a matriz identidade.
04. (FGV 2005 – 2a fase – Administração)
a) Mostre que existem infinitas triplas ordenadas (x, y, z)
de números que satisfazem a equação matricial:
1
 2
  1  0 




x .  2   y . 0  z .  10  0
 1
1
 7  0
  1 / 3  2 / 3  2 / 3
 2 / 3
a
 1 / 3 

 2 / 3
b
2 / 3 
b) Resolva o sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y,
usando o conceito de matriz inversa:
 2x  y  a

5x  3y  b
Use o fato de que a inversa da matriz
2 1
 3  1
é A 1  
A

.
5 3
 5 2 
b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = Q.R,
sendo Q e R as matrizes abaixo. Sabendo que Q é
ortogonal, determine a solução do sistema Ax = b, para o
vetor b dado, sem obter explicitamente a matriz A. Dica:
lembre-se de que x = A-1.b.
 1/ 2

Q   1/ 2
 2/2

 1 / 2  2 / 2

1 / 2
2 /2 ,
2 /2
0 

2 0
R  0  2
0 0
0 
6
0  , b   2
 0 
2 
02. (UNICAMP 2007 – 2a fase) Seja dado o sistema linear:
 x 1  2 x 2  2

 2x 1  x 2  2
 x x 2
2
 1
a) Mostre graficamente que esse sistema não tem solução.
Justifique.
b) Para determinar uma solução aproximada de um sistema
linear Ax = b impossível, utiliza-se o método dos
quadrados mínimos,que consiste em resolver o sistema
A T Ax  A T b . Usando esse método, encontre uma
solução aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se
de que as linhas de MT (a transposta de uma matriz M) são
iguais às colunas de M.
03. (UNICAMP 2006 – 2a fase) Sejam dados: a matriz
 x  1 x  1 x  1
m


 
A   x 1 1
2  , o vetor b   3  e o vetor
 x 1 1
5
 2 

 
 y1 
 
y   y2  .
y 
 3
a) Encontre o conjunto solução da equação det(A) = 0.
b) Utilizando o maior valor de x que você encontrou no
item (a), determine o valor de m para que o sistema linear
Ay = b tenha infinitas soluções.
05. (VUNESP 2004 Conhecimentos Específicos – Exatas)
Considere a matriz
 6  3 0
A   3 6 0
 1  1 2
a) Determine todos os números reais  para os quais se
tem det(A - I) = 0, onde I é a matriz identidade de
ordem 3.
b) Tomando  = –2, dê todas as soluções do sistema
 (6   ) x  3 y  0

  3x  (6  ) y  0
x  y  ( 2   ) z  0

06. (FUVEST 2001 – 2a fase) Dado um número real a,
considere o seguinte problema:
“Achar números x1, x2, ..., x6, não todos nulos, que
satisfaçam o sistema linear:
(r – 2)(r – 3)xr-1 + ((r – 1)(r – 3)(r – 4)(r – 6)a + (-1)r)xr +
+ (r – 3)xr+1 = 0 , para r = 1, 2, ..., 6, onde x0 = x7 = 0”
a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial.
b) Para que valores de a o problema acima tem solução?
c) Existe, para algum valor de a, uma solução do problema
com x1 = 1? Se existir, determine tal solução.
07. (ITA 2008) Uma matriz real quadrada A é ortogonal se
A é inversível e A-1 = At. Determine todas as matrizes 2x2
que são simétricas e ortogonais, expressando-as, quando
for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da
diagonal principal.
08. (ITA 2008) Considere o sistema Ax = B, em que
3 
 1 2
1


 
A=  2
,
b
=
k
6 
 6  e k  R.
  1 3 k  3
0


 
Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o
sistema impossível e sendo S a soma de todos os valores
de k que tornam o sistema possível e indeterminado, então
o valor de T – S é
a) –4. b) –3. c) 0
d) 1.
e) 4.
09. (ITA 2008) Sejam A e C matrizes nxn inversíveis tais
1
que det(I + C-1.A) = e detA = 5.
3
Sabendo-se que B = 3.(A-1 + C-1), então o determinante de
B é igual a
3n 1
a) 3n.
d)
.
5
b) 2 .
c)
3n
.
52
e) 5 . 3n-1.
1
.
5
03. a) S = {1, 2}
b) m =
7
2
04. a) Como o sistema linear é homogêneo e o
determinante da matriz incompleta é igual a zero, então o
sistema é possível e indeterminado, ou seja, admite
infinitas soluções.
b) S = {(3a – b ; –5a + b)}
05. a)  = 2 ou  = 3 ou  = 9
10. (ITA 2007) Sejam A = (ajk) e B = (bjk), duas matrizes
quadradas nxn, onde ajk e bjk são, respectivamente, os
elementos da linha j e coluna k das matrizes A e B,
 j
k
definidos por ajk =   , quando j  k , ajk =   ,
k
 j
jk
 jk 
quando j < k e bjk =  (2)p   .
p 0
p
O traço de uma matriz quadrada (cjk) de ordem nxn é
n
definido por  c pp . Quando n for ímpar, o traço de A + B
b) (0; 0; 0)
06. a) O sistema é
-1
-2 0 0
0
0
0 -8a+1 -1 0
0
0
0
0 -1 0 0
0
0
0
2 1
1
0
0
0
0 6 -8a-1 2
0
0
0 0 12 1
x1
x2
x3
x4
x5
x6
b) O problema tem solução para a =
=
31
1
ou a = 
8
8
p 1
é igual a
n.(n  1)
a)
3
(n  1).(n  1)
b)
4
c)
1
a solução do problema é
8
1
x1 = 1 , x2 =  , x3 = x4 = x5 = x6 = 0
2
c) Para a =
3.(n  1)
d)
n
(n  1)
e)
(n  2)
(n 2  3n  2)
(n  2)
Respostas:
1
b) x   1 
 4
2
1
01. a) a =
eb= 
3
3
02. a) Ver gráfico abaixo. O sistema linear não tem
solução porque as retas r, s e t não concorrem num mesmo
ponto.
x2
x y 

07. Seja A = 
z w
Para y = 0, temos:
1 0
 1 0
 ou A = 
 ou
A = 
 0 1
0 1
1 0 
 1 0 
 ou A = 

A = 
 0 1
 0  1
Para x = –w, temos:
 1  y2

y
 ou
A= 

2
 1 y 
 y
  1  y2
y 
A= 
e |y| ≤ 1


y
1  y2 

(r)
08. a
2
1
09. d
1
2
x1
10. c
-2
(t)
(s)
b) A solução aproximada do sistema é dada por
4 4
(x 1 ; x 2 )   ; 
3 3
0
0
0
0
0
0