Lista 8 de Álgebra Linear

1
Lista 8 de Álgebra Linear - 2012/01
Produto Interno
−
−
1. Sejam →
u = (x1 , x2 ) e →
v = (y1 , y2 ). Mostre que temos um produto interno em R2 nos seguintes casos:
(a)
(b)
−
−
h→
u,→
v i = 3x1 y1 + x2 y2 .
→
−
→
−
h u , v i = x1 y1 − 2x2 y1 − 2x1 y2 + 5x2 y2 .
−
−
2. Sejam →
u = (x1 , y1 , z1 ) e →
v = (x2 , y2 , z2 ). Identique os casos em que temos um produto interno no R3 .
Nos casos que falham, identique as propriedades que não vericam.
(a)
(b)
(c)
−
−
h→
u,→
v i = x 1 x 2 + z1 z 2 .
−
−
h→
u,→
v i = x1 x2 − y1 y2 + z1 z2 .
→
−
→
−
hu, vi=x y z +y x z .
1 2 1
1 2 2
−
−
−
−
3. Sejam →
u = (x1 , x2 ) e →
v = (y1 , y2 ). A expressão h→
u,→
v i = x1 y1 − x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 dene um produto
2
interno em R ?
4. No espaço de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2, determine se
hp, qi = p(1)q(1)
é um produto interno, e, em caso negativo, indique quais dos axiomas da denição de produto interno são
violados.
5. Utilize os produtos internos do exercício 1 para calcular:
(a) kuk com u = (−1, 3)
(b) d(u, v) com v = (3, 5)
6. Em P2 , considere o produto interno
Z
1
hf, gi =
f (x)g(x)dx
−1
e os polinômios f (x) = x2 , g(x) = 3x. Mostre que f e g são ortogonais e a seguir, determine g um
múltiplo de g tal que kgk = 1.
1 0
7. Considere V = M (2, 2), com o produto interno usual. Determine a projeção ortogonal de
sobre
0 0
1 1
.
1 1
8. Considere V
√ =2 P2 , com o produto interno usual. Qual é o menor ângulo entre p(t) = 1 − t +
q(t) = 1 + 2t ?
√
2t2 e
2
9. Seja V um espaço vetorial com produto√interno denido, e sejam u, v vetores ortogonais de V, tais que
kuk = 1 e kvk = 2. Mostre que d(u, v) = 5. Interprete este resultado geometricamente quando u, v ∈ R2 .
10. Seja V o espaço das funções contínuas no intervalo [0, 1]. Dena em V o seguinte produto interno:
Z
hf, gi =
1
f (x)g(x)dx.
0
(a) Calcule kf (x)k quando f (x) = x3 − x − 1.
(b) Calcule a d(f, g) se f (x) = 1 e g(x) = x.
11. Seja V = R3 . Seja W o subespaço do R3 dado pela equação x − 2y − 3z = 0. Determine W ⊥ e a distância
entre v = (1, 0, −1) aos subespaços W e W ⊥ .
−
−
12. (ENADE) Considere o espaço vetorial V = R2 munido do seguinte produto interno:h→
u,→
v i = x1 x2 −
→
−
→
−
2
y1 x2 − x1 y2 + 4y1 y2 , em que v = (x1 , y1 ) e u = (x2 , y2 ) são vetores do R . Considere T : V → V
o operador linear dado por T (x, y) = 2y, x2 . Com relação ao produto interno dado e ao operador T ,
assinale a opção correta.
(a)
(b)
(c)
(d)
Os vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) são ortogonais em relação ao produto interno dado.
−
−
−
−
O operador T preserva o produto interno, isto é, hT (→
u ), T (→
v )i = h→
u,→
v i.
T (x, y) = T (y, x), para todo (x, y) ∈ R2 .
−
O vetor →
v = (2, 0) pertence ao N (T ).
−
−
−
(e) Existe um vetor →
v = (x, y) ∈ R2 tal que x2 + y 2 = 1 e h→
v ,→
v i = 0.


1 2 −1 2
13. Seja T : R4 → R3 tal que [T ] = 3 5 0 4 .
1 1 2 0
(a) Determine uma base para o complemento ortogonal do N (T ).
(b) Determine uma base para o complemento ortogonal da Im(T ).
14. Seja V =
R3
e w2 ∈ W ⊥ .
e W = (0, 1, 0),
4
3
, 0, −
5
5
. Exprima w = (1, 2, 3) na forma w = w1 + w2 , em que w1 ∈ W
15. Seja V = R4 e W = [(−1, 0, 1, 2), (0, 1, 0, 1)] . Expresse w = (−1, 2, 6, 0) na forma w = w1 + w2 , em que
w1 ∈ W e w2 ∈ W ⊥ .
16. Seja V = M (2, 2). determine uma base para o complemento ortogonal do:
(a) subespaço das matrizes diagonais
(b) subespaço das matrizes simétricas.
−
−
−
17. A transformação T : R2 → R denida por T (→
v ) = h→
u,→
v i é linear? Se for, determine seu núcleo e sua
imagem.
3
18. Considere a base ortonormal α =
1
2
√ , 0, √
5
5
2
1
−
, − √ , 0, √
, (0, 1, 0) para R3 . Encontre [→
v ]β para
5
5
→
−
v = (2, −3, 1). (Não resolva nenhum sistema linear.)
19. Suponha que S consiste dos seguintes vetores em R4 :
u1 = (1, 1, 0, −1), u2 = (1, 2, 1, 3), u3 = (1, 1, −9, 2) e u4 = (16, −13, 1, 3)
(a) Mostre que S é ortogonal e é uma base de R4 .
(b) Ache as coordenadas do vetor v = (1, 0, 2, 3) em relação à base S. (Não resolva nenhum sistema
linear.)
20. Qual é a base ortonormal do R3 obtida pelo processo de Gram-Schmidt a partir da base
{(2, 6, 3), (−5, 6, 24), (9, −1, −4)}?
21. Use o processo de Gram-Schmidt para construir uma base ortonormal para um subespaço W de um espaço
vetorial V, para cada um dos seguintes casos:
(a) V = R4 tal que W = [(1, 1, 0, 0), (2, −1, 0, 1), (3, −3, 0, −2), (1, −2, 0, −3)]
(b) V = R3 tal que W = {(x, x + y, y); x, y ∈ R}

 x+y−z =0
2x + y + 3z = 0
(c) V = M (3, 1) tal que W é o conjunto solução do sistema homogêneo

x + 2y − 6z = 0
22. Seja W um subespaço do R3 dado pelas equações paramétricas x = 2t, y = −5t, z = 4t, t ∈ R. Determine
−
W ⊥ . Qual a distância do vetor →
v = (1, 0, −1) aos subespaços W e W ⊥ , respectivamente ?
23. Seja V o espaço das funções contínuas no intervalo [0, 1]. Dena em V o seguinte produto interno:
Z
hf, gi =
1
f (t)g(t)dt.
0
(a) Aplique o algoritmo de Gram-Schmidt ao conjunto {1, t, t2 } para obter um conjunto ortonormal
{f0 , f1 , f2 }.
(b) Achar o complemento ortogonal do subespaço W = [5, 1 + t] .
24. Seja V = P3 , p = a0 + b0 x + c0 x2 + d0 x3 e q = a1 + b1 x + c1 x2 + d1 x3 e hp, qi = a0 a1 + b0 b1 + c0 c1 + d0 d1
um produto interno em P3 . Ache uma base ortonormal para o subespaço W de P3 gerado pelos vetores
→
−
−
−
v 1 = 1 + x + x2 + x3 , →
v 2 = 1 + x + 2x2 + 4x3 e →
v 3 = 1 + 2x − 4x2 − 3x3 .
25. Seja hu, vi = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 um produto interno em R3 . Encontre as coordenadas do vetor
v = 32 , 1, 23 em relação à base ortonormal obtida a partir da base β = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}.
a −a
26. Seja U =
; a ∈ R um subespaço vetorial de M2×2 . Determine uma base ortonormal de
−a a
U ⊥ , usando o produto interno hA, Bi = tr(AT B).
27. Seja V = P2 , com produto interno usual.
4
(a) Determine uma base ortonormal para o subespaço W de P2 gerado por 4t + 3t2 e por 12 + t + 7t2 .
(b) Determine a projeção ortogonal de p(t) = t2 sobre W.
28. Encontre a projeção ortogonal de v = (1, 2, 3) sobre o subespaço W gerados pelos vetores u1 = (2, −2, 1)
e u2 = (−1, 1, 4).
29. Encontre a decomposição ortogonal de v = (4, −2, 3) em relação a W = [(1, 2, 1), (1, −1, 1)].
30. Ache uma matriz ortogonal P cuja primeira linha é u1 =

1
0
31. Encontre a fatoração QR da matriz A = 
−1
1
1 2 2
3, 3, 3
. Obs.: a matriz P não é única.

2 1
1 1
.
0 1
0 −1


 
2 1
12



32. Utilize a fatoração QR para resolver o sistema AX = B onde A = 1 1 e B = 6  .
2 1
18
33. Classique cada armação como verdadeira ou falsa:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Todo conjunto linearmente independente em Rn é um conjunto ortogonal.
Se A é uma matriz quadrada, cujas colunas são ortonormais então A é inversível e A−1 = AT .
Se W é um subespaço de um espaço com produto interno V então o vetor nulo pertence a W ⊥ .
Qualque matriz com determinante não- nulo tem uma decomposição QR.
−
−
−
−
−
Se →
x é ortogonal a ambos →
u e→
v , então x é ortogonal a →
u −→
v.
Todo conjunto ortogonal é ortonormal.
Todo vetor pode ser normalizado.
34. No assunto Diagonalização de Operadores, vimos que: "Se A é a matriz canônica de um operador
linear T e D a matriz de T na base β de autovetores, temos
D = P −1 AP
onde P é a matriz cujas colunas são os autovetores de T . Dizemos que a matriz P diagonaliza A ou que
P é a matriz diagonalizadora".
No caso de A ser uma matriz simétrica, e portanto sempre diagonalizável, podemos obter uma base
ortogonal de autovetores que, após a normalização, será uma base ortonormal. A matriz, acima citada, por
ter suas colunas formadas por vetores ortonormais, é uma matriz ortogonal, ou seja, é tal que P −1 = P T .
A matriz D, nesse caso, é obtida pela relação
D = P T AP
e, dizemos que P diagonaliza A ortogonalmente.
Seja T : R3 → R3 a transformação linear denida por: T (x, y, z) = (2x+y+z, x+2y−z, x−y+2z).Encontre
uma matriz P que diagonalize ortogonalmente a matriz canônica de T .
5
Gabarito
2.
Nenhum dos 3 casos é um produto interno em R3 .
3.
Sim.
4.
Não.
5.
Utilize os produtos internos do exercício 1 e os vetores u = (−1, 3) e v = (3, 5).
√
6. g = 26 x
7.
A
projB
8. θ =
10.
1 1
=
1 1
π
6
a) kf (x)k =
q
q
b) d(f, g) =
331
210
11. W ⊥ = {(x, −2x, −3x); x ∈ R}
b) Sim c) Não
e d(v, W ) =
q
8
7,
d(v, W ⊥ ) =
q
6
7
12.
a) Não
13.
Uma base para o complemento ortogonal do núcleo é {(−5, 3, 1, 0), (2, −2, 0, 1)} e para o complemento
ortoganl da imagem é {(1, 2, 0), (0, 1, 1)}.
e w2 =
14. w1 = − 54 , 2, 35
15. w1 = − 67 , 1, 76 , 10
3
16.
b) β =
17.
9
12
5 , 0, 5
e w2 =
Considerando hA, Bi = tr
0 1
−1 0
d) Não
1
3
17
5
2
10 , 0, 2 , − 5
AT B
, tem-se : a) Uma base para
W⊥
éβ=
0 1
0 0
,
0 0
1 0
a) Sim
b) Seja u = (x0 , y0 ). Então N (T ) =
18. (2, −3, 1) = √4
− 23

5

19.
e) Não
√1 , 0, √2
5
5
−
√3
5
n
o
x, − xy00 x ; x ∈ R e Im(T ) = {a ∈ R/a = x0 x + y0 y}
− √25 , 0, √15 − 3(0, 1, 0)
 4 
5 
11 
− 87
b) [v]s = 

20.
n
21.
a) α =
9
145
1
√7
7 (2, 6, 3), 3 2801
n
66 1062
2801
− 321
, 7√8966
49 , 49 , 49
001
√1 , √1 , 0, 0
2
2
√
b) α =
n
c) α =
n
o
− √442 , √542 , √142
√1 , √1 , 0
2
2
√
2
, √11
,
6
3
3
3
2 , − 2 , 0, 1
− 12 , 21 , 1
o
√
,
11
12
19 966
1723 6142
2801 , − 2801 , 2801
12
11 ,
o
36
− 12
11 , 0, − 11
o
, √114 (1, −2, 0, −3)
6
22. W = {(x, y, z) ∈ R3 /2x − 5 + 4z = 0}
23.
√
e d(v, W ⊥ ) =
√
2 5
15 ,
d(v, W ) =
q
86
45
√
a) β = {1, 3(2x − 1), 5(6x2 − 6x + 1)}
24. α =
n
25. α =
n
o
1
2 + 2x3 )
(1
+
3x
−
6x
+ x + x2 + x3 ), √16 (−1 − x + 2x3 ), 5√
2
1
2 (1
√1 , √1 , √1
6
6
6
√
,
30
15
3 3 1
2, 2, 2
("
Um base ortonormal é
27.
a) Uma base ortonormal é α =
18858
21130
−
7313
105650 t
+
210
14
,
8
7
4
15 , − 15 , − 15
# " √2
√
0
, 2 √32
0
− 2√3
√1
2
√1
2
26.
u =
b) projW
√
n
4
5t
o
√ # " √
3
√2
3 , −√ 6
3
0
6
60
−
+ 35 t2 , √4226
√71 t
5 4226
√
3
√6
3
2
#)
+
√103 t2
5 4226
o
10609 2
105650 t
v = −1, 1, 3
28. projW
2 2
29. v = w1 + w2

1
3

30. P =  0
4
√
3 2
31.
2
3
√1
2
1
− 3√
2
7
7
2 , −2, 2
e w2 =
1
1
2 , 0, − 2

2
3
− √12 
.
1
− 3√
2
Salientamos que P não é única.
Como as colunas da matriz A não são L. I's, não há como encontrar a decomposição QR da matriz A.

32. Q =
33.
onde w1 =
2
 13
3
2
3
√
−√62

"
3

2 2
,R =
3√ 
0
− 62
F,V,V,V,V,F,F


−1 1 1
34. P =  1 1 0
1 0 1
5
√3
2
3
#
−
, →
x =
9
−3