Matemática Discreta

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Programa
1
Matemática Discreta
Parte 1 - Conjuntos e Aplicações
1
2
2008/09
3
4
5
6
Jorge Manuel L. André
2
FCT/UNL
Parte 2 - Grafos e Aplicações
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2
3
4
5
6
Departamento de Matemática (FCT/UNL)
Matemática Discreta
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Conjuntos
Relações Binárias
Aplicações
Indução matemática e divisibilidade
Congruências lineares
Relações de Recorrência
Generalidades
Conexidade de grafos
Árvores
Grafos Eulerianos
Grafos Hamiltonianos
Matrizes e Grafos
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2. Relações Binárias
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2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
1.2.1 Definições e Exemplos
Definição
Seja X um conjunto. Chama-se relação binária sobre X a todo o
subconjunto de X × X .
Uma relação n-ária (n ∈ N, n ≥ 2) sobre X é um subconjunto de X n .
Sejam A e B conjuntos. Define-se produto cartesiano de A por B e
representa-se por A × B o conjunto
A × B = {(x, y ) : x ∈ A e y ∈ B}.
Exemplos
Denotamos A × A por A2 .
(i) Seja X = {1, 2, 3}. O conjunto R = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}.
(ii) Sejam X = {1, 2, 3, 4}. O conjunto R = {(x, y ) ∈ X 2 : x + y ≤ 5}.
Exemplos
(i) Sejam A = {a, b} e B = {1, 2, 3}.
Temos A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.
Notação: Sejam X um conjunto e R uma relação binária sobre X . Dado
um par (x, y ) ∈ X × X , escrevemos xRy ou (x, y ) ∈ R, para designar que
(x, y ) é um elemento de R.
(ii) R2 = {(x, y ) : x ∈ R e y ∈ R}.
(iii) Rn = {(x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n}.
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2. Relações Binárias
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1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
Definição
Sejam X e Y conjuntos. Uma relação de X em Y é um subconjunto de
X × Y . No caso particular de X = Y , temos uma relação binária sobre X .
Alguns modos de representar uma relação
Seja R uma relação binária sobre X = {x1 , ..., xn }.
(i) Através de matriz de adjacências:
A matriz de adjacências de R é a matriz A = [aij ]n×n ∈ Mn×n ({0, 1})
definida por:
1 se (xi , xj ) ∈ R
aij =
0 se (xi , xj ) ∈
/R
Chamamos domı́nio de uma relação R de X em Y ao conjunto
domR = {x ∈ X : ∃y ∈ Y (x, y ) ∈ R},
e imagem de uma relação binária R de X em Y ao conjunto
(ii) Através de diagrama:
os elementos de X são representados por pontos e dois pontos do
diagrama que representam xi e xj estão unidos por uma seta, com
orientação de xi para xj , se (xi , xj ) ∈ R.
imR = {y ∈ Y : ∃x ∈ X (x, y ) ∈ R}.
Definimos relação inversa de R a relação de Y em X dada por
R −1 = {(y , x) : (x, y ) ∈ R}, e relação composta de duas relações R e S,
de X em Y e Y em Z , respectivamente, a relação de X em Z
S ◦ R = {(x, y ) : ∃a ∈ Y (x, a) ∈ R e (a, y ) ∈ S}.
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1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
1.2.3. Relações de equivalência
1.2.2 Classificação das relações binárias
Uma relação binária reflexiva, simétrica e transitiva diz-se uma relação de
equivalência.
Definição
Dizemos que uma relação binária R sobre X é:
• reflexiva se ∀x ∈ X xRx.
Exemplos
• anti-simétrica se ∀x, y ∈ X xRy ∧ yRx ⇒ x = y .
• Seja X = {1, 2, 3, 4}. A relação
R = {(1, 1), (1, 2), (4, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 4), (2, 1), (4, 4)} não é uma
relação de equivalência.
• transitiva se ∀x, y , z ∈ X xRy ∧ yRz ⇒ xRz.
• A relação R definida em R por:
• simétrica se ∀x, y ∈ X xRy ⇒ yRx.
• irreflexiva se ∀x ∈ X
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2. Relações Binárias
xRy ⇔ x 2 = y 2
∼ (xRx) .
é uma relação de equivalência.
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1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
• Em Z a relação de equivalência ∼ definida por:
1.2.4. Classes de equivalência
m ∼ n ⇔ |m| = |n|.
Definição
Dados uma relação de equivalência R num conjunto X e um elemento
a ∈ X chama-se classe de equivalência de a (módulo R), e representa-se
por [a]R , ao conjunto dos elementos x de X tais que (x, a) ∈ R, isto é
• Sejam X um conjunto e ∆ = {(x, x) : x ∈ X }. O conjunto ∆ é uma
relação de equivalência sobre X denominada relação identidade sobre X .
• Sejam X um conjunto e Ω = {(x, y ) : x, y ∈ X }. O conjunto Ω é uma
relação de equivalência sobre X denominada relação universal sobre X .
[a]R = {x ∈ X : xRa}.
• Para x ∈ R denotamos por ⌊x⌋ o maior inteiro y tal que y ≤ x, também
conhecida como a parte inteira de x. Consideremos a relação de
equivalência ∼ definida em R por:
O conjunto cujos elementos são as classes de equivalência [a]R , com
a ∈ X , é chamado conjunto cociente de X por R e representa-se por X /R.
x ∼ y ⇔ ⌊x⌋ = ⌊y ⌋.
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1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
• Em Z define-se uma relação de equivalência ≡n por:
Exemplos
Vejamos que as seguintes relações são relações de equivalência e
determinemos as suas classes de equivalência e o seu conjunto cociente.
x ≡n y ⇔ ∃k ∈ Z : x − y = kn,
designada por relação de congruência módulo n.
• Seja X = {1, 2, 3, 4, 5}. A relação R =
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (2, 1), (1, 5), (5, 1), (2, 5), (5, 2)}.
Temos:
0 = {..., −2n, −n, 0, n, 2n, ...}
1 = {..., −2n + 1, −n + 1, 1, n + 1, 2n + 1, ...}
...
n − 1 = {..., −n − 1, −1, n − 1, 2n − 1, 3n − 1, ...} e
Tem-se:
[1] = {1, 2, 5} = [2] = [5], [3] = {3}, [4] = {4} e
Z/R = {0, 1, ..., n − 1}.
X /R = {{1, 2, 5}, {3}, {4}}.
Notação: Para dizer que x ≡n y também podemos denotar por
x = y (mod n).
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1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
Proposição
Sejam X um conjunto e R uma relação de equivalência sobre X . Para
quaisquer a, b ∈ X , as seguintes afirmações são equivalentes:
Definição
Seja X um conjunto. Um conjunto {Xi : i ∈ I } de subconjuntos não
vazios de X diz-se uma partição de X se:
S
(1) X = i∈I Xi
(1) bRa;
(2) b ∈ [a]R ;
(2) i 6= j =⇒ Xi ∩ Xj = ∅, para quaisquer i, j ∈ I .
(3) [b]R = [a]R .
Teorema
Sejam X um conjunto e R uma relação de equivalência sobre X . Temos:
(1) Para qualquer x ∈ X , [x]R 6= ∅;
(4) A relação R fica determinada pelas suas classes de equivalência.
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1. Seja X um conjunto. Se A ∈ P(X ) é tal que ∅ ⊂ A ⊂ X , então
{A, A} é uma partição de X .
2. Seja X = {1, 2, 3, 4}. Então,
{{1}, {2}, {3}, {4}}, {{1, 2}, {3, 4}},
{{1, 3}, {2}, {4}}, {{1, 2, 3, 4}} são partições de X . Mas,
{{1, 2}, {3}}, {{1, 2}, {1, 3, 4}} não são partições de X .
(2) Para quaisquer x, y ∈ X , [x]R = [y ]R ou [x]R ∩ [y ]R = ∅;
S
(3) X = x∈X [x]R ;
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Exemplos
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1.2. Relações Binárias
Teorema
Seja X um conjunto.
Exemplo
1. Se R é uma relação de equivalência sobre X , então X /R é uma
partição de X .
2. Se P = {Xi : i ∈ I } é uma partição de X e R é a relação definida por:
xRy
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2. Relações Binárias
⇐⇒
(∃i ∈ I )
Sendo X = {1, 2, 3, 4, 5} e P = {{1, 2}, {3, 5}, {4}} uma partição
de X , então P determina a relação de equivalência
R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 3), (5, 5), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}
x, y ∈ Xi ,
sobre X .
para quaisquer x, y ∈ X , então:
(i) R é relação de equivalência sobre X
(ii) P = X /R.
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2. Relações Binárias
2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
1.2.5. Relações de ordem
Se quaisquer dois elementos de X são comparáveis diz-se que ≤ é uma
relação de ordem total.
Uma relação binária reflexiva, anti-simétrica e transitiva diz-se uma
relação de ordem parcial.
Definição
As relações de ordem parcial são usualmente designadas por ≤ ou por ⊆.
Seja ≤ uma relação de ordem parcial num conjunto X . Dizemos que os
elementos x e y são comparáveis se x ≤ y ou y ≤ x.
Exemplos
• Seja ≤ a relação de ordem usual em R. Então (R, ≤) é uma cadeia.
Também (N, ≤), (Z, ≤), (Q, ≤) são cadeias (para a ordem usual).
Notação: Sejam ≤ uma r.o.p. sobre X e x e y ∈ X . Denotamos por
x < y para significar x ≤ y e x 6= y .
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Sejam X um conjunto e ≤ uma r.o.p. em X . Dizemos que o par (X , ≤) é
um conjunto parcialmente ordenado (c.p.o.).
Se ≤ for uma ordem total, dizemos que (X , ≤) é um conjunto totalmente
ordenado (ou uma cadeia).
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1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
• Seja X um conjunto. A relação ≤ definida em P(X ) por:
A≤B
⇐⇒
1.2.6. Diagrama de Hasse
A⊆B
Sejam X = {x1 , x2 , . . . , xn } e ≤ uma r.o.p. em X . ≤ pode ser
representada através de um diagrama (denominado diagrama de Hasse)
construı́do do seguinte modo:
Os elementos de X são pontos do diagrama e para quaisquer x, y ∈ X , se
y cobre x, colocamos o ponto que representa y “acima” do ponto que
representa x e unimo-los com um segmento de recta:
é uma relação de ordem parcial em P(X ), pelo que (P(X ), ⊆) é um
c.p.o..
• Em N definimos a seguinte relação binária (relação de divisibilidade)
a≤b
⇐⇒
a|b (a divide b, i.e. ∃c ∈ N ac = b),
y
para quaisquer a, b ∈ N. Então, (N, |) é um c.p.o.
u
Definição
u
Seja (X , ≤) um c.p.o.. Dados x, y ∈ X dizemos que y cobre x
(relativamente a ≤) se x ≤ y e não existe z ∈ X tal que x < z < y .
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x
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2. Relações Binárias
2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
Exemplos
1. Consideremos ({1, 2, 3, 4}, ≤), em que ≤ é a ordem usual em N.
Esta cadeia tem o seguinte diagrama de Hasse
4
2. O c.p.o. ({1, 2, . . . , 10}, |), em que | é relação de divisibilidade, tem
o diagrama de Hasse
10
u
u
8u
3
u
9
6 u
4u
2
u
u
u u
2@
3A
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@ A
@A @Au
u
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u
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7
u
1
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1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
3. O c.p.o. (P({1, 2, 3}), ⊆) possuı́ o seguinte diagrama de Hasse:
Definição
{1, 2, 3}
u
@
u
{2, 3} @
u
{3} @
@
@
@
@
Sejam (X , ≤) um c.p.o. e Y ⊆ X .
@
u @
@
@
@
{1, 3}@
@
@u
{1, 2}
@
@
@u
1. Dizemos que a ∈ X é um minorante (resp. majorante) de Y se
a ≤ y (resp. y ≤ a),
para qualquer y ∈ Y .
2. Chamamos primeiro elemento de Y (ou mı́nimo de Y ) a um elemento
a ∈ Y tal que
a ≤ y , para qualquer y ∈ Y .
{1}
@ {2}
@u
@
@
@
@u
3. Chamamos último elemento de Y (ou máximo de Y ) a um elemento
b ∈ Y tal que
y ≤ b, para qualquer y ∈ Y .
∅
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2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
1.2. Relações Binárias
Exemplos
Definição
Sejam (X , ≤) um c.p.o. e Y ⊆ X .
4. Dizemos que a ∈ Y é um elemento minimal (resp. maximal) de Y se
não existe b ∈ Y tal que b < a (resp. a < b).
5. Dizemos que a ∈ X é o ı́nfimo (resp. supremo) de Y se a é o maior
dos minorantes (resp. menor dos majorantes).
1
Considerando o c.p.o. ({1, 2, . . . , 10}, |), então 1 é o primeiro
elemento de X = {1, 2, . . . , 10} e X não tem último elemento.
2
Considerando o c.p.o. ({1, 2, . . . , 10}, |) e Y = {1, 2, 5, 10} então 1
é o primeiro elemento de Y e 10 é o último elemento de Y .
Definição
Um c.p.o. (X , ≤) diz-se um conjunto bem ordenado (e ≤ uma boa
ordem) se qualquer subconjunto não vazio de X possuı́ primeiro elemento.
Axioma da boa ordenação
O par (N, ≤) em que ≤ denota a ordem usual, é um conjunto bem
ordenado.
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