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GEOMETRIA EUCLIDIANA I
AULA 06: CIRCUNFERÊNCIA
TÓPICO 04: BISSETRIZES DE UM TRIÂNGULO
A bissetriz de um ângulo não raso é precisamente o conjunto dos pontos
desse ângulo equidistantes das retas que contêm os lados do ângulo.
Vejamos por quê.
O ponto pertence à bissetriz
Sejam
um ângulo não raso e
bissetriz de
um ponto pertencente à
.
Sejam H e K, respectivamente, os pés das perpendiculares a
passando por C . Assim, temos:
e
e daí
XH = XK . Por conseguinte, X está a uma igual distância de
e
.
O ponto é equidistante
Suponha agora que C é um ponto do ângulo
equidistante de
e
distinto de O e
.
Sejam H e K, respectivamente, os pés das perpendiculares a
passando por X. Pelo caso
de congruência de triângulos,
decorre que
bissetriz de
e
isto é, C pertence à
, como queríamos demonstrar.
Agora observe o seguinte: a circunferência de centro em C e raio CH é
tangente aos lados do ângulo. Concorda?
Enfim, temos:
Cada ponto pertencente à bissetriz de um ângulo não raso é centro de uma
circunferência que tangencia seus lados, e, se os lados de um ângulo não
raso são tangentes a uma circunferência, então seu centro pertence à
bissetriz desse ângulo.
Considere agora um triângulo ABC e seja I o ponto de encontro das
bissetrizes dos ângulos
OLHANDO DE PERTO
Veja: esse ponto é equidistante dos lados dos ângulos
lados do triângulo ABC.
, ou seja, dos
Logo, I é centro de uma circunferência que tangencia os lados do triângulo,
chamada de circunferência inscrita no triângulo ABC. I chama-se incentro de
ABC. Note que, sendo I equidistante dos lados do ângulo ele também
pertence à bissetriz de . Enfim, temos: as bissetrizes dos ângulos internos
de qualquer triângulo concorrem a um mesmo ponto, o qual é centro da
circunferência inscrita nesse triângulo.
DEFINIÇÃO 8:
Chamamos de bissetriz de um triângulo, relativa a um lado, o segmento de
reta cujas extremidades são o vértice oposto a esse lado e o ponto de
interseção da bissetriz do ângulo oposto com ele.
Na figura anterior,
é bissetriz do triângulo ABX, relativa ao lado
Conforme vimos, as três bissetrizes do triângulo encontram-se num mesmo
ponto: o incentro.
Responsável: Professor José Aílton Forte Feitosa
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