Teoria dos Números Resultado obtido nas aulas de Teoria dos Números. Números pares e números ímpares. A soma de dois números pares é sempre um número par. O produto de dois números pares é sempre um número par. A soma de dois números ímpares é sempre um número par. O produto de dois números ímpares é sempre um número ímpar. O produto de um número qualquer por um número par resulta em um número par. O resto de uma divisão é um número natural menor ou igual ao antecessor do divisor. Representação dos números pares e números ímpares. Par = 2k Ímpar = 2k + 1 Número par é todo número que pode ser agrupado de dois em dois, ou seja, múltiplo de dois. O zero é considerado par apesar de não poder ser agrupado de dois em dois. Exemplo: p+p=p 0+p=p i+i=p 0+i=i i+p=i Seja abcd um número de 4 algarismos. 1000 a + 100 b + 10 c + 1d Se d é par, então o algarismo é par. Se d é ímpar, então o algarismo é ímpar. Soma: A soma de dois números pares sempre irá obter como resultado outro número par. Exemplo: Tomando dois números pares p e r, onde realizando a soma teremos: p = 2k e r = 2n p + r = 2k + 2n p + r = 2(k + n) A soma de dois números ímpares sempre irá obter como resultado outro número par. Exemplo: Tomando dois números ímpares i e i1, onde realizando a soma obteremos: i = 2k + 1 i + i1 = 2k + 1 + 2n + 1 i1 = 2n + 1 i + i1 = 2k + 2n + 2 i + i1 = 2(k + n + 1) chamando (k + n + 1) de k1, logo. i + i1 = 2k1 Múltiplos e divisibilidades. Número 3. Se somarmos dois números múltiplos de 3, iremos obter um outro número múltiplo de 3. Exemplo: 3q + 3q1 = 3(q + q1) →chamando (q + q1) de k1 teremos, 3q + 3q1 = 3k1 O produto entre um múltiplo de 3 e qualquer outro número, resulta em múltiplo de 3. Exemplo: 3k.a = 3(a.k) → chamando (a.k) de k1 teremos 3k.a = 3k1 Somando dois números que divididos por 3 deixam resto1, o resultado será um número que ao ser divido por 3 deixará resto 2. 3q + 1 + 3n + 1 = 3q + 3n + 2 3q +1 + 3n + 1 = 3(q + n) + 2 → chamando (q +n) de k, teremos que, 3q + 1 + 3n + 1 = 3k + 2 Somando dois números que divididos por 3 deixam resto igual a 2, o resultado será um número que ao ser dividido por 3 deixará resto 1. 3q + 2 + 3n + 2 = 3q + 3n +4 3q + 2 + 3n + 2 = 3q + 3n + 3 + 1 3q + 2 + 3n + 2 = 3 (q + n +1) + 1 → chamando (q + n + 1) de k, teremos que; 3q + 2 + 3n + 2 = 3k + 1 A soma de um número que ao ser dividido por 3 deixa resto 1 com outro que ao ser dividido por 3 deixa resto 2, resulta em um número múltiplo de 3. 3q + 2 + 3n + 1 = 3q + 3n + 3 3q + 2 + 3n + 1 = 3 (q + n + 1) → chamando (q + n+ 1) de k, teremos que; 3q + 2 + 3n + 1 = 3k Porque podemos afirmar que um número é divisível por 3, se a soma de seus algarismos resultar em um número múltiplo de 3. Exemplo: Utilizando o número 7842, onde a soma de seus algarismos é igual a 21, podemos verificar da seguinte forma. Exemplo: 7 x 1000 + 8 x 100 + 4 x10 + 2 7 ( 999 + 1) + 8 ( 99 + 1) + 4 (9 + 1) + 2 Observando que os valores que estão entre parênteses são múltiplos de 3, podemos eliminá-los e dividir os que estão fora dos parênteses por 3, após somar o resto de cada divisão para constatar que o resultado será um número múltiplo de 3. 7 / 3 deixa resto 1 8 / 3 deixa resto 2 4 / 3 deixa resto 1 2 não é divisível por 3, portanto soma-se 1 + 2 + 1 + 2 = 6, sendo o resultado um número múltiplo de 3, podemos afirmar que o valor de 7842 é divisível por 3. Número 4. Para se verificar se um número é divisível por 4 basta averiguar os dois últimos algarismos. O número que formar tem que ser múltiplo de 4. Obs: Números terminados em 00 também são divisíveis por 4. Exemplo: Pegando a b c d e f, como um número de 6 algarismos e fazendo: a.10 5 + b.10 4 + c.10 3 + d.10 2 + e.10 + f , como os números a b c d são múltiplos de 4, pois após serem multiplicados por 10 que elevado até no mínimo ao expoente 2, terão os dois últimos algarismos terminados em 00, podemos eliminá-los. Em seguida tomamos e.10 + f e averiguamos qual será o valor formado pelos números 10.e + f = ef →tem que ser múltiplo de 4 para que satisfaça a afirmação. Um número múltiplo de 4 sempre será múltiplo de 4 mesmo após ser multiplicado por qualquer outro valor. Multiplicando dois números que divididos por 4 deixam resto 1, continua deixando resto 1. Exemplo: (4q + 1) . (4q1 + 1) = 16q.q1 + 4q + 4q1 +1 (4q + 1) . (4q1 + 1 ) = 4 (4q.q1 + q + q1) + 1, chamando (4q.q1 + q + q1) de q2, teremos que; (4q + 1) . (4q1 + 1) = 4q2 + 1 Somando 2 números que após serem divididos por 4 deixam resto1, o resultado será um número que após dividido por 4 deixará resto 2. Exemplo: 4k + 1 + 4m + 1 = 4k + 4m + 2 4k +1 + 4m + 1 = 4(k + m) + 2, chamando (k + m) de q logo teremos que; 4k + 1 + 4m + 1 = 4q + 2 Número 5: Para saber, se um número é divisível por cinco, basta olhar o último algarismo, se for cinco ou zero, então será. Número 6: Para ser múltiplo de 6, a soma de seus algarismos tem que resultar em um múltiplo de 2 e 3. Número 8: Se o número for formado de três zero no final, ou os três últimos forem múltiplos de 8, logo esse número será múltiplo de 8. Exemplo: 824679 800000 + 20000 + 4000 + 600 + 70 + 9 → se 679 for múltiplo de 8, então 824679 será múltiplo de 8. Número 9: Para ser múltiplo de 9 a soma dos algarismos de um número tem que resultar em um múltiplo de 9. Número 11: Para saber se um número é divisível por 11, basta alternar seus sinais e se o resultado for um múltiplo de 11, então o número será divisível por 11. Exemplo: 34789 3-4+7-8+9 = -7 → não é múltiplo de 11 378422 3-7+8-4+2-2 = 0 → então é múltiplo de 11. Congruência Módulo M Sendo a, b e m z m 0 , dizemos que a b (mod m) se m/(a-b). a = m.q1 + r a – b = mq1 + r – (mq2 + r) b = m.q2 + r a – b = mq1 + mq2 a – b = m(q1 + q2) a – b/m = q1 – q2 Exemplo: Se a b(mod m) e c d (mod m) Então a + c = b + d (mod m) Exemplo: a – b = q1.m c – d = q2.m a + c – b + d = q1.m + q2.m então a + c b + d (mod m) a . c b . d (mod m) a – b + c – d = (q1 + q2) . m a + c – b + d = a + c b + d (mod m). Classes de Equivalência Mod 7 C0 = {...,-21,-14,-7,0,7,14,21,...} C1 = {...,-20,-13,-6,1,8,15,22,...} C2 = {...,-19,-12,-5,2,9,16,23,...} C3 = {...,-25,-18,-11,-4,3,10,17,24,...} C4 = {...,-24,-17,-10,-3,4,11,18,25,...} C5 = {...,-23,-18,-9,-2,5,12,19,26,...} C6 = {...,-22,-15,-8,-1,6,,13,20,27,...} Tabela completa com todos os restos mod 7 + 0 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 0 2 2 3 4 5 6 0 1 3 3 4 5 6 0 1 2 4 4 5 6 0 1 2 3 5 5 6 0 1 2 3 4 6 6 0 1 2 3 4 5