Matrizes

Álgebra Linear – AL
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Matrizes
1 Introdução
2 Tipos de Matrizes
3 Operação com Matrizes
a Propriedades
Matrizes
Introdução: Tabela de elementos dispostos em linhas e colunas:
Pessoa
Pessoa
Pessoa
Pessoa
1
2
3
4
Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
1.70
70
23
1.75
60
45
1.60
52
25
1.81
72
30
Abstração: Ao abstraı́rmos o significado de linhas e colunas:

 

1.70 70 23
a11 a12 a13
 1.75 60 45   a21 a22 a23 
A=
=
= An×m = A4×3
1.60 52 25   a31 a32 a33 
1.81 72 30
a41 a42 a43
• n é o número de linhas e m o número de colunas – An×m representa
a ordem da matriz;
• aij é o elemento de posição i (linha), j (coluna) da matriz A.
Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada número
de linha é igual ao número de colunas (m =
49 18
n): A2×2 = A2 =
.
23 12
0 0
Matriz Nula aij = 0, ∀ i, j: A2 =
.
0 0
 
1
Matriz Coluna (ou vetor) n = 1: A3×1 =  3 .
9
Matriz Linha (ou vetor) m = 1: A1×3 = [23 37 19].
Matriz Diagonal matriz m
 = n e aij = 0, para i 6= j e aii 6= 0:
3 0 0
A3×3 = A3 =  0 7 0  .
0 0 19
Matriz Identidade
Quadrada aii = 1 e aij = 0 para i 6= j: A2×2 =
1 0
A2 =
.
0 1
Tipos de Matrizes – Continuação
Matriz
 Superior m = n e aij = 0, para i > j: A3 =
 Triangular
2 −10 0
 0 −10 34 .
0 0 23
Matriz

1
3
9
Triangular
Inferior m = n e aij = 0, para i < j: A3 =

0 0
5 0 .
7 11


4 3 −1
Matriz Simétrica m = n e aij = aji: A3 =  3 2 0 .
−1 0 5
Matriz
m = n e aij = −aji e aii = 0: A3 =
 Anti-Simétrica

0 3 1
 −3 0 2 .
−1 −2 0
Tipos de Matrizes – Continuação (2)
Matriz Oposta Dado Am×n = [aij ], a sua oposta: −Am×n = [−aij ].
Matrizes Iguais Am×n = [aij ] e Bm×n = [bij ] são iguais se aij = bij
∀ i, j.
Operação com Matrizes – Adição
Definição A soma de duas matrizes de mesmo tamanho Am×n =
[aij ] e Bm×n = [bij ] é definida como sendo a matriz Cm×n = [cij ]
(C = A + B), obtida somando-se os elementos correspondentes de
A e B, ou seja,
cij = aij + bij , ∀ i, j.
1 −2 4
0 2 −4
Exemplo Sejam A =
eB=
. Então:
2 −1 3
1 3 2
1 0 0
1 + 0 −2 + 2 4 + (−4)
C =A+B =
=
3 2 4
2 + 1 −1 + 3 3 + 1
Propriedades Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem m × n,
temos:
1. A + B = B + A — Comutativa;
2. A + (B + C) = (A + B) + C — Assossiativa;
3. A + 0 = A, onde 0 denota a matriz nula m × n;
4. A + (−A) = 0.
Operação com Matrizes – Multiplicação por
Escalar
Definição Sejam Am×n = [aij ] e k um escalar (número). Então
Bm×n = k · A = [k · aij ], ∀ i, j.
1 −2 4
Exemplo Tomando A =
e k = −3, temos Então:
2 −1 3
−3 6 −12
(−3) · 1 (−3) · (−2) (−3) · 4
=
B =k·A=
−6 3 −9
(−3) · 2 (−3) · (−1) (−3) · 3
Propriedades Dadas as matrizes Am×n e Bm×n e números k, k1 e k2,
temos:
1. k(A + B) = kA + kB — Distributiva;
2. (k1 + k2)A = k1A + k2A — Distributiva;
3. 0 · A = 0;
4. 1 · A = A; — Elemento Neutro;
5. k1(k2A) = (k1k2)A — Assossiativa.
Operação com Matrizes – Transposição
T
Definição Seja Am×n = [aij ], então a
= aij , onde aTij = aji,
∀ i, j, é a transposta de A. Portanto, a transposta de A é obtida
trocando-se as linhas de A por suas colunas e vice-versa.


2
4 −2 3
Exemplo Sejam A =
, B = [3 − 5 1] e C =  −1 .
0 5 −2
3
Então:




4 0
3
T
0
T
0
T
0




A = A = −2 5 , B = B = −5 , C = C = 2 −1 3
3 −2
1
ATn×m
Propriedades Dadas as matrizes Am×n e Bm×n e o número k, temos:
1. AT = A se, e somente se A for uma matriz simétrica;
T
2. (AT ) = A;
T
3. (A + B) = AT + B T ;
T
4. (kA) = kAT .
Operação com Matrizes – Produto Escalar
Definição O produto escalar ou produto interno dos vetores de
tamano n:
 
b1
 b2 

a = [a1 a2 . . . an] e b = 
 ... 
bn
é definido por:
a · b = a1b1 + a2b2 + · · · + anbn =
n
X
aibi
i=1
T
Exemplo Sejam a = [x 2 3] e b = [4 1 2] . Se a · b = −4, encontre x.
a · b = 4x + 2 + 6 = −4
4x + 8 = −4
x = −3
Operação com Matrizes – Multiplicação de
Matrizes
Definição Sejam Am×p = [aij ] e Bp×n = [bij ], então o produto de A e
B, denotado por AB, é a matriz Cm×n = [cij ] definida por:
cij = ai1b1j +ai2b2j +. . .+aipbpj =
p
X
aik bkj
(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) .
k=1
Obervação O produto A e B está definido apenas quando o número
de linhas de B é exatamente igual ao número de colunas de A:
Am×p Bp×n = ABm×n
Operação com Matrizes – Multiplicação de Matrizes: Exemplos


−2 5
1 2 −1
Exemplo (1) Sejam A =
e B =  4 −3 . Calcule
3 1 3
2 1
AB.
 
2
1 x 3
Exemplo (2) Sejam A =
e B =  4 . Se AB =
2 −1 1
y
12
, encontre x e y.
6
1 2
2 1
Exemplo (3) Sejam A =
eB=
. Determine AB e
−1 3
0 1
BA.
Operação com Matrizes – Multiplicação de Matrizes: Propriedades
Propriedades Sejam A, B, C e 0 matrizes de tamanho apropriados.
1. Em geral AB 6= BA;
2. AI = IA = A;
3. A(B + C) = AB + AC;
4. (A + B)C = AC + BC;
5. (AB)C = (AB)C (Assossiativa);
6. (AB)T = B T AT (Observe a ordem!);
7. 0 · A = 0 e A · 0 = 0.