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trabalho-disciplina enunciado (1)

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Capı́tulo 2
Trabalho - Matemática Concreta
2.1
Enunciado - prova por indução matemática
Provar, por indução matemática, as igualdades.
1. Supor que temos selos de 4 e 7 centavos. Provar, por indução matemática, que é possı́vel
ter qualquer valor de postagem de 18 centavos ou mais usando somente estes selos.
2. Provar, por indução matemática, que n2 < 2n para todos inteiros n ≥ 5.
3. Escolher um e provar por indução matemática.
3.1) 12 − 22 + 32 − ... + (−1)n−1 n2 =
n(n+1)
(−1)n−1
2
3.2) 12 + 32 + 52 + ... + (2n − 1)2 = n3 (2n − 1)(2n + 1)
3.3) 13 + 23 + 33 + ... + n3 =
1
n(n+1)
2
22
3.4) 2(1) + 2(2) + 2(3) + ... + 2(n) = n2 + n, ∀n ≥ 1
3.5)
2.2
q(n−1)
i=1
i(i + 1) =
n(n−1)(n+1)
,
3
∀n ≥ 2
Enunciado - somas
1. Obter uma forma fechada da progressão geométrica utilizando o método da perturbação.
Sn =
n
Ø
xi = 1 + x + x2 + x3 + ... + xn .
i=0
2. Obter uma forma fechada da soma utilizando o método da perturbação.
Tn =
n
Ø
ixi = (0)x0 + (1)x1 + (2)x2 + ...(n)xn .
i=0
3. Obter uma forma fechada para Sn =
qn
k−1 .
k=1 k2
Comentário: Esta soma tem uma interpretação bastante prática no mundo das árvores
binárias. Supor que se quer saber: Quantos elementos é preciso examinar para localizar
um certo nodo em uma árvore cheia? Constata-se que é preciso uma procura se o elemento desejado está na raiz, duas procuras se o elemento for um filho da raiz, três se
for um dos netos e assim por diante. Ou seja, o número de procuras segue a fórmula
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Trabalho de disciplina
1+2+2+3+3+3+3+... (OBS: Fazer um desenho de uma árvore e confirmar. Verificar
também que o último número nesta soma é n, o número de nı́veis da árvore binária.) Esta
é exatamente a soma a ser resolvida. Com isto, pode-se encontrar diretamente o número
médio de procuras necessário para localizar em elemento em uma árvore de n-nı́veis: basta
dividir a solução por 2n − 1, que é o número total de elementos na árvore.
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