Capı́tulo 2 Trabalho - Matemática Concreta 2.1 Enunciado - prova por indução matemática Provar, por indução matemática, as igualdades. 1. Supor que temos selos de 4 e 7 centavos. Provar, por indução matemática, que é possı́vel ter qualquer valor de postagem de 18 centavos ou mais usando somente estes selos. 2. Provar, por indução matemática, que n2 < 2n para todos inteiros n ≥ 5. 3. Escolher um e provar por indução matemática. 3.1) 12 − 22 + 32 − ... + (−1)n−1 n2 = n(n+1) (−1)n−1 2 3.2) 12 + 32 + 52 + ... + (2n − 1)2 = n3 (2n − 1)(2n + 1) 3.3) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 1 n(n+1) 2 22 3.4) 2(1) + 2(2) + 2(3) + ... + 2(n) = n2 + n, ∀n ≥ 1 3.5) 2.2 q(n−1) i=1 i(i + 1) = n(n−1)(n+1) , 3 ∀n ≥ 2 Enunciado - somas 1. Obter uma forma fechada da progressão geométrica utilizando o método da perturbação. Sn = n Ø xi = 1 + x + x2 + x3 + ... + xn . i=0 2. Obter uma forma fechada da soma utilizando o método da perturbação. Tn = n Ø ixi = (0)x0 + (1)x1 + (2)x2 + ...(n)xn . i=0 3. Obter uma forma fechada para Sn = qn k−1 . k=1 k2 Comentário: Esta soma tem uma interpretação bastante prática no mundo das árvores binárias. Supor que se quer saber: Quantos elementos é preciso examinar para localizar um certo nodo em uma árvore cheia? Constata-se que é preciso uma procura se o elemento desejado está na raiz, duas procuras se o elemento for um filho da raiz, três se for um dos netos e assim por diante. Ou seja, o número de procuras segue a fórmula 7 Trabalho de disciplina 1+2+2+3+3+3+3+... (OBS: Fazer um desenho de uma árvore e confirmar. Verificar também que o último número nesta soma é n, o número de nı́veis da árvore binária.) Esta é exatamente a soma a ser resolvida. Com isto, pode-se encontrar diretamente o número médio de procuras necessário para localizar em elemento em uma árvore de n-nı́veis: basta dividir a solução por 2n − 1, que é o número total de elementos na árvore. 8
