Aula 8 - DE/UFPB

Algumas Distribuições
Discretas
Cálculo das Probabilidades e Estatística I
Prof. Luiz Medeiros
Departamento de Estatística – UFPB
Distribuição de Bernoulli
Na prática muitos experimentos admitem apenas dois resultados
Exemplo:
1.
Uma peça é classificada como boa ou defeituosa;
2.
O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou
negativa.
3.
Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4.
No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5.
No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa.
Estas situações tem alternativas dicotômicas e podem ser representadas
genericamente por resposta do tipo sucesso-fracasso. Associaremos p, a
probabilidade de sucesso, ao evento que nos interessa e 1-p, será a
probabilidade de fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de Bernoulli e originam uma
v.a. com distribuição de Bernoulli.
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Distribuição de Bernoulli
Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume apenas dois valores 1
se ocorrer sucesso (S) e 0 se ocorrer fracasso (F), com
probabilidade de sucesso p, isto é,
1, se ocorrer “sucesso”
X=
0, se ocorrer “fracasso”
E sua função de probabilidade é dada por:
Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli com
parâmetro p
Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que: E(X)=p e Var(X)=p(1-p).
Repetições independentes de um ensaio de Bernoulli, com a mesma
probabilidade de ocorrência de “sucesso”, dão origem ao modelo
Binomial.
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Exemplo 1.
Seja o experimento E: “Lançar um dado e observar a face superior”.
Defina o evento: “o número é múltiplo de 3” e a variável X é definida
como 1 se o evento ocorrer (sucesso) e 0 caso contrário. Determine a
função de probabilidade de X, calcule a esperança e a variância.
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Distribuição Binomial
Exemplo 1: Suponha que uma moeda é lançada 3 vezes e a
probabilidade de cara seja p em cada lançamento. Determinar a
distribuição de probabilidade da variável X, número de caras nos 3
lançamentos.
Denotemos:
S: sucesso, ocorrer cara (k)
F:fracasso, ocorrer coroa(c)
P(sucesso)=p
P(fracasso)=q=1-p
Ω={FFF.FFS, FSF,SFF,FSS, SFS, SSF,SSS}
Xi
é uma variável aleatória Bernoulli (i=1,2,3).
X
é o número de caras.
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Distribuição Binomial
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Daí temos que:
P ( X = 0) = P ({FFF }) = (1 − p ) 3
P ( X = 1) = P ({FFS , FSF , SFF }) = 3 p (1 − p ) 2
P ( X = 2) = P({FSS , SFS , SSF }) = 3 p 2 (1 − p)
P ( X = 3) = P ({SSS }) = p 3
A função de probabilidade da v.a. X é dada por:
x
P(X = x)
0
(1− p)3
1
2
3p(1− p)2 3p2(1− p)
3
p3
O comportamento de X , pode ser representado pela seguinte função:
 3  x
  p (1 − p ) 3− x ,
P ( X = x ) =  x 

0,

3
3!
onde   =
 x  x! (3 − x )!
x = 0,1, 2,3
c.c
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Distribuição de uma v.a. Binomial
Considere a repetição de n ensaios idênticos de Bernoulli independentes e
todos com a mesma probabilidade de sucesso p. A variável aleatória que conta
o número total de sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de
variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua função de probabilidade
é dada por:
 n  x
  p (1 − p ) n − x , x = 0,1, L , n
P ( X = x ) =  x 

0,
c.c

n
n!
onde   =
, representa o coeficient e Binomial.
 x  x! ( n − x )!
Notação, X~B(n,p), para indicar que v.a. X tem distribuição Binomial com
parâmetros n e p.
E(X)=np
Var(X)=np(1-p).
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Exemplo 2.
O professor da disciplina de Estatística elaborou um prova de múltipla
escolha com 10 questões, cada uma com 5 alternativas. O professor
estabeleceu que para um aluno ser aprovado ele deve acertar pelo menos 8
questões. Qual a probabilidade de um aluno ser aprovado?.
S: “questão respondida corretamente”
F:”questão respondida incorretamente”
A probabilidade se sucesso é constante e cada estudante responde
independentemente a questão
Solução:Seja a v.a. X: número de questões respondidas corretamente nas 10
questões. Então o evento de interesse é:
x
10−x
P(S)=1/5 e P(F)=4/5. Logo, X~B(10,p).
101  4
     , x = 0,1,L,10
P(X = x) =  x  5  5

0,
c.c

P( X ≥ 8) = P( X = 8) + P( X = 9) + P( X = 10)
A probabilidade de um aluno ser aprovado é:
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Exemplo 3.
O time Sport Clube do Recife tem 1/4 de probabilidade de perder sempre que
joga em Recife. Se o time jogar 5 partidas, calcule a probabilidade do time
perder exatamente 3 partidas. Calcule a probabilidade do time perder ao
menos uma partida. Se o time jogar 60 partidas, em quantos partidas se
espera que o time perca?
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Exemplo 4.
O escore em um teste internacional de proficiência na língua inglesa varia de 0
a 700 pontos, com mais pontos indicando um melhor desempenho. Informações,
coletadas durante vários anos, permitem estabelecer o seguinte modelo para o
desempenho no teste:
Pontos
[0, 200)
pi
0,06
[200, 300) [300, 400) [400, 500) [500, 600) [600, 700]
0,15
0,16
0,25
0,27
0,11
Várias universidades americanas, exigem um escore mínimo de 600 pontos para
aceitar candidatos de países de língua não inglesa. De um grande grupo de
estudantes que prestaram o último exame, escolhemos ao acaso 10 deles. Qual
a probabilidade de no máximo 2 atenderem ao requisito mencionado? Em um
grupo de 2200 candidatos espera-se que quantos sejam aprovados?
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5. Modelo Poisson
Na prática muitos experimentos consistem em observar a ocorrência de
eventos discretos em um intervalo contínuo (unidade de medida).
Exemplo:
1.
Número de consultas a uma base de dados em um minuto.
2. Número de casos de Dengue por kilometro quadrado no estado da
PB.
3.
Número de manchas (falhas) por metro quadrado no esmaltado de uma
geladeira.
4.
Número de chamadas que chegam a uma central telefônica de uma empresa
num intervalo de tempo (digamos das 8:00 a.m. às 12:0) a.m.).
5.
Número de carros que chegam ao Campus entre 7:00 a.m. a 10:00 a.m.
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Distribuição de uma v.a. Poisson
Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0 se
sua função de probabilidade é dada por:
 e−λ λx

P ( X = x ) =  x!
 0 ;
x = 0 ,1, 2 , L
c .c .
Onde: X: número de eventos discretos em t unidades de medida,
λ= média de eventos discretos em t unidades de medida
Notação: X~P(λ), para indicar que a v.a. X tem distribuição de Poisson com
parâmetro λ. Pode-se mostrar que se X~P(λ)
E(X)= λ e Var(X)= λ
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Exemplo 5. Suponha que a central telefônica de uma empresa de grande porte
recebe em média 3 chamadas a cada 4 minutos. Qual é a probabilidade que a
central recepcione 2 ou menos chamadas em um intervalo de 2 minutos?
Se X: número de chamadas que recebe a central telefônica da empresa
em 2 minutos, então, X ~P(λ). Aqui t=2 e λ=1,5 (utilizadando regra de 3). Ou
seja X~P(1,5)
e −1,5 1,5 x
P ( X = x) =
, x = 0,1,2,3....
x!
P ( X ≤ 2) = P( X = 0) + P ( X = 1) + P( X = 2) = e
−1, 5
1,52
[1 + 1,5 +
] = 0,808847.
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Exemplo 6.
Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus vendedores através de
fax, telefone e internet. Chegam na indústria em média 5 pedidos por
hora.
a) Qual a probabilidade de se receber mais que 2 pedidos por hora?
b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual a probabilidade de haver
exatamente 50 pedidos?
c) Não haver nenhum pedido, em um dia de trabalho, é um evento raro?
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A Distribuição Poisson Como Aproximação da Distribuição Binomial
A distribuição Binomial para x sucessos em n ensaios de Bernoulli ´e
dada por:
n x
P( X = x) =   p (1 − p) n − x , x = 0,L , n.
 x
Se µ=np,⇒ p=µ/n, substituindo p na função probabilidade temos
n
µ
 n µ 
P( X = x) =   
 x n 
x
n−x
 µ
1− 
 n

x 1− 
 1  2   x +1 µ  n 
= 1− 1− L1−

x
n
n
n
x
!


 
  µ
1− 
 n
µe
x
Fazendo n → ∞, temos P ( X = x) =
−µ
x!
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Exemplo 7. A probabilidade de que um rebite particular na superfície da asa
de uma aeronave seja defeituoso é 0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a
probabilidade de que seja instalados não mais de seis rebites defeituosos?
Se X: número de rebites defeituosos na asa da aeronave. Então,
X~B(4000,0.001)
 4000 
(0,001)x (0,999)4000− x = 0,8894.
P( X ≤ 6) = ∑ 
x 
x =0 
6
Usando a aproximação de Poisson, µ=4000(0,001)=4 ⇒X~P(4)
e −4 4 x
P( X ≤ 6) = ∑
= 0,889.
x!
x =0
6
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Exemplo 8. O número de falhas em um certo tipo de placa plástica tem taxa
média de 0,05 defeito por m2. Na construção de um barco, é necessário cobrir
uma superfície de 3m x 2m com essa placa. Qual a probabilidade de que não
haja mais de uma falha nessa superfície? Na construção de 5 barcos, qual a
probabilidade de que pelo menos 4 não apresentem defeito na superfície?
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Exemplo 9.
Em momentos de pico, a chegada de aviões a um aeroporto, em média, é
de um avião por minuto.
a) Qual a probabilidade de 3 chegadas em um minuto qualquer do
horário de pico?
b) Se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto, qual a
probabilidade de haver aviões sem atendimento?
c) Previsões para os próximos anos indicam que o tráfego deve dobrar
nesse aeroporto, enquanto que a capacidade de atendimento poderá
ser no máximo ampliada em 50%. Como ficará a probabilidade de
haver aviões sem atendimento?
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